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第三章 多元随机变量及其分布 关键词:二元随机变量 联合分布 边际分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布
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二元随机变量 问题的提出 例1:研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值,研究身高和体重之间的关系,这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。
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例2:研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定,而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
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定义: 设E是一个随机试验,样本空间S={e};设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y)叫做二元随机变量或二维随机变量。 S e
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§1 二元离散型随机变量 定义:若二元随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对,则称(X,Y)是二元离散型随机变量。
(一)联合概率分布 定义:若二元随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对,则称(X,Y)是二元离散型随机变量。
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为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示:
离散型随机变量的联合概率分布律: y1 y2 … yj X Y p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij 为二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示:
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分布律的性质
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例1:设随机变量X在1、2、3、4四个整数 中等可能地取 一个值,另一个随机变量Y 在1~X中等可能地取一 整数值,试求(X,Y) 的联合概率分布。
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解:(X=i,Y=j)的取值情况为:i=1,2,3,4;
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即(X,Y)的联合概率分布为: Y X 1 2 3 4 ⅛
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(二)边际分布 对于离散型随机变量(X,Y),分布律为 X,Y的边际(边缘)分布律为:
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注意: p11 p12 p1j p1· p21 p22 p2j p2· pi1 pi2 pij pi · X Y y1 y2 yj p·1
… p11 p12 p1j p1· p21 p22 p2j p2· pi1 pi2 pij pi · X Y y1 y2 yj p·1 p·2 p.j 1
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X 2 1 0.05 0.80 0.15 p 1 2 0.80 0.15 0.05
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(三)条件分布律
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由条件概率公式可得: 当i取遍所有可能的值,就得到了条件分布律。
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定义:设(X,Y)是二元离散型随机变量, 对于固定的 ,
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同样,对于固定的 ,
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例3:(X,Y)的联合分布律为 Y -1 X 2 0.1 求:(1)a,b的值; (2){X=2}条件下Y的条件分布律;
0.2 a 2 0.1 b 求:(1)a,b的值; (2){X=2}条件下Y的条件分布律; (3){X+Y=2}条件下X的条件分布律。
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解: (1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
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例4:盒子里装有3只黑球,2只红球,1只白球,在其中
不放回任取2球,以X表示取到黑球的数目,Y表示取到红球的只数。求: (1)X,Y的联合分布律; (2)X=1时Y的条件分布律; (3) Y=0时X的条件分布律。若采用放回抽样呢?
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解:采用不放回抽样,X, Y的联合分布律为 X Y 0 1 2 1 2 0 2/15 1/15 3/15 6/15 0 3/15 0 0
1 2 / /15 3/ / 3/ 1/5 3/5 6/ / /15 Y 1 1/3 2/3 X 1 2 1/2
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采用放回抽样,X, Y的联合分布律为 X Y 0 1 2 1 2 1/36 4/36 4/36 6/36 12/36 0 9/36 0 0
1 2 1/ / /36 6/ / 9/ 1/4 1/2 4/ / /9 Y 1 1/3 2/3 X 1 2 1/16 6/16 9/16
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例5:一射手进行射击,击中目标的概率为 射击击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律。
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解:
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§2 二元随机变量的分布函数 定义:设(X,Y)是二元随机变量,对于任意实数x,y,二元函数 称为二元随机变量(X,Y)的分布函数。
(一) 分布函数 定义:设(X,Y)是二元随机变量,对于任意实数x,y,二元函数 称为二元随机变量(X,Y)的分布函数。
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分布函数 的性质 x1 x2 (x1,y) (x2,y) y y2 x y1 (x,y1) (x,y2)
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x2 y1 x1 y2
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(二) 边际(边缘)分布函数 二元随机变量(X,Y)作为整体,有分布函数 其中X和Y都是随机变量,它们的分布函数, 记为: 称为边际分布函数。
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事实上,
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(三) 条件分布函数 定义:条件分布函数
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§3 二元连续型随机变量 (一) 联合概率密度
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例1:设二元随机变量(X,Y)具有概率密度:
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例2:设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度为
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(二) 边际(边缘)概率密度 对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为 对于连续型随机变量(X,Y),概率密度为 X,Y的边际概率密度为:
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事实上, 同理:
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例3:(续上例)设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度为
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(三) 条件概率密度 定义:条件概率密度
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事实上,
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例4:设有一件工作需要甲乙两人接力完成,完成时间不能超过30分钟。设甲先干了X分钟,再由乙完成,加起来共用Y分钟。若X~U(0, 30),在X=x条件下,Y~U(x, 30)。
(2) 当已知两人共花了25分钟完成工作时,求甲的工作时间不超过10分钟的概率。
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二元均匀分布与二元正态分布 (1)若二元随机变量(X,Y)在二维有界区域D上取值,且具有概率密度 则称(X,Y)在D上服从均匀分布。
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例5:设二元随机变量(X,Y)在区域 内均匀分布,求条件概率密度
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解: 根据题意,(X,Y) 的概率密度为: Y的边际概率密度为:
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于是给定y(-1<y<1),X的条件概率密度为:
二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布
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§4 随机变量的独立性
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例1:§3例1中X和Y是否相互独立?即(X,Y)具有概率密度
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解:计算得,X和Y的边际概率密度分别为:
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请问:连续型随机变量X,Y相互独立,其密度函数有何特征?
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思考题:若随机变量(X,Y)的概率密度如下所示,问哪些密度函数对应的X与Y是相互独立的?
答:(1),(4)。
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X Y 1 P(X=j) 2 P(Y=i)
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X Y 1 P(X=j) 2 P(Y=i)
83
又由§2例题知,其边际概率密度的乘积为:
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一般n元随机变量的一些概念和结果
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边际分布 例如:
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相互独立
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定理1: 定理2:
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§5 二元随机变量的函数的分布
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例4:设X和Y是相互独立的标准正态随机变量,求 的概率密度。
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解:由卷积公式:
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一般:设X,Y相互独立,
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例5:X,Y相互独立,同时服从[0,1]上的均匀分布,求 的概率密度。
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解:根据卷积公式: 易知仅当 x x=z z 1 2 x=z-1 参考图得:
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例6:设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 记Z=X+Y,求Z的概率密度。
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x x=z x=z/2 z 参考图得:
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例7:某人一天做两份工作,一份工作的酬金X为10元、20元、30元的概率各为1/3,另一份工作的酬金Y~N(15,4)
例7:某人一天做两份工作,一份工作的酬金X为10元、20元、30元的概率各为1/3,另一份工作的酬金Y~N(15,4).设X,Y相互独立,记一天的酬金总数为Z,Z=X+Y。求 (1)Z的概率密度; (2)求一天酬金多于30元的概率。
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解: (1)先求Z的分布函数,利用全概率公式
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推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为: 则:
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例9:设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成,联结的方式分别为:(1)串联;(2)并联;(3)备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作)。如图,设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为:
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试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。
X Y L2 L1 X Y L1 L2 X Y L2 L1
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由于当L1,L2中由一个损坏时,系统L就停止工作,所以L的寿命为Z=min(X,Y);
(1)串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时,系统L就停止工作,所以L的寿命为Z=min(X,Y); 而X,Y的分布函数分别为: L1 L2
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故Z的分布函数为: Z的概率密度为: 即Z仍服从指数分布
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由于当且仅当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=max(X,Y),Z的分布函数为:
(2)并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=max(X,Y),Z的分布函数为: L1 L2 Z的概率密度为:
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由于这时当系统L1损坏时,系统L2才开始工作,因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和,即Z=X+Y;
(3)备用的情况 由于这时当系统L1损坏时,系统L2才开始工作,因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和,即Z=X+Y; 因此:
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课件待续!
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