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數學講座 正多面體 莊佳富 陳麒任 老師
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平面圖形 平面上常見的多邊形 如：三角形、四邊形、五邊形、六邊形。
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如果我們把它的邊延長，我們會發現某些邊延長後會與其它的邊相交，像這樣的多邊形叫做凹多邊形。
B A E C D C A B D 如果沒有特別指明，我們所提到的多邊形都是凸多邊形。
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看一看，你能找出多少個平面圖形？ 三角形 正方形 四邊形 五邊形 八邊形 六邊形 平行四邊形
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常見的立體圖形 你知道這些是什麼形狀呢？
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角柱 角柱是由上下兩個全等的多邊形底面和一些平行四邊形的側面所組成，如果它的兩個底面都是 n 邊形，我們就把它稱為 n 角柱。 三角柱 四角柱 五角柱 六角柱 側面都和底面垂直，且每個側面都是長方形，稱為直角柱。
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角柱的展開圖 三角柱展開圖 五角柱展開圖
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你知道正方體的平面展開圖一共有幾種嗎？ 一共有11種喔！
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角柱的表面積 三角柱展開圖 角柱的表面積 = 側面的面積和 + 底面積和
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角柱的體積 = 底面積 × 高 疊出來的高度 即為高
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角錐 角錐是由一個多邊形底面和一些三角形的側面所組成，如果它的底面是 n 邊形，我們就把它稱為 n 角錐。 三角錐 四角錐 五角錐 六角錐 若底面是正多邊形，且側面都是互相全等的等腰三角形，稱為正角錐。
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角錐的展開圖 三角錐展開圖 四角錐展開圖 五角錐展開圖
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圓柱： 直圓柱可視為由兩個全等的圓柱底面， 和一個展開後成一長方形的側面所組成，且兩個底圓的圓心連線與底面垂直。 圓錐： 圓錐是由一個圓形底面和一個側面所組成
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圓柱及圓錐的展開圖 圓柱展開圖 圓錐展開圖
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倒水實驗說明角錐與角柱體積的關係 角錐的體積 = × 角柱的體積 = × 底面積 × 高
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尤拉(或譯為歐拉)(Euler,1707~1783)，被稱為是數學界的莎士比亞。
在數學史上，人們稱十八世紀為「尤拉時代」。 尤拉於 1707 年 4 月 15 日誕生於瑞士的巴塞爾(Basel)，31歲時喪失了右眼的視力，59歲因白內障而雙眼失明，但他性格樂觀，並未因為失明而遲緩鬆懈研究工作。 尤拉不僅在數學方面有許多貢獻，在力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥.....等，也都可以看到他的名字。 我們現在習以為常的數學符號，例如：函數符號 f(x)、圓週率π、自然對數的底 e、求和符號 Σ、log x、sin x、cos x 以及虛數單位 i 等，很多都是尤拉所發明的。
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F+V-E=2 尤拉公式 數學家尤拉，在1752年發現多面體的關係有 面(F)：包圍多面體的多邊形叫做多面體的面
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驗證角柱是否滿足尤拉公式： 面(F) = 頂點(V) = 邊(E) = F+V-E = = 2 5 6 9 面(F) = 頂點(V) = 邊(E) = F+V-E = = 2 6 8 12
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驗證角柱是否滿足尤拉公式： 五角柱 六角柱 …… n 角柱 面(F) 7 8 n+2 頂點(V) 10 12 2n 邊(E) 15 18
F+V-E 2 2 2
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驗證角錐是否滿足尤拉公式： 面(F) = 頂點(V) = 邊(E) = F+V-E = = 2 4 4 6 面(F) = 頂點(V) = 邊(E) = F+V-E = = 2 5 5 8
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驗證角錐是否滿足尤拉公式： 五角錐 六角錐 …… n 角錐 面(F) 6 7 n+1 頂點(V) 6 7 n+1 邊(E) 10 12 2n
F+V-E 2 2 2
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動動腦 將任一個多面體截去任意一個頂點，使它形成一個新的多面體。假如原來的多面體有F張面、 V個頂點、E條邊，新的多面體有F’張面、 V’個頂點、E’條邊，那麼 尤拉公式 F’+ V’-E’=2 是不是還會成立呢？ F=4、V=4、E=6 F+V-E=4+4-6=2 F’=5、V’=6、E’=9 F’+V’-E’=5+6-9=2
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正多面體 正多面體定理： 每個面都是全等的正多邊形，且各個頂點上匯聚的稜數也相等的凸多面體，稱為「正多面體」。 正多面體只有五種：
正四面體、正六面體、正八面體、 正十二面體、正二十面體
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正四面體 正六面體 正八面體 展開圖
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正十二面體 正二十面體 展開圖
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驗證正多面體是否滿足尤拉公式： 面(F) 4 6 8 12 20 頂點(V) 4 8 6 20 12 邊(E) 6 12 12 30 30
正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體 面(F) 4 6 8 12 20 頂點(V) 4 8 6 20 12 邊(E) 6 12 12 30 30 F+V-E 2 2 2 2 2
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THE END
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