第7章 位移法.

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1 第7章 位移法

2 主 要 内 容 §7-1 位移法概述 §7-2 位移法未知量的确定 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程
§7-1 位移法概述 §7-2 位移法未知量的确定 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程 §7-5 位移法举例 §7-6 基本体系和典型方程法 § 对称性的利用 §7-8 其它各种情况的处理

3 §7-1 位移法概述 第一种： 第二种： ● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。 在外因作用下
§7-1 位移法概述 ● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。 结构 在外因作用下 产生 内力 变形 内力与变形间存在关系 分析超静定结构时，有两种基本方法： 第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。 第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。

4 §7-1 位移法概述 ● 位移法是以力法作为基础的。 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
§7-1 位移法概述 ● 位移法是以力法作为基础的。 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。 A B C D 结点位移与杆端位移分析 45o 45o BD伸长： DA伸长： DC伸长： 杆端位移分析 D结点有 一向下的 位移 △ FP 由材料力学可知： 杆端力与杆端 位移的关系

5 §7-1 位移法概述 由结点平衡： 建立力的 平衡方程 位移法方程 由方程解得： 把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：

6 §7-1 位移法概述 总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式；
§7-1 位移法概述 总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。

7 §7-2 位移法未知量的确定 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。
§7-2 位移法未知量的确定 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 ● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。 例1： 例2： A B C A B C 只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有

8 §7-2 位移法未知量的确定 例3： 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为： 例4：
§7-2 位移法未知量的确定 例3： 有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为： 例4： 有两个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为：

9 §7-2 位移法未知量的确定 结论： 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。 例5： 忽略轴向变形及B、C点的约
§7-2 位移法未知量的确定 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。 结论： 例5： 有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： A B C D 例6： A B C D 桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个 结点有两个线位移。该结构的未知量为：

10 §7-2 位移法未知量的确定 例7： 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为：
§7-2 位移法未知量的确定 例7： 排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为： EA=∞ A B C D 例8： 两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、D，同理A与B点、D与 C点的水平位移相同，各结点的 竖向位移为零，但D结点有一转 角，因此该结构的未知量为： EA=∞ A B C D E F G

11 §7-2 位移法未知量的确定 例9： 该题的未知量为
§7-2 位移法未知量的确定 例9： A B C D E A B C D E 该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。

12 §7-2 位移法未知量的确定 分析方法： 结论： 例10： 该题有两个未知量： 其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为：
§7-2 位移法未知量的确定 C’ △ 结论： 该题有两个未知量： 其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为： 例10： A B C D B’ 分析方法： 该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。

13 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 刚结点B处：两杆杆端都发生了 刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。 角位移 ；
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 q 刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。 A B C EI 刚结点B处：两杆杆端都发生了 角位移 ； 杆长为：L 未知量为： 对于BC杆：其变形及受力情况 与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。 q B C EI BC杆

14 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移 的结果,其杆端力也可以用力法求解。 B A BA杆 结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。

15 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及 荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格， 以供查用。
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及 荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格， 以供查用。 弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆 端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。 正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。 下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。

16 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。 2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 。
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。 A B EI,L MAB MBA 由力法求得： 2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 。 A B EI,L MAB MBA 由力法求得：

17 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。 4、一端固定一端铰结单元，在A端
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。 △ A B EI,L MAB MBA 由力法求得： 4、一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。 A B EI,L MAB MBA 由力法求得：

18 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。 6、一端固定一端滑动单元，在A端
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。 MAB A B EI,L MBA △ 由力法求得： 6、一端固定一端滑动单元，在A端 发生一个顺时针的转角 。 MAB MBA A B EI,L 由力法求得：

19 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移 。 8、两端铰结单元，在B端 发生一个轴向位移△。
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移 。 △ EA,L A B EA L 由材力可知： 8、两端铰结单元，在B端 发生一个轴向位移△。 △ EA,L A B EA L 由力法求得：

20 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 ● 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的 弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 ● 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的 弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。 ● 前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用 下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采 用叠加原理进行。 两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端 弯矩表达式：

21 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式： 一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：

22 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。 BA杆：
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。 A EI B C q BA杆： 可看作两端固定的梁，但是在B端 支座发生了转角 ，方向假设 为顺时针，杆端弯矩表达式： 例： 杆长为：L 未知量为： BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 在B端发生了转角 以及在均布 荷载作用下，杆端弯矩表达式：

23 §7-3 杆端力与杆端位移的关系 例： BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发 生了转角 水平位移 ，还有均
§7-3 杆端力与杆端位移的关系 q EI 2EI A B C FP L L/2 例： BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发 生了转角 水平位移 ，还有均 布荷载作用下，杆端弯矩表达式： 未知量2个： BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 在B端发生了转角 、以及在集 中力作用下，杆端弯矩表达式：

24 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程 基本思路 ——先拆、后装，即： 1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；
§7-4 利用平衡条件建立位移法方程 基本思路 ——先拆、后装，即： 1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式； 2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足 ，对于任意 的脱离体都应满足 或 。

25 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程 例: BA杆：杆端弯矩表达式： BC杆：杆端弯矩表达式： 建立位移法方程：取B结点，应该满足:
§7-4 利用平衡条件建立位移法方程 例: A EI B C q BA杆：杆端弯矩表达式： BC杆：杆端弯矩表达式： 杆长为：L 未知量为： 建立位移法方程：取B结点，应该满足: ——位移法方程

26 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程 例： BA杆：杆端弯矩表达式： BC杆：端弯矩表达式： 未知量2个： 建立位移法方程： 取B结点由 :
§7-4 利用平衡条件建立位移法方程 q EI 2EI A B C FP L L/2 例： BA杆：杆端弯矩表达式： BC杆：端弯矩表达式： 未知量2个： 建立位移法方程： 取B结点由 : —位移法方程①

27 §7-4 利用平衡条件建立位移法方程 建立位移法方程： 取BC截面由 : ……② 求FQBA,取BA杆,由 把FQBA代入②式,得:
§7-4 利用平衡条件建立位移法方程 建立位移法方程： 取BC截面由 : FQBA q FQAB MAB MBA B A ……② 求FQBA,取BA杆,由 把FQBA代入②式,得: ----位移法方程②

28 §7-5 位移法举例 BA杆 3. 建立位移法方程 1. 确定未知量 取B结点，由 ,得: 未知量为: 2. 写出杆端力的表达式 ……①
§7-5 位移法举例 q 例1: BA杆 B EI C EI 杆长为：L A 3. 建立位移法方程 取B结点，由 ,得: 1. 确定未知量 未知量为: ……① 2. 写出杆端力的表达式 BC杆

29 §7-5 位移法举例 M图 4. 解方程，得: 5. 把结点位移回代，得杆端弯矩 6. 画弯矩图 qL2 14 B qL2 C 8 qL2
§7-5 位移法举例 4. 解方程，得: 5. 把结点位移回代，得杆端弯矩 6. 画弯矩图 qL2 14 A B C qL2 8 qL2 28 M图

30 §7-5 位移法举例 例2： 3. 建立位移方程 取出B结点: 1. 位移法未知量 未知量： 2. 杆端弯矩表达式 ……① ……② q FP
§7-5 位移法举例 例2： q FP 2EI EI A B C 3. 建立位移方程 L 取出B结点: 1. 位移法未知量 未知量： ……① 2. 杆端弯矩表达式 ……②

31 §7-5 位移法举例 求FQBA 求FQBC 把FQBCFQBA代入方程②中得： ……② 后面的工作 就省略了。

32 §7-5 位移法举例 1. 位移法未知量 未知量： 例3： 2. 杆端弯矩表达式 ……① 3. 建立位移方程

33 §7-5 位移法举例 取出EG截面： 取出BEG截面： … …② … …②

34 §7-5 位移法举例 … …③ 位移法方程： … …① … …② … …③

35 §7-5 位移法举例 小结： （1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移) 思路与方法基本相同；
§7-5 位移法举例 小结： （1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移) 思路与方法基本相同； （2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比， 在具体作法上增加了一些新内容： ▲在基本未知量中，要含结点线位移； ▲在杆件计算中，要考虑线位移的影响； ▲在建立基本方程时，要增加与结点线位移对 应的平衡方程。

36 §7-6 基本体系和典型方程法 1、位移法基本体系 1）基本体系——单跨超静定梁的组合体。
（用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。 2）构造基本体系 （1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂 ——阻止刚结点转动（不能阻止移动）； （2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆 ——阻止结点线位移（移动）。

37 §7-6 基本体系和典型方程法 经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超 静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。
例：构造图示结构位移法的基本体系。 EI A B C L q q 在有线位移的 结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生 线位移。 基本体系 原结构 在有转角位移的结点处先加 一刚臂，阻止转动，然后再让 其发生转角。 ▲ 未知量2个：

38 §7-6 基本体系和典型方程法 2、利用基本体系建立位移法方程 1）基本原理 ——先锁、后松。 锁住——将原结构转换成基本结构。把原结构“拆
成”孤立的单个超静定杆件； 放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁 住”的结点发生与原结构相同的转角或线 位移。 2）位移法典型方程的建立与求解

39 §7-6 基本体系和典型方程法 = = + + 在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链 杆中一定有力产生， 而三个图中的力加起
EI A B C q L Z1 EI A B C q Z1=1 Z2 4 i 2 i 3 i = = 基本体系 M1图×Z1 原结构 Z2=1 在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链 杆中一定有力产生， 而三个图中的力加起 来应等于零。 6EI L2 qL2 8 + + M2图×Z2 MP图

40 §7-6 基本体系和典型方程法 = + + 附加刚臂和链杆上产生的力 k11 k21 F1P k12 F2P k22 Z1 q Z2
EI A B C q Z2 附加刚臂和链杆上产生的力 3 i 4 i 2 i M1图×Z1 Z1=1 k21 = F1P k12 6EI L2 M2图×Z2 Z2=1 F2P qL2 8 MP图 k22 + +

41 §7-6 基本体系和典型方程法 位移法典型方程 加力加起来应等于零，则有： 方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中
刚臂和链杆中产生的附加力。 由反力互等定理可知：

42 §7-6 基本体系和典型方程法 由M1图： 由M2图： 求系数和自由项——方法是：取各个弯矩图中的结点或截面 利用平衡原理求得。 k11
FQBA 3i 4i k11 由M2图： k12 k22 FQBA 6i/L k12

43 §7-6 基本体系和典型方程法 由MP图： 把系数和自由项代入典型方程，有： ——位移法方程 F1P F2P FQBA=0 F1P qL2
8 把系数和自由项代入典型方程，有： ——位移法方程

44 §7-6 基本体系和典型方程法 3、解方程，得结点位移 4、画弯矩图 计算步骤: 1、确定未知量，画出基本结构； 2、画出M1、…MP图；
3、求出系数和自由项，得到位移法方程； 4、解方程，得到结点位移； 5、按下式画弯矩图：

45 §7-6 基本体系和典型方程法 如果结构有n个未知量，那么位移法方程为： 其中： 是主系数，永远是正的。 是副系数，有正有负。
由反力互等定理可知： ——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移 后，在第i个结点位移处产生的反力。

46 §7-6 基本体系和典型方程法 例1：用典型方程法计算图示结构，杆长均为L，EI为常数。 解：1、未知量： 2、基本结构如上图所示
M A B C E D L C M A B E D Z1 Z2 原结构 Z3 解：1、未知量： 2、基本结构如上图所示 3、位移法方程

47 §7-6 基本体系和典型方程法 4、求系数和自由项 取B结点： M1图 取BE截面： 取E结点： Z1=1 3i A B E D 4i 2i

48 §7-6 基本体系和典型方程法 取B结点： 4i 2i Z2=1 2i 4i M2图 取BE截面： 取E结点：

49 §7-6 基本体系和典型方程法 取B结点： 3i/L 6i/L M3图 Z3=1 取BE截面： 取E结点：

50 §7-6 基本体系和典型方程法 M 取B结点： MP图 取BE截面： 取E结点：

51 §7-6 基本体系和典型方程法 把系数和自由项代入位移法典型方程中，得： 后面的计算省略了。

52 §7-6 基本体系和典型方程法 例2： 基本体系 原结构 解：1、未知量： 2、基本结构如上图所示 3、位移法方程 Z4
用典型方程法计算图示桁架， 杆长EA为常数。 Z2 FP2 Z1 B C D A Z3 B C D A FP1 FP2 FP1 基本体系 Z5 原结构 解：1、未知量： 2、基本结构如上图所示 3、位移法方程

53 §7-6 基本体系和典型方程法 4、求系数和自由项 取C结点： N1图 取D结点： 取B结点： EA Z1=1 D C L EA L EA

54 §7-6 基本体系和典型方程法 小结： ——与力法进行对此分析。位移法分析超静定结 构，其解题步骤与方法同力法极为相似。
§7-6 基本体系和典型方程法 小结： ——与力法进行对此分析。位移法分析超静定结 构，其解题步骤与方法同力法极为相似。 （1）确定基本未知量，取基本体系。 未知量： 力法——多余未知力； 位移法——未知角位移、线位移。 基本体系： 力法——静定结构； 位移法——单跨超静定梁的组合体。

55 §7-6 基本体系和典型方程法 （2）列典型方程 建立方程 力法——去掉多余约束处的位移条件； 条件。 方程的 力法——变形协调方程；
§7-6 基本体系和典型方程法 （2）列典型方程 建立方程 力法——去掉多余约束处的位移条件； 条件： 位移法——附加约束上约束反力的平衡 条件。 方程的 力法——变形协调方程； 性质： 位移法——力的平衡方程。 （3）作 MP、 图，求系数和自由项 M 力法： 先作出静定结构分别在载荷FP、多余未知力 作用下的弯矩图MP 、 ； Mi

56 §7-6 基本体系和典型方程法 然后应用图乘法求出载荷FP，单位多余未知力（xi=1)所引起的去掉多余未知力处的位移，即系数和自由项：Δ i P、δ i j、 δii、 δ j j； 位移法： 先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（ i=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表画）； 然后利用结点或截面的平衡，求出刚臂中的反力矩和链杆中的反力，即位移法的系数和自由项F i p、k i j、 k i j、k ii ：

57 §7-6 基本体系和典型方程法 （4）解典型方程，求基本未知量 力法： 解多元一次方程组，求得多余未知力xi； 位移法：
§7-6 基本体系和典型方程法 （4）解典型方程，求基本未知量 力法： 解多元一次方程组，求得多余未知力xi； 位移法： 解多元一次方程组，求得结点角位移与结点线位移Zi 。 （5）绘制最后内力图——采用迭加法。 力法： 位移法：

58 §7-7 对称性的利用 对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计 算，所以下面先介绍半刚架的取法。 1、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下
§7-7 对称性的利用 对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计 算，所以下面先介绍半刚架的取法。 1、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下 以单跨刚架为例 红线是结构在对称荷载作用下的 变形，对称点C的位移和内力如下： 取半刚架如左图所示： 在C点用滑动支座描述它的位移和内力

59 §7-7 对称性的利用 2、偶数跨对称刚架在对称荷载作用下 以双跨刚架为例 红线是结构在对称荷载作用下的 变形，对称点C的位移和内力如下：
§7-7 对称性的利用 2、偶数跨对称刚架在对称荷载作用下 以双跨刚架为例 红线是结构在对称荷载作用下的 变形，对称点C的位移和内力如下： 取半刚架如左图所示： 在C点应用固定支座描述它的位移和 内力，CB杆由于处在对称轴上，弯矩等 于零，因此没有必要画上去。

60 §7-7 对称性的利用 3、奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下 以单跨刚架为例 红线是结构在反对称荷载作用下
§7-7 对称性的利用 3、奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下 以单跨刚架为例 红线是结构在反对称荷载作用下 的变形，对称点C的位移和内力如下： 取半刚架如左图所示： 在C点应用竖向可动铰支座描述 它的位移和内力

61 §7-7 对称性的利用 4、偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下 以双跨刚架为例 红线是结构在反对称荷载作用下 的变形，在对称点C处只有一对剪力
§7-7 对称性的利用 4、偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下 以双跨刚架为例 红线是结构在反对称荷载作用下 的变形，在对称点C处只有一对剪力 FQC存在。 FP 图1 对原结构进行改造，如图1、 图2所示。 取半刚架如下图所示： 图2

62 §7-7 对称性的利用 小结： （2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；
§7-7 对称性的利用 小结： （1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零； （2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零； （3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和； （4）在对称结构计算中，对取的半结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。

63 §7-7 对称性的利用 例1：利用对称性计算图示结构，EI为常数。 解：由于有两根对称轴，可以取1/4 刚架进行计算。 原结构 1、未知量：
§7-7 对称性的利用 例1：利用对称性计算图示结构，EI为常数。 q 解：由于有两根对称轴，可以取1/4 刚架进行计算。 A C B D L 原结构 1、未知量： q 2、杆端弯矩表达式： L 基本体系 q A E F L/2

64 §7-7 对称性的利用 3、建立位移法方程 ……① 6、画弯矩图 4、解方程，得： 5、回代，得杆端弯矩： qL2 24 qL2 12
§7-7 对称性的利用 3、建立位移法方程 ……① 6、画弯矩图 4、解方程，得： qL2 24 qL2 12 5、回代，得杆端弯矩： qL2 24 M图

65 §7-7 对称性的利用 = = + 例2：利用对称性计算图示结构。 所有杆长均为L，EI也均相同。 原结构
§7-7 对称性的利用 FP/4 FP/2 例2：利用对称性计算图示结构。 所有杆长均为L，EI也均相同。 FP FP = = + FP/2 FP/4 FP/2 原结构 解：1、由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。 2、该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。 原结构=对称+反对称

66 §7-7 对称性的利用 原结构 + 对称情况，只是三根柱受轴力， 由于忽略向变形，不会产生弯矩， 因此不用计算。
§7-7 对称性的利用 FP/4 FP/2 FP/4 对称情况，只是三根柱受轴力， 由于忽略向变形，不会产生弯矩， 因此不用计算。 原结构 FP/4 FP/2 FP/4 + 反对称情况，梁发生相对错对， 因此会产生弯矩，但左右两半是 对称的，可取半刚架计算。 由于对称，中柱弯矩为零，因 此可以不予考虑。 FP/4 FP/2 FP/4 FP/4 FP/2 FP/4

67 §7-7 对称性的利用 = 反对称情况的半刚架： 反对称 对此进行求解 3、建立位移法方程：
§7-7 对称性的利用 反对称情况的半刚架： FP/4 FP/4 A B C 反对称 = 对此进行求解 3、建立位移法方程： FP/4 … …① 此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继 续可取半刚架。 FP/4 1、未知量： FQAB 2、杆端弯矩： …②

68 §7-8 其它各种情况的处理 1、支座移动时的计算 例：图示结构的A支座发生了一个转角，用位移法求解。 相同，即把支座移动看作是一种广
§7-8 其它各种情况的处理 1、支座移动时的计算 例：图示结构的A支座发生了一个转角，用位移法求解。 未知量确定和计算与荷载作用时 相同，即把支座移动看作是一种广 义的荷载。 L A B C EI 1、未知量： 解： 2、杆端弯矩：

69 §7-8 其它各种情况的处理 3、建立位移法方程： ……① 取BC截面： ……②

70 §7-8 其它各种情况的处理 2、温度发生变化时的计算 例：图示结构的温度较竣工使发生了变化，用位移法求解。 相同，即把温度变化看作是一种广
§7-8 其它各种情况的处理 2、温度发生变化时的计算 例：图示结构的温度较竣工使发生了变化，用位移法求解。 B A C L EI 200 150 100 B’ 未知量确定和计算与荷载作用时 相同，即把温度变化看作是一种广 义的荷载。 B 的 位 置 BA杆轴线处温度提高17.5°,杆件 伸长：17.5×L× 1、未知量： 解： BC杆轴线处温度提高15°,杆件 伸长：15×L× 2、杆端弯矩： 由温度引起的侧移：

71 §7-8 其它各种情况的处理 L B A C EI B’ 200 150 100 3、建立位移法方程： ……①

72 §7-8 其它各种情况的处理 3、组合结构的计算 例：用位移法求解图示组合结构。 解： 1、未知量： 2、杆端弯矩和轴力：
§7-8 其它各种情况的处理 3、组合结构的计算 例：用位移法求解图示组合结构。 q EI EA A E D C B L 1、未知量： 解： … …① 2、杆端弯矩和轴力： 3、建立位移法方程：

73 §7-8 其它各种情况的处理 取BC截面: … …② FNBA q FQBD FQCE

74 §7-8 其它各种情况的处理 4、弹性支座的计算 例：用位移法求解图示有弹性支座的结构。 3、建立位移法方程： 解： 1、未知量：
§7-8 其它各种情况的处理 4、弹性支座的计算 例：用位移法求解图示有弹性支座的结构。 q 3、建立位移法方程： EI C B A L ……① 1、未知量： 解： 2、杆端弯矩：

75 §7-8 其它各种情况的处理 取C结点： C FQCB FYC MBC q FQCB FQBC ……②

76 §7-8 其它各种情况的处理 5、带斜杆刚架的计算 例：用位移法求解图示有斜杆的刚架。 解： 1、未知量： 2、杆端弯矩： △ △ FP
§7-8 其它各种情况的处理 5、带斜杆刚架的计算 例：用位移法求解图示有斜杆的刚架。 △ △ FP FP EI A B C L EI 1、未知量： 解： 2、杆端弯矩：

77 §7-8 其它各种情况的处理 5、带斜杆刚架的计算 其中： 3、建立位移法方程：

78 §7-8 其它各种情况的处理 6、有无剪力杆件结构的计算 剪力 例：用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。 是静 定的 一端固定 一端滑动单元
§7-8 其它各种情况的处理 6、有无剪力杆件结构的计算 剪力 是静 定的 例：用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。 原结构 基本体系 一端固定 一端滑动单元 常规计算未知量是： 但请注意：BA杆的剪力是静定的,若只把B结点的转角固定起来,它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此,此题的未知量可只取一个: 。

79 §7-8 其它各种情况的处理 杆端弯矩： AB杆的杆端弯矩， 应按一端固定一端 滑动单元来写。 位移法方程：
§7-8 其它各种情况的处理 杆端弯矩： AB杆的杆端弯矩， 应按一端固定一端 滑动单元来写。 位移法方程： 上述计算方法称为：无剪力法。只能用于上列结构，即有侧移的杆件其剪力是静定的。 … …①

80 §7-8 其它各种情况的处理 特别要提醒的是固端弯矩的计算： AB杆的固端弯矩：用FP查一端固定 一端滑动单元。
§7-8 其它各种情况的处理 特别要提醒的是固端弯矩的计算： AB杆的固端弯矩：用FP查一端固定 一端滑动单元。 AB杆的固端弯矩：应用2FP查一端固 定一端滑动单元。原因是：上层的力 对下面层有影响，例如AB杆的剪力是： FP，BC杆的剪力是2FP 。

81 §7-8 其它各种情况的处理 7、有刚度无穷大杆件的刚架计算 例：用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。 由于CD杆的抗弯刚度为无穷大，
§7-8 其它各种情况的处理 7、有刚度无穷大杆件的刚架计算 例：用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。 EI=∞ A B C D 由于CD杆的抗弯刚度为无穷大， 因此C、D结点不可能发生转角，即： 未知量只有： FP EI EI=∞ A B C L 由于BA杆只能绕A点转动，因此BA 杆的侧移为 ，BC杆的侧移为 。 又由于BC杆的刚度无穷大，不可能发 生弯曲变形，为了保持原先的夹角， BA杆的B端必然发生转角 。

82 §7-8 其它各种情况的处理 杆端弯矩： 位移法方程：

83 §7-8 其它各种情况的处理 8、支座位移也可以作为未知量 例：用位移法求解图示刚架。 此题未知量通常只取一个 ，是
§7-8 其它各种情况的处理 8、支座位移也可以作为未知量 例：用位移法求解图示刚架。 M 此题未知量通常只取一个 ，是 把BC杆看作一端固定一端铰结单元。 同样也可取两个未知量 ， 这时是把BC杆看作两端固定单元。 B EI C EI A 杆端弯矩：

84 §7-8 其它各种情况的处理 位移法方程： 取C结点 取B结点 ……② ……① 解方程，得： 其结果与取一个未知量 的完全相同。