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本講次學習目標 認識三角函數 瞭解三角函數之極限與連續 三角函數之導函數 有關三角函數之極值問題
第九講 三角函數的微分 本講次學習目標 認識三角函數 瞭解三角函數之極限與連續 三角函數之導函數 有關三角函數之極值問題
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§ 9-1 三角函數 正銳角θ的正弦、餘弦、正切、餘切、 正割與餘割定義為直角三角形之邊的比。 利用圖9-1，這些三角函數之定義的形式 為：
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註：三角函數的值僅僅與θ的大小有關，而與斜邊 r 的大小無關。
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例題 1： 已知 ，且θ為銳角，求θ角的其他三角 函數值。 解： 由 , 可得圖9-2
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因直角三角形不可能有大於 90° 的角，故假使θ為鈍角，
則上述定義中的三角函數不適用。欲獲得適合所有角θ的 三角函數的定義，我們取下列的方法： 在 xy-平面上讓θ角位於標準位置，然後作出圓心在原點 且半徑為 r 的圓，令該角的終邊與圓的交點為 P(x , y)， 如圖9-3 所示：
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因此，我們給出下面的定義： 定義9-1 適合所有的角─正角(即，逆時鐘方向的角)、負 角(即，順時鐘方向的角)、銳角與鈍角。若θ的終邊在 y-軸上，則 tanθ與 secθ無定義(因 x = 0)，而若θ的終 邊在 x-軸上，則 cotθ與 cscθ無定義(因 y = 0)。
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由於 r 恒為正，故θ角之三角函數的正、負號與所
在象限有關，今列表如下：
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例題 2： 已知 ，求θ的各三角函數值。 解： 因 , 故θ在第三象限內. 設θ的終邊上一點為 P(x , y) , 則
已知 ，求θ的各三角函數值。 解： 因 , 故θ在第三象限內. 設θ的終邊上一點為 P(x , y) , 則 令 x = -3 , 可得 , 故 y = -1 由畢氏定理知 , 如圖9-4 所示：
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在微積分裡，角是用弧度(或弳)來度量而不是用度、
分與秒來度量，因它簡化了許多重要的公式。
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下面列舉一些常用的三角公式：
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在微積分裡，角的大小通常用弧度表示，例如，sin 3
表示 3 弧度的正弦函數值。因此，我們列出六個三角 函數的定義域與值域及其圖形，如圖9-5 所示：
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由上述六個三角函數的圖形中，可得下列三個重
要的結果：
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例題 3： 試求 f (x) = 3sin 2x 之定義域與值域。 解： 因正弦函數之定義域為 , 值域為
因正弦函數之定義域為 , 值域為 故 f (x) = 3sin 2x 之定義域為 , 值域為 (因函數值為 sin 2x 的 3 倍)
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例題 4： 試求 之週期。 解： 令 , 則 故 週期為π
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例題 5： 試求 之週期。 解： 令 , 則 故 週期為
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例題 6： 作函數 y = sin 2x 的圖形。 解： 此函數的週期為 。所以，當 x 以π改變時，
如圖9-6 所示：
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例題 7： 解： 試作 的圖形。 因此 , 作 的圖形時 , 可將 y = sin x 的圖形在 x-軸下
試作 的圖形。 解： 因此 , 作 的圖形時 , 可將 y = sin x 的圖形在 x-軸下 面的部份 , 代以其對 x-軸的對稱圖形 , 如圖9-7 所示：
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例題 8： 作函數 f (x) = 3sin 2x 之圖形。 解：
因為 f (x+π) = 3sin 2(x+π) = 3sin (2π+2x) = 3sin 2x = f (x) , 所以這函數之週期為 π, 而 f 的值域為 [-3,3] , 故知 f 的圖形和 sin 之圖形相似 , 相當於把 sin 的圖形於 y-軸方向上“拉長”了 3 倍 , 而於 x-軸方向上 “壓縮”一半 , 如圖9-8 所示：
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§ 9-2 三角函數的極限 在求三角函數的導函數之前，先討論一些 基本的三角函數極限。 下面的結果對未來的發展很重要。
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證 (1)： 首先，證明 ，假設 ， 令 U 為直角座標系上圓心在原點且半徑為 1 的 單位圓，圖形如圖9-9 所示：
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參考該圖，我們得知 ，因 ， 故由夾擠定理可得 ，我們再證明 ，若 ，則 ， 因此， 以 -1 乘上面不等式並 利用 ，可得 ， 因 ，故由夾擠定理可得 所以
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證 (2)： 因 ， 故 若 ， 則 為正， 因此 所以
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下面極限在求正弦函數的導函數時需要用到。
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證 (2)：
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證： 我們僅證明 (1)，其他可由連續的性質證得， 欲證明 sin x 在任意實數 x 皆為連續，必須 證明 對任意實數 x 皆成立 因
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故 同理，利用恆等式 可以證得
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例題 1： 求 解： 令 , 則當 時 , 所以
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例題 2： 求 解： 令 , 則當 時 , 故
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例題 3： 求 解：
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例題 4： 求 解：
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例題 5： 求 解：
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例題 6： 求 解：
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例題 7： 求 解：
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例題 8： 求 解： 因
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例題 9： 求 解：
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例題 10： 求 解： 此極限不是0 , 因 sec x 在 不可定義 令
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例題 11： 試證 解： 因 在 不可定義 , 故下列的做法是錯誤的
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正確的做法如下： 若 ，則 所以 因 故由夾擠定理可知
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例題 12： 求 解：
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例題 13： 求 解： 此極限為不定型 令 , 則 , 當 , 時 故
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例題 14： 函數 f 定義為 試問 f 在點 x = 0 是否連續？
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解： 而 f (0) = 3，因為 故 f 在點 x = 0 處不連續 註：上述函數若重新定義 f (0) = 2，則 f 在點
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例題 15： 設 欲使 f (x) 在 x = 0 處為連續，則 k 應為何值？
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解： f (x) 在 x = 0 處連續 而 (由例題 11) 故 k = 0
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§ 9-3 三角函數的導函數 首先，我們先來討論正弦函數與餘弦函數 的導函數，依導函數的定義，得知 因餘弦函數為處處連續，故
§ 9-3 三角函數的導函數 首先，我們先來討論正弦函數與餘弦函數 的導函數，依導函數的定義，得知 因餘弦函數為處處連續，故 又依定理9-2-2 (1) 可證得 所以
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因 ，故由連鎖法則可得 利用下列的關係式可得其餘三角函數的導函數
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例如： cot x，sec x，csc x 的導函數求法皆類似， 留作習題
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下面定理中列出六個三角函數的導函數公式
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若 u = u (x) 為可微分函數，則由連鎖法則
可得
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例題 1： 試問極限 為什麼函數在哪一點的 導數？ 解： 令 f (x) = cos x , 因 故 為 f (x) = cos x 在 x = 0 之導數
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例題 2： 設 (1) 試問 f 在 x = 0 是否連續？ (2) 試問 f 在 x = 0 是否可微分？
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解： (1) 對 x ≠ 0 時 , 因為 , 故 又 由夾擠定理知 所以 , f (x) 在 x = 0 為連續
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(2) 因為 (利用夾擠定理可證明 ) 所以 , f (x) 在 x = 0 可以微分
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例題 3： 令 ，試求 解： 利用導數之定義
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例題 4： 求 解： 而 故
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例題 5： 設 ，求 解： 令 則
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例題 6： 若 ，求 解：
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例題 7： 若 f 為一可微分函數且 y = f (sec x)，試求 解：
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例題 8： 若 f 為一可微分函數且 ，試求 解：
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例題 9： 若 ，求 解：
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例題 10： 若 ，求 解： 利用 , 求
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例題 11： 試求曲線上 切線水平的 x 座標 解： 令 , 則
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當 時 , 故 或 n 為整數
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例題 12： 若 ，求 dy 解：
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例題 13： 利用微分求 的近似值？ 解： 設 , 則 令 代入 中
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故 即
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例題 14： 若方程式 cos(x-y) = ysin x 定義 y = f (x) 之可微分函 數，求 解：
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例題 15： 求曲線 在點 (0,1) 的切線 方程式？ 解：
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故 所以，切線方程式為 即
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例題 16： 求函數 在 上的極大值 與極小值？ 解： 令 ，即 ，可得 在區間 中， f 的臨界數為 與
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f 在這些臨界數的函數值分別為 , 且 f 在端點的值分別為 比較這四個值 , 得知 極大值為 , 極小值為
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例題 17： 試證：若 ，則 解： 令 , 則 當 時 , 故 因此 f 在 為遞增
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尤其 , 若 x > 0 , 則 f (x) > f (0) , 但 f (0) = 0
故 所以
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例題 18： 求 在區間 上的 相對極值？ 解：
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令 可得 f 的臨界數為 與 ， 在這些臨界數的值分別為 f (x) 在各臨界數之值分別為
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利用二階導數判別法，我們得知 f 的相對 極大值為 ，相對極小值為 1 與 -3，f 的 圖形如圖9-10 所示：
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例題 19： 試繪函數 在 中的 圖形？ 解： (1) 定義域為 (2) x 截距為 , y 截距為 (0,1)
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(3) 故垂直漸進線為 與 (4)
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(5) 作表如下：
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(6) 圖形如圖9-11 所示：
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