第十八章 单自由度系统的振动.

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1 第十八章 单自由度系统的振动

2 动力学 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 1. 振动-----系统在平衡位置附近作往复运动。 2. 振动的利弊： 利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。

3 动力学 4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类：
4. 振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动） 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动

4 动力学 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需简化为力学模型。 振体 质量—弹簧系统

5 动力学 运动过程中，使物体回到平衡位置的力称为恢复力

6 动力学 §12-1　单自由度系统无阻尼自由振动 只需用一个独立坐标就可确定振体的位置，这种系统称为单自由度系统。物体受到初干扰后，仅在恢复力作用下的振动称为无阻尼自由振动 一、振动的微分方程： 图示质量——弹簧系统，以平衡位置为坐标原点，则

7 动力学 这就是质量——弹簧系统无阻尼自由振动的微分方程。 对于其他类型，同理可得。如 单摆：

8 动力学 复摆： 对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的微分方程的标准形式： 解为：

9 动力学 设 t = 0 时， 代入上两式得： 或： C1，C2由初始条件决定为

10 动力学 A——振体离开平衡位置的最大位移，称为振幅 n t +  ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
 ——初相位，决定振体运动的起始位置 T ——周期，每振动一次所经历的时间 f —— 频率，每秒钟振动的次数，单位：HZ ， f = 1 / T ωn—— 圆频率，振体在2秒内振动的次数。 ωn=2πf ωn、f 都称为系统的固有频率或自然频率

11 动力学 无阻尼自由振动的特点： (1) 振动规律为简谐振动； (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；
(3)周期T 和固有频率ωn 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,J)。 四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。

12 动力学 2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度 并联 串联 并联 串联

13 动力学 二、 求系统固有频率的方法 对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有： ——弹簧在全部重力作用下的静变形 于是：
二、 求系统固有频率的方法 对于质量——弹簧这类系统，当振体静止平衡时，有： ——弹簧在全部重力作用下的静变形 于是： 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。

14 动力学 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。 如： 由Tmax=Vmax求wn的方法称为能量法。

15 动力学 综上所述，求系统固有频率的方法有： 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率，用能量法来求更为简便。
1. 振动微分方程的标准形式 2. 静变形法： 3. 能量法： ：集中质量在全部重力 作用下的静变形 由Tmax=Vmax , 求出

16 动力学 例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。

17 动力学 解：以 x 为广义坐标，静平衡位置为 坐标原点。 静平衡时： 在任意位置x 时：

18 动力学 应用动量矩定理x： 由 ， 有 振动微分方程： 固有频率：

19 动力学 解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点） 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
因平衡时

20 动力学 由 T+V= 有： 对时间 t 求导，再消去 ，得

21 动力学 例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物E质量为m, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。 解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：

22 动力学 以平衡位置为重力及弹性势能零位置，则：

23 动力学 设 则有 根据Tmax=Vmax , 解得

24 动力学 §12-2 单自由度系统的有阻尼自由振动 自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的（也称为衰减振动），这是因为有阻尼。 一、阻尼的概念： 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，介质粘性引起的阻尼力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。 投影式： μ —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。

25 动力学 二、振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼： 有阻尼自由振动微分方程的标准形式。

26 动力学 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形 —有阻尼自由振动的圆频率

27 动力学 衰减振动的特点： (1) 振动周期变大， 频率减小。 ——阻尼比 当 时，可以认为

28 动力学 (2) 振幅按几何级数衰减 振幅： 相邻两次振幅之比 对数减幅系数： 2、大阻尼阻尼情形 积分常数由C1、C2由运动的初始条件决定。

29 动力学 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。 3、临界阻尼情形 临界阻尼系数 （C1、C2由运动的初始条
件决定） 物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。 综上所述，系统受粘滞阻尼作用时，只有在n＜ωn的情况下才发生振动，振动的周期较无阻尼时略长，而振幅则按几何级数递减。

30 动力学 例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数μ 。 解：

31 动力学 § 单自由度系统的受迫振动 自由振动由于有阻尼的存在而逐渐衰减，但实际有很多振动并不衰减，这时因为受到干扰力的作用。干扰力时对系统起着激振作用的力，它不依赖于系统的运动而给系统不断地输入能量，使其持速振动。比如：转子的偏心、支撑点或悬挂点的运动等。 系统在干扰力的作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。 干扰力的种类很多，我们只讨论简谐变化的干扰力： H—力幅：干扰力的最大值； — 干扰力的圆频率

32 动力学 一、有阻尼情形 1、振动微分方程及其解 这就是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式：二阶常系数非齐次微分方程。其解为：

33 动力学 x1是对应齐次方程 的通解 小阻尼： （A、 积分常数，取决于初始条件） x2 是特解： 代入原方程并整理 — 受迫振动的振幅
— 强迫振动相位滞后干扰力相位角 振动微分方程的全解为

34 动力学 （1）n＜ωn时 衰减振动 受迫振动 （2）n=ωn时 （3）n＞ωn时
衰减振动 受迫振动 （2）n=ωn时 （3）n＞ωn时 上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的运动称为暂态响应，第一部分消失之后的运动称为稳态响应。受迫振动指的是稳态响应，其运动方程为：

35 动力学 2、有阻尼受迫振动的特点： （1）振动规律 ，为简谐振动，不随阻尼而衰减。 （2）与运动的初始条件无关。
（1）振动规律 ，为简谐振动，不随阻尼而衰减。 （2）与运动的初始条件无关。 （3）频率等于干扰力的频率，不受阻尼影响。 二、无阻尼情形 当n=0时，振动微分方程： 对应齐次方程的解： 特解： 当n=0时，有前述：

36 动力学 方程全解： 三、幅——频曲线 共振现象 将受迫振动的振幅改写为： 式中： ——静偏离：在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离
三、幅——频曲线 共振现象 将受迫振动的振幅改写为： 式中： ——静偏离：在干扰力力幅作用下，振体偏离平衡位置的距离 ——阻尼比

37 动力学 于是： λ——放大系数或动力系数 对于不同的阻尼比x，可得一系列放大系数λ随频率比ω/ωn的变化曲线，称为振幅——频率曲线，简称幅——频曲线。

38 动力学 阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。 —共振频率

39 动力学 一般ξ较小，可以认为当ω=ωn时系统发生共振，此时 （4）n/ωn=0，即无阻尼情况，当ω=ωn时系统发生共振，B→∞。
四、相——频曲线 有阻尼强迫振动相位总比干扰力滞后一相位角β，称为相位差。

40 动力学 对于不同的阻尼比x=n/ωn，可得一系列相位差β随频率比ω/ωn的变化曲线，称为相位差——频率曲线，简称相——频曲线。
(1) β在0～ 内变化。 (2) 单调上升。 (3) 当ω/ωn→0时， β →0。 (4) 当ω/ωn≈1（共振区）时，β变化剧烈， ω/ωn=1时无论阻尼大小，β=π/2 。 (5) 当ω/ωn > > 1时， β=π。强迫振动与干扰力反相。

41 动力学 例4 已知物体重P=3500N，k=20000N/m , 干扰力H=100N, f=2.5Hz , μ=1600N·s/m , 求B,β ,强迫振动方程。 解：

42 动力学

43 动力学 §12-4 临界转速  减振与隔振的概念 一、转子的临界转速
§12-4 临界转速  减振与隔振的概念 一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。 单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC= e ，盘和轴共同以匀角速度  转动。 当< n（ n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC= x+e (x为轴中点A的弯曲变形）。

44 动力学 （k为转轴相当刚度系数） 临界角速度： 临界转速：

45 动力学 质心C位于O、A之间 OC= x- e 当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳。
为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。

46 动力学 二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。 许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。 减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如， 利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。

47 动力学 隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。 隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。
隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。 被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。