9.5 三角形的中位线.

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1 9.5 三角形的中位线

2 情景导学 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？

3 1.操作： 2.思考： 1. 剪一个三角形，记为ΔABC 2．分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE
3．沿DE将ΔABC剪成两部分，并将ΔADE绕点E旋转180°得四边形DBCF 2.思考： 四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？ 答：四边形DBCF是平行四边形。 由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称 则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF 又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF 所以四边形BCFD是平行四边形　 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4 想一想： 连接三角形两边的中点的线段 叫做三角形的中位线 三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点
3.三角形中位线的概念　 连接三角形两边的中点的线段 叫做三角形的中位线 想一想： 三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？　 答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点

5 议一议： ΔABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系？ 为什么？ 答：DE∥BC，DE=½BC
通过探索得知：四边形BCFD是平行四边形 则DF∥BC DF=BC 即DE∥BC DE=½DF=½BC 三角形中位线的性质: 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。 说明　此性质的特点：同一条件下有2个结论 因为DE为ΔABC的中位线 所以①DE∥BC，②DE=½BC ↓ ↓ 位置关系 数量关系

6 基础练习 (1) 如图（a），已知D、E分别为AB和AC 的中点，DE＝5，则BC的长为 ；
(2) 如图（b），已知D、E、F分别为AB、AC、BC的中点， AC＝8，∠C＝70°，则DF的长为 ，∠EDF的度数为 ； A B C D E （a） A B C D E F （b）

7 基础练习 (3) 如图（c），已知D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为 ；试想一下如果连接AF，那么AF与DE有什么关系？ 为什么？ A B C D E F （c）

8 例题讲解 例1. 在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是菱形 证明：
∵E、F分别是AB、BC的中点 ∴EF=1/2AC 理由：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 同理:FG=BD/2，GH=AC/2，HE=BD/2. ∵AC=BD ∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形 理由：一四边相等的四边形是菱形.

9 例题解析 猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？
如图，四边形ABCD中，E F G H分别是AB CD AD BC的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ A B C D H E F G 解：四边形EFGH是平行四边形 连接DB 因为E、H分别是AB、AD的中点 ， 即EH是ΔABD的中位线 所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 同理可得，FG∥BD FG=½BD 所以EH∥FG，EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

10 议一议： 结论： 顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？ 如果将“矩形”改成“菱形”呢？
结论：　 ⑴顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 ⑵顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 ⑶顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形 (1) (3) (2)

11 议一议： 1.如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么原四边形的两条对角线存在什么关系 ？ （两条对角线相等）
2.上问中的菱形改为矩形呢？ （两条对角线互相垂直） 3.当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点 所得的四边形是正方形？ （两条对角线互相垂直且相等）

12 归纳总结 顺次连接四边形中点所得的图形形状跟哪些因素密切相关？

13 课堂训练 D 1.如图（1）ΔABC中，AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分 别是AB、AC、BC的中点，则
(1) 1.如图（1）ΔABC中，AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分 别是AB、AC、BC的中点，则 ΔDEF的周长是＿＿ ， 面积是＿＿ . 12cm 6cm2 F 2.如图（2）ΔABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿ C E F 互相平分 A B 3.若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形，则 原四边形（ 　） （A）一定是矩形 （B）一定是菱形 （C）对角线一定互相垂直　 （D）对角线一定相等 D (2) D

14 4. 顺次连结矩形四边中点所得的四边形是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 以上都不对
5. 如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 以上都不对 A 6. 顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是( ) A. 平行四边形 B.对角线相等的四边形 C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边形 D

15 5. 已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是( )
A. 3cm B. 26cm C. 24cm D. 65cm B 6. 已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8，面积为15,则原三角形的周长为_____,面积为_____。 16 30

16 探索研究： 　已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2 ……， 则（１）第３次连接所得 　　　　△A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿　　　　 （２）第n次连接所得 　　　　△AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿　　　　　　　　 A 分析：填表 A１ 次序 1 2 3 …… n 所得三角形周长 得三角形面积所 C２ C１ A２ B２ B B１ C

17 本课小结 １．理解三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。 3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题。