第四章 电磁波的传播（3） §4.3 有导体存在时电磁波的传播 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年11月20日

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1 第四章 电磁波的传播（3） §4.3 有导体存在时电磁波的传播 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年11月20日
《电动力学》第20讲 第四章 电磁波的传播（3） §4.3 有导体存在时电磁波的传播 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年11月20日 山东大学物理学院 宗福建

2 上一讲复习 波动方程。由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一 点转移到另一点。即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以 波动形式运动着。在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁 波，如无线电波、光波、X射线和γ射线等）都以速度C传播，C就是 最基本的物理常量之一，即光速。 山东大学物理学院 宗福建

3 上一讲复习 2. 时谐电磁波 研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得 山东大学物理学院 宗福建

4 上一讲复习 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 山东大学物理学院 宗福建

5 上一讲复习 2. 时谐电磁波 亥姆霍兹（Helmholtz)方程 类似地，亦可以把麦质方程组在一定频率下化为 山东大学物理学院 宗福建

6 上一讲复习 3. 平面电磁波 概括平面波的特性如下： （1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直，TEM波；
（2）E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向； （3）E和B同相，振幅比为 υ 。 山东大学物理学院 宗福建

7 上一讲复习 转第20页 4. 电磁波的能量和能流 w和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需要用 到它们的时间平均值。
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8 上一讲复习 5. 反射和折射定律 时谐情形下的麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上,并考录到在 绝缘介质界面上，σ = 0 ,α = 0。
在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，由第一、二式可导 出其他两式。与此相应，边值关系也不是完全独立的。因此，在讨论 时谐电磁波时，介质界面上的边值关系只需考虑以下两式： 山东大学物理学院 宗福建

9 上一讲复习 5. 反射和折射定律 两边同时进行频谱分析，得必然有： 即，入射、反射和折射光的频率相等。 山东大学物理学院 宗福建

10 上一讲复习 5. 反射和折射定律 由于 x 和 y 是任意的，它们的系数应各自相等，
取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky‘ 和 ky“ 亦为零。 因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。 山东大学物理学院 宗福建

11 上一讲复习 5. 反射和折射定律 这就是我们熟知的反射定律和折射定律 对电磁波来说，υ = 1/(με)1/2，因此：
n21为介质2相对与介质1的折射率。 山东大学物理学院 宗福建

12 上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 （1）E垂直入射面 利用反射定律和折射定律得 山东大学物理学院 宗福建

13 上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 （2）E平行入射面 利用反射定律和折射定律得 山东大学物理学院 宗福建

14 上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式
在θ +θ" = 90°的特殊情况下，，E平行于入射面的分 量没有反射波，因而反射光变为垂直入射面偏振的完全偏 振光，这时光学中的布儒斯特（Brewster）定律，这情形 下的入射角为布儒斯特角。 山东大学物理学院 宗福建

15 上一讲复习 6. 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式
菲涅耳公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关 系。在E垂直入射的情形，因为当ε2 > ε1时θ > θ"， 因此E '/E为负数，即反射波电场于入射波电场反相，这 现象称为反射过程中的半波损失。 山东大学物理学院 宗福建

16 上一讲复习 7. 全反射 可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E垂直入 射面情形， 山东大学物理学院 宗福建

17 上一讲复习 7. 全反射 可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E平行入 射面情形， 山东大学物理学院 宗福建

18 上一讲习题解答 第27讲 课下作业：第150页，第2题。
第27讲 课下作业：第150页，第2题。 2、一平面电磁波以θ=45°从真空入射到εr=2 的介质， 电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。 解：设介质是非铁磁性且线性均匀的，即： 折射率 因入射角 山东大学物理学院 宗福建

19 上一讲习题解答 由折射定律 及 得 山东大学物理学院 宗福建

20 上一讲习题解答 转第07页 山东大学物理学院 宗福建

21 上一讲习题解答 山东大学物理学院 宗福建

22 上一讲习题解答 山东大学物理学院 宗福建

23 上一讲习题解答 山东大学物理学院 宗福建

24 本讲主要内容 导体内自由电荷分布 导体内的电磁波 趋肤效应和穿透深度 导体表面上的反射 山东大学物理学院 宗福建

25 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 引言 （1）真空或介质中电磁波传播可视为无能量损耗，电磁波 无衰减； （2）电磁波遇到导体，导体内自由电子在电场的作用下运 动，形成电流，电流产生焦耳热，使电磁波的能量不断损 耗，因此在导体内部电磁波是一种衰减波； （3）在导体中，交变电磁场与自由电子运动相互作用，使 导体中电磁波传播不同于真空或介质中电磁波的传播形式。 山东大学物理学院 宗福建

26 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 1．静电场中导体上的电荷分布 静电平衡时，电荷仅分布在表面上，导体内部无电荷， 且电场强度垂直导体表面。 导体内表面也无电荷。 山东大学物理学院 宗福建

27 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 2．变化场情况下的电荷分布 在变化电磁场中，导体不再处于静电平衡状态。 若有体电荷分布， ρ(t)分布随时间变化形成电流， 产生附加变化电磁场， 形成导体内总电磁场分布，又影响 ρ(t) 。 山东大学物理学院 宗福建

28 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 2．变化场情况下的电荷分布 设导体内部某区域内有自由电荷，其密度为ρ。 这电荷分布激发电场E， 山东大学物理学院 宗福建

29 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 上式表示当导体某处有电荷密度ρ出现时，就有电流从该 处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域 有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散 的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。 ρ的变化率由电荷守恒定律确定: 山东大学物理学院 宗福建

30 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 解此方程得 由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间为
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 解此方程得 由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间为 山东大学物理学院 宗福建

31 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 一．导体内的自由电荷分布 良导体条件: 只要电磁波的频率满足ω << τ −1 = σ/ε，就可 以认为ρ（t）= 0。 对于一般金属导体，τ的数量级为10−17s。 只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良导体。 良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表面上。 山东大学物理学院 宗福建

32 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 导体内部 ρ = 0，J = σE，麦氏方程组为 山东大学物理学院 宗福建

33 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有 时谐（定态）
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有 时谐（定态） 山东大学物理学院 宗福建

34 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 对一定频率ω的电磁波，可令D = εE，B = μH，则有 山东大学物理学院 宗福建 34

35 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 把这组方程和绝缘介质的麦克斯韦方程组比较，差别 仅在于第二式右边多了一项σE，这项是有传导电流引起 的。如果形式上引入导体的“复电容率” 与绝缘介质的相应方程形式上完全一致。因此只要把绝缘 介质中电磁波解所含的ε换作ε' ，即得导体内的电磁波解。 山东大学物理学院 宗福建

36 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 复电容率的物理意义 右边两项分别代表位移电流和传导电流。传导电流与电场 同相位，它的耗散功率密度为 1/2 Re（J*∙E）= σE02/2。 位移电流与电场有90°相位差，它不消耗功率。相应地， 在所定义的复电容率中，实数部分ε代表位移电流的贡献， 它不引起电磁波功率的耗散，而虚数部分是传导电流的贡 献，它引起能量耗散。 山东大学物理学院 宗福建

37 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 在一定频率下，对应与绝缘介质的亥姆霍兹方程，在导体内 部有方程， 当解满足条件 ▽∙E = 0 时代表导体中可能存在的电磁波。 山东大学物理学院 宗福建

38 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 方程形式上也有平面波解 k为复数，因此k是一个复矢量，即它的分量一般为复数。
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 方程形式上也有平面波解 k为复数，因此k是一个复矢量，即它的分量一般为复数。 山东大学物理学院 宗福建

39 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 导体中电磁波的表示式为 由此式可见，波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系， 虚部α描述波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常 数。 山东大学物理学院 宗福建

40 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 二、 导体内的电磁波 矢量 α 和 β 应满足一定关系 ？ 由 山东大学物理学院 宗福建

41 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 由 设介质中波矢为 ，导体中为 ，则 ，并 设 在 平面，即 ； 则 ， 。
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 三、平面波从介质入射到导体表面 设介质中波矢为 ，导体中为 ，则 ，并 设 在 平面，即 ； 则 ， 。 由 山东大学物理学院 宗福建

42 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 由 （即 分界面指向导体内部，波 沿 方向衰减） 三、平面波从介质入射到导体表面
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 三、平面波从介质入射到导体表面 由 （即 分界面指向导体内部，波 沿 方向衰减） 山东大学物理学院 宗福建

43 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 由 解出： 山东大学物理学院 宗福建

44 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 ，相速为 。 对良导体情况： ， ， 、 几乎同方向。 令 与 轴夹角为 ，由 得 ，从而定出
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 三、平面波从介质入射到导体表面 ，相速为 。 对良导体情况： ， ， 、 几乎同方向。 令 与 轴夹角为 ，由 得 ，从而定出 山东大学物理学院 宗福建

45 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 三、平面波从介质入射到导体表面 考虑垂直入射情形。设导体表面为xy平面，z轴指向导体 内部。在这种情形下αx = βx = 0，αy = βy = 0，α 和β都沿z轴方向， 山东大学物理学院 宗福建

46 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 三、平面波从介质入射到导体表面 对于良导体情形，这些公式还可以简化。k2的虚部与实部之 比为σ/εω，在良导体情形此值>>1，因而k2的实部可以忽 略 山东大学物理学院 宗福建

47 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 四、趋肤效应和穿透深度 由于有衰减因子，电磁波只能透入导体表面薄层内。因此， 有导体存在时的电磁波传播问题一般是作为边值问题考虑 的。电磁波与导体中的自由电荷相互作用，引起导体表层 上的电流。这电流的存在使电磁波向空间反射，一部分电 磁波能量透入导体内，形成导体表面薄层内的电磁波，最 后通过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热。 山东大学物理学院 宗福建

48 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 四、趋肤效应和穿透深度 波幅降至原值1/e的传播距离称为穿透深度δ。由上式 山东大学物理学院 宗福建

49 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 四、趋肤效应和穿透深度 穿透深度与电导率及频率的平方根成反比。例如对铜来说， σ约为5×107 S∙m−1，当频率为50Hz时，δ约为 0.9 cm； 当频率为100 MHz时，δ约为 0.7×10−3 cm。由此可见， 对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流仅 集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。 山东大学物理学院 宗福建

50 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 四、趋肤效应和穿透深度 磁场与电场的关系 在良导体情形，磁场相位比电场相位滞后45°，而且
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 四、趋肤效应和穿透深度 磁场与电场的关系 在良导体情形，磁场相位比电场相位滞后45°，而且 山东大学物理学院 宗福建

51 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 四、趋肤效应和穿透深度 而在真空或绝缘介质情形，此比值为1。 因此，在金属导体中，相对于真空或绝缘介质来说，磁场 远比电场重要，金属内电磁波的能量主要是磁场能量。 山东大学物理学院 宗福建

52 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 和绝缘介质一样，应用边值关系可以分析导体表面上电磁 波的反射问题。在一般入射角下，由于导体内电磁波的特 点使计算比较复杂，垂直入射情形计算较为简单，而且已 经可以显示出导体反射的特点。因此这里只讨论垂直入射 情形。 山东大学物理学院 宗福建

53 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射 波和透射入导体的折射波。应用到垂直入射情形，电 磁场边值关系为(E垂直于入射面) 其中E、E '和E"分别代表入射、反射和折射波的场强。 山东大学物理学院 宗福建

54 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 在良导体情形 山东大学物理学院 宗福建

55 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 山东大学物理学院 宗福建

56 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得 由上式可见，电导率愈高，则反射系数愈接近于1。 山东大学物理学院 宗福建

57 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波 和透射入导体的折射波。应用到垂直入射情形，电磁场 边值关系为(E平行于入射面) 其中E、E '和E"分别代表入射、反射和折射波的场强。 山东大学物理学院 宗福建

58 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 在良导体情形 山东大学物理学院 宗福建

59 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 山东大学物理学院 宗福建

60 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得
§4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 反射系数R定义为反射能流与入射能流值比。由上式得 由上式可见，电导率愈高，则反射系数愈接近于1。 山东大学物理学院 宗福建

61 §4.3 有导体存在时电磁波的传播 五、导体表面上的反射 测量结果证实了上式的正确性。例如对于波长为 1.2×10−5m的红外线，测得铜在垂直入射时的反射系数为 R = 1−0.016,与计算相符。对于波长较长的微波或无线电 波，反射系数更接近于1，只有很小一部分电磁能量透入 导体内部而被吸收掉，绝大部分能量被反射出去。因此， 在微波或无线电波情形下，往往可以把金属近似地看作理 想导体，其反射系数等于1。 山东大学物理学院 宗福建

62 本讲总结 1、只要电磁波频率不太高，一般金属导体都可以看作良 导体。良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导 体表面上。
2、导体中电磁波的表示式为 波矢量k的实部β描述波的传播的相位关系，虚部α描述 波幅的衰减。β称为相位常数，α称为衰减常数。 山东大学物理学院 宗福建

63 本讲总结 3、对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电 流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。
4、对于微波或无线电波，反射系数接近于1，只有很小一 部分电磁能量透入导体内部而被吸收掉，绝大部分能量被 反射出去。因此，在微波或无线电波情形下，往往可以把 金属近似地看作理想导体，其反射系数等于1。 山东大学物理学院 宗福建

64 课下作业 第 页 第6，7，8题。 山东大学物理学院 宗福建

65 谢谢！ 山东大学物理学院 宗福建