Download presentation
Presentation is loading. Please wait.
1
第六章 曲线和曲面(三) 2019/5/19 Thank you for your time today.
Believe I have a lot of good information to share with you today – it’s been just a little over a year since we introduced the notion of e-business on demand – know that there’s been a lot written about it … lots of competitors have begun to describe notions that sound very similar. Today I want to spend the majority of our time together moving the discussion from the what and why of becoming an on demand business to the how – to some very concrete essentials, methodologies and offerings that we’ve spent the last year developing. But before I get into specifics on the how to – I do want to spend a few minutes up front – setting a little context. 2019/5/19
2
主要内容: 曲线、曲面参数表示的基础知识 常用的参数曲线 常用的参数曲面 2019/5/19
3
曲面表示: 曲面表示的作用: 能使模型表现的质量更高,特别是构造高质量真实感模型; 曲面建模方法:很多
方法一:类似于多面体建模,用小的,互相连接的曲面片,而不是用多边形构造模型; 方法二:直接定义实体对象的表面,如多面体、球体、柱体和圆锥体等,再用这些实体对象构建模型,此过程也称为实体建模; 构建模型方法: 加法建模:把许多简单的实体对象组合起来构建模型; 减法建模:从给定的物体中去除某些部分,从而构建新的物体,如,在球体或立方体中挖一个柱形的洞。减法建模类似于雕塑; 2019/5/19
4
曲面绘制: 曲面的建模和逼近比较复杂; 两种曲面的表示方法:特征网格、插值面片 特征网格:用给定的节点集Pij构造曲面;
直接推广Bezier-Bernstein和Bezier-B样条曲线逼近方法。 特征网格是一个多边形网络,其顶点为Pij 插值面片: 描述曲面片的边界曲线,再通过边界曲线的插值,“填充”曲面片的内部; 2019/5/19
5
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
6
参数曲面的表示: 1、一张矩形域上的参数曲面片 参数曲面的定义 显式、隐式; 参数式:从图形学角度,更便于用计算机表示与构造;
定义:由曲线边界包围,具有一定连续性的点集面片; 用双参数的单值函数表示(如图): 2019/5/19
7
参数曲面的定义 其中 为参数; 上式可改写为: 参数曲面片的常用几何元素: 1)角点: 代入 可得四个点:
其中 为参数; 上式可改写为: 参数曲面片的常用几何元素: 1)角点: 代入 可得四个点: 2)边界线:矩形域曲面片的四条边界线是: 3)曲面片上一点; 4) 点的切矢:在面片上一点 处有 向切矢为 向切矢为: 5) 点的法矢:该点处的法矢记为: ,简记为: 2019/5/19
8
参数曲面的定义 2、常用面片的参数表示举例(1) 在xoy平面上,矩形域的平面片的参数表示(如图): 球面(如图): 球心坐标: 半径:r
参数:纬度,经度 表达式: 2019/5/19
9
参数曲面的定义 常用面片的参数表示举例(2) 简单回转面 若一条曲线绕Z轴旋转,会得到一张回转面;如图; 参数表达式: 2019/5/19
10
参数曲面的定义 3、双三次参数曲面片的代数形式 定义:两个三次参数变量定义的曲面片;应用最广泛的一种面片; 代数形式: 矩阵表示:
若已知四个角点坐标及其切矢量,则该面片边界线的代数形式: 1) 2) 2019/5/19
11
参数曲面的定义 4、双三次参数曲面片的几何形式 3) 4) 1)几何表示是基于其代数表示和 边界条件: A. 4个角点位置矢量
B.角点处的8个切点 A、B共同定义边界曲线(如图:) 2019/5/19
12
参数曲面的定义 2)边界曲线表达式: F与Hermite曲线的调和函数相同; 3)求辅助线(如图);
对曲线 作u向切矢,可以得到一条辅助线: 类似的,另外三条辅助曲线: 钮矢:其中 是曲面片角点处的扭矢; 双三次曲面片上任一点的扭矢满足: 2019/5/19
13
参数曲面的定义 4)由边界曲线和辅助线,构造双三次参数曲面片,其几何系数矩阵为: 其中: 左上角子阵:矩形域的角点位置矢量;
左下角子阵:角点在u向的切矢; 右上角子阵:角点在w向的切矢; 右下角子阵:角点的钮矢; 5)求 : 曲面点pi,j可看成曲线Piw和Puj的交点,也是求一个给定参数值的参数曲线上的一点。对于两条曲线,首先确定其几何系数 ,进而求 2019/5/19
14
参数曲面的定义 上式中系数: 是 的简写; A:确定几何系数 设从曲线 开始,确定其几何系数: B:求 由 边界曲线,求 由 辅助曲线,求
设从曲线 开始,确定其几何系数: B:求 由 边界曲线,求 由 辅助曲线,求 上式中系数: 是 的简写; 2019/5/19
15
参数曲面的定义 6)几何表示的矩阵式: 由上述四式求得 曲线的几何系数后,则点 点 处的 :
由上述四式求得 曲线的几何系数后,则点 点 处的 : 令 ,则双三次参数曲面片的几何和表示的矩阵式为: 此处: M和三次Hermite曲线的系数矩阵相同 -》 2019/5/19
16
参数曲面的定义 7)代数形式和几何形式间的关系: 由 定义的双三次参数曲面称为Hermite曲面或Ferguson曲面;
基于式6-3-2: 和6-3-1: 可得双三次参数曲面代数形式和几何形式之间的关系: 构造参数曲面的主要任务:构造其几何系数矩阵B。 5、双三次参数曲面的切矢和钮矢 1)U向切矢: 2)w向切矢: 3)钮 矢: 2019/5/19
17
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
18
参数曲面的重新参数化 1、参数方向变反 最简单形式:把参数变量u或/和w的方向变反; 此方式不改变曲面片的形状;
如图,表示对一个曲面片改变参数方向的三种情况: 2019/5/19
19
参数曲面的重新参数化 初始曲面片如图a,其几何系数Ba: 若参数U方向取反-》相应法矢方向也取反,几何系数为Bb:
若参数w方向取反-》相应法矢方向也取反,几何系数为Bc: 若u,w方向均取反-》相应法矢方向不变,几何系数如Bd: 2019/5/19
20
参数曲面的重新参数化 2、重新参数化的一般形式 一般情况如图(下页)所示: 图a所示曲面片参数区间从 变到 ,从 变到 ;其几何系数B1;
图b参数区间从 变到 ,从 变到 ;其几何系数B2; 对B1,B2两张曲面片,角点位置应重合,即: 若要求两张曲面片的参数方程仍是双三次,要求u和t, w和v是线性关系: 2019/5/19
21
2019/5/19
22
参数曲面的重新参数化 3、参数曲面片的分割 给定参数曲面片,几何系数矩阵B1;
2019/5/19
23
参数曲面的重新参数化 对于新面片,角点有如下关系: 其中P矢量是B1的元素,q矢量是B2的元素; 若令 ,则相应切矢和扭矢如下表示:
若令 ,则相应切矢和扭矢如下表示: 由上述16个表达式可以构造分割后子曲面片的几何系数矩阵B2; 2019/5/19
24
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
25
平面、二次曲面和直纹面 1、平面 最简洁的参数表示形式(如图): 其代数形式是双三次曲面片代数形式的退化表示,即: 其中:
说明该平面片过 且平行于r,s矢量。其相应的几何形式为: 角点: U向切矢: W向切矢: 扭矢: 由此四个参数表示的几何参数矩阵: 2019/5/19
26
平面、二次曲面和直纹面 2、二次曲面 球体、柱体、锥体都属于二次曲面家族; 二次曲面用二次(x,y或z)方程定义;
几何表示定义参数下表所示,对应图6.3.11 2019/5/19
27
平面、二次曲面和直纹面 二次曲面的代数式定义: 写成矩阵: 上式化简可消去一次项,可得: 即: -》二次曲面的判断式;
即: -》二次曲面的判断式; 若 则方程表示一个球面,其半径为: 2019/5/19
28
平面、二次曲面和直纹面 其余情况见下图: 2019/5/19
29
平面、二次曲面和直纹面 3、直纹面 定义: 绕面上任一点的面法矢旋转含该法矢的平面,如果该平面至少在某一方向上有一条边和该面重叠,则此面在一个方向上是直纹面(如图:)。 如在多个方向上该平面边和此面重叠,则此面在该点有多个直纹; 最简单的直纹面是平面; 二次曲面中的圆锥(台)面和圆柱面是单直纹面; 一张双曲面和双曲抛物面是双直纹面; 直纹面可看作是对两条已知边界曲线的线性插值; 2019/5/19
30
平面、二次曲面和直纹面 直纹面表示: 已知两条边界曲线式: 则直纹面为: 注意: 曲面的角点和边界曲线的端点重合;
直纹面的边界和线性插值边界重合: 即: 若已知: ,直纹面可以写成: 直纹面例子如图所示: 2019/5/19
31
平面、二次曲面和直纹面 4、双线性曲面 单位正方形的参数空间内,以其相反边界进行线性插值而获得的面; 如图,设任一点的参数坐标:
其矩阵形式: 角点: 如给定四个三维点,则用上式插值得到的双线性曲面也是三维的; 如给定单位立方体不共面的四个点,则双线性插值面为双曲抛物面,如图: 2019/5/19
32
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
33
Bezier曲面 1、定义 基于Bezier曲线,能给出Bezier曲面的定义和性质,Bezier曲线中的一些算法可以扩展到Bezier曲面的情况。 曲面定义:设 为 个空间点列,则 次Bezier曲面定义为: 基函数:式中 为Bernstein 基函数; 特征网格:依次用线段连接点列 中相邻两点所形成的空间网格为特征网格; Bezier曲面的矩阵表示: 实际应用中m,n小于4; 2019/5/19
34
Bezier曲面 1)双线性Bezier曲面: 定义: 上式定义了一张双线性Bezier曲面; 如果已知四个角点,则:
上式定义的曲面,其边界曲线及其参数坐标曲线均为抛物线; 3)双三次Bezier曲面: 2019/5/19
35
Bezier曲面 上式的矩阵形式: 双三次Bezier曲 面如图所示-》 2019/5/19
36
Bezier曲面 式中参数阵 的作用: 1) 是曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵,其中 在曲面片的角点处;
式中参数阵 的作用: 1) 是曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵,其中 在曲面片的角点处; 2) 阵四周的12个控制点定义四条Bezier曲线,即曲面片的边界曲线; 3) 阵中央的四个控制点 与边界曲线无关,但也影响曲面的形状; 2019/5/19
37
Bezier曲面 2、Bezier曲面片的拼接 已知两张双三次Bezier曲面片: 令: 相应特征网格如图: 1) 达到 连续 此时:
1) 达到 连续 此时: 2019/5/19
38
Bezier曲面 2) 达到 连续 此时在 区间, 在 处的切矢 和 在 处的切矢必须相同,即两个曲面在公共边界处的法矢必须连续,其表达式为: 分为两种情况讨论: a)设 将位置矢量和 代入上式有: 表示这四串点列应位于同一条直线上; 2019/5/19
39
Bezier曲面 b)设: 说明过 边界曲线上的一点作切平面,则 上的 应位于此切平面内,式中 为任意正数, 是w的一次方程;
2019/5/19
40
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
41
B样条曲面 1、定义 曲面定义:基于均匀B样条的定义和性质,可得B样条曲面的定义; 设有 个空间点列 ,则 定义了k×l次B样条曲面;
设有 个空间点列 ,则 定义了k×l次B样条曲面; 基函数:式中 分别为k次和l次的B样条基函数。 特征网格:有 组成的空间网格称为B样条曲面的特征网络; 矩阵表示: 式中y,z分别表示在u,v参数 方向上曲面片的个数: 是某个B样条面片的控制点编号; 2019/5/19
42
B样条曲面 最常用的B样条曲面是二次、三次B样条曲面; 1)均匀双二次B样条曲面: 已知曲面的控制点 则构造步骤:
(1)沿v或u向构造均匀二次B样条曲线,有: 2019/5/19
43
B样条曲面 (2)再沿u或v向构造均匀二次B样条曲线,即可得均匀双二次B样条曲面: 2)均匀双三次B样条曲面: 已知曲面的控制点 构造步骤:
(1)沿v或u向构造均匀三次B样条曲线(i=0,1,2,3),有: 2019/5/19
44
B样条曲面 (2)再沿u或v向构造均匀三次B样条曲线,即可得均匀双三次B样条曲面: 可认为是顶点沿 滑动, 每组顶点对应相同的v,当
可认为是顶点沿 滑动, 每组顶点对应相同的v,当 v由0到1连续变化,即形成B样条曲线; 2019/5/19
45
B样条曲面 3、反求均匀B样条曲面的控制点 已知型值点: 求相应均匀双三次B样条曲面的控制点列: 1)双向曲线反算法: (1)求特征多边形
对u向的m组型值点,按照B样条曲线的边界条件以及反算公式,求得由m组 B样条曲线构成的特征多边形,顶点为: (2)求特征网格控制点 每条曲线均要加两个边界条件-》可得(n+2)×m个特征网格控制点 把边Vi,j看作是v向的m组型值点,再作(n+1)次B样条曲线反算,即可得双三次B样条曲面的特征网格控制点: 2019/5/19
46
B样条曲面 2)广义矩阵法: 以均匀双三次B样条曲面为例: 2019/5/19
47
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
48
Coons曲面 Coons曲面 1964年,美国麻省理工学院S.A.Coons提出一种曲面分片、拼合造型的思想,Bezier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网格,Coons曲面的特点是插值,即通过满足给定的边界条件的方法构造Coons曲面 Coons曲面的特点 属于构造插值曲面的方法,曲面构造的几何意义明确且曲面的表达式简洁,用于构造给定型值点的曲面,不适用于进行曲面设计。 原因:在曲面设计的初级阶段,设计者对其所设计产品的外形仅有粗略的概念。为得到满意的外形,需要不断地修改型值点的位置。 2019/5/19
49
由于扭矢的几何意义不明显,设计人员难以把握,难以提供精确的角点信息,使曲面的形状不易控制
Coons曲面 由于扭矢的几何意义不明显,设计人员难以把握,难以提供精确的角点信息,使曲面的形状不易控制 不具备局部性。修改任意一个型值点都会影响整张曲面的形状,而其形状变化又难以预测 基本概念 假定参数曲面方程为P(u, v), u,v€[0, 1] 曲面片的四条边界 P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v) 曲面片的四个角点 P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1) 2019/5/19
50
u线和v线上的切矢:P(u,v)的u向和v向求偏导矢:
Coons曲面 u线和v线上的切矢:P(u,v)的u向和v向求偏导矢: 边界线P(u,0)上的切矢: 同理:Pu(u,1), Pv(0,v), Pv(1,v)也是边界线上的切矢 边界曲线的跨界切矢: 边界曲线P(u,0)上的法向(指参数v向)偏导矢 同理,Pv(u,1), Pu(0,v), Pu(1,v)也是边界曲线的跨界切矢 2019/5/19
51
角点P(0,0)的u向和v向切矢:在曲面片的每个角点上都有两个这样的切矢量
Coons曲面 角点P(0,0)的u向和v向切矢:在曲面片的每个角点上都有两个这样的切矢量 混合偏导矢或扭矢: 反映Pu对v的变化率或Pv对u的变化率 角点P(0,0)的扭矢: 曲面片上的每个角点都有这样的扭矢 2019/5/19
52
如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线P(u,0),P(u,1),
Coons曲面 双线性Coons曲面 如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线P(u,0),P(u,1), 2019/5/19
53
Coons曲面 问题的解有无穷多个,看一种最简单的情况。首先,在u向进行线性插值,可以得到以P(0,v)和P(1,v)为边界的直纹面P1(u,v) : 再在v向进行线性插值,可以得到以P(u,0)和P(u,1)为边界的直纹面 P2(u,v): 如果把P1(u,v)和P2(u,v)叠加,产生的新曲面的边界是除给定的边界外,迭加了四条连接边界两个端点的直边。为此,再构造分别过端点P(0,0)、P(0,1)及P(1,0)、P(1,1)的直线段: 2019/5/19
54
然后,以这两条直线段为边界,构造直纹面P3(u,v):
Coons曲面 然后,以这两条直线段为边界,构造直纹面P3(u,v): P(u,v)=P1(u,v)+P2(u,v)-P3(u,v), u,v€[0,1]便是所要求构造的面(四条直线边界被减掉),称之为双线性Coons曲面片。P(u,v)可进一步改写成矩阵的形式: 2019/5/19
55
Coons曲面 右端的三阶方阵包含了曲面的全部边界信息,称之为边界信息矩阵,其右下角二阶子块的四个矢量是曲面边界的端点,称之为曲面的角点。用双线性Coons曲面片来进行曲面拼合时,可以自动保证整张曲面在边界的位置连续 2019/5/19
56
Coons曲面 双三次Coons曲面 双线性Coons曲面能够自动保证各曲面片边界位置连续,曲面片边界的跨界切矢是否也同样连续?对(3.1.20)对v求偏导后,代入v=0,可得的跨界切矢:(计算略) 可见,跨界切矢不仅与该边界端点的切矢有关,还与该边界曲线有关。 因此,双线性Coons曲面在曲面片的边界上,跨界切矢一般不连续,也就是说,不能达到曲面片的光滑拼接 2019/5/19
57
Coons曲面 为构造光滑拼接的Coons曲面,除了给定边界信息外,还要给定边界的跨界切矢。也就是说,构造出的Coons曲面片不仅以给定的四条参数曲线为边界,还要保持四条曲线的跨界切矢。假定四条边界曲线为: 四条边界曲线的跨界切矢为: 不妨取Hermite基函数F0, F1, G0, G1作为调和函数,以类似于双线性Coons曲面的构造方法,构造双三次Coons曲面。在u向可得曲面P1(u,v): 2019/5/19
58
对角点的数据进行插值,可得曲面P3(u,v):
Coons曲面 在v向可得曲面P2(u,v): 对角点的数据进行插值,可得曲面P3(u,v): 2019/5/19
59
Coons曲面 跨界切矢就是已经给定的四条边界曲线和四条边界曲线的跨界切矢,称为双三次Coons曲面片。P(u,v)改成矩阵的形式为:
2019/5/19
60
Coons曲面 在式(3.1.21)右边的五阶方阵(即边界信息矩阵)中,第一行与第一列包含着给定的两对边界与相应的跨界切矢,剩下的四阶子方阵的元素由四个角点上的信息组成,包括角点的位置矢量、切矢及扭矢 观察方程(3.1.20)与(3.1.21),可以发现:对曲面片满足边界条件的要求提高一阶,曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶,并且要多用一对调和函数;边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息;余下的子方阵则包含着角点信息。认识了这些规律后,就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons曲面方程 2019/5/19
61
常用的参数曲线 参数曲面的定义 参数曲面的重新参数化 平面、二次曲面和直纹面 Bezier曲面 B样条曲面 Coons曲面
常用双三次参数曲面的等价表示 2019/5/19
62
常用双三次参数曲面的等价表示 已知:双三次Hermite, Bezier, B样条曲面的矩阵表达: 2019/5/19
63
常用双三次参数曲面的等价表示 问题:已知上述三种表示形式的一种,求其它二种:
1)已知Bezier表示,求Hermite和B样条表示的 和 : 对同一张曲面,有: 则 2)已知Hermite表示,求Bezier和B样条表示的 和 : 3)已知B样条表示,求Bezier和Hermite表示的 和 : 对同一张曲面 2019/5/19
64
Thank you! Best Wishes! 谢谢! 2019/5/19
Similar presentations