任意角的三角函数(1).

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1 任意角的三角函数(1)

2 锐角三角函数的定义： y P(x,y) r α x o M

3 问：比值 是否因为P(x,y)点在 终边上的位置发生变化而变化？
当点P(x,y)满足x2 + y2 =1时,正弦函数值,余弦函数值，正切函数值会有什么样的结果？ x A(1,0) y O P(x,y) α M

4 （1）y叫做α的正弦，记作sinα，即 sinα=y；
任意角的三角函数定义： 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆（在直角坐标系中，称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆）交于点P(x,y)，那么： （1）y叫做α的正弦，记作sinα，即 sinα=y； x y O P(x,y) α A(1,0) （2）x叫做α的余弦， 记作cosα，即 cosα=x； （3） 叫做α的正切，记作tanα，即 tanα= (x≠0)。

5 例2、已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。
例1、求 的正弦、余弦和正切值。 x y O P α A(1,0) x A(1,0) y O P(x,y) α P0(x,y) M0 M 例2、已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。

6 练习：已知角α的终边经过点p(2，－3)，求角α的正弦、余弦和正切值。
三角函数 定义域 sinα R cosα tanα {α|α≠ ,kZ} 正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号？

7 三角函数值的符号问题

8 正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象限的角是正的，对于第二、三象限的角是负的。 正切值 对于第一、三象限的角是正的， 对于第二、四象限的角是负的。

9 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 三角函数值的符号问题 三角函数全为正 正弦为正 余弦为正 正切为正 y x o
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余 　　　　　　　割为正,其余均为负 　　　第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关 的正割为正，其余皆为负。

10 例 确定下列各三角函数值的符号： (1) (2)cos1300 ； (3) 解： Ⅳ， 解： (1) (2) ∵1300∈Ⅱ ∴ cos1300 <0 (3) Ⅱ

11 例、 求证:当且仅当下列不等式组成立时，角θ
为第三象限角.

12 cos(α ＋ k·2π )＝cosα (k∈Z) 终边相同的角的同一三角函数值相等。 tan(α ＋ k·2π)＝tanα 公式一：
　公式一： sin(α ＋ k·2π )＝sinα　 cos(α ＋ k·2π )＝cosα tan(α ＋ k·2π)＝tanα (k∈Z)

13 1 运用公式时， k∈Z不能省略！ 与 α终边相同的角。 值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。 说明：
2　α ＋ k·2π， k∈Z表示任意 　　与 α终边相同的角。 3　此公式表明求任意角的三角函数 　值的问题，可以转化为求0°～360° 　(0～2π)间角的三角函数值的问题。

14 应用举例 例 １、 确定下列三角函数值的符号： ① cos ② tan3π ③ tan(-672°） ④ ２、求下列三角函数值：

15 下列各式为正号的是（ ） A cos2-sin2 B cos2sin2 C tan2sec2 D sin2tan2 C C 2 若lg(sintan)有意义，则是（ ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0, sin>0,则a的取值范围是 。 -2<a3

16 例3 若是是第二象限角, 且|cos(/2)|=- cos(/2), 问/2是第几象限角？ 练习 已知是第三象限角，且sin(/2)<0， 则( ) A cos(/2)<0 B cos(/2)>0 C tan(/2)> D cot(/2)>0 B