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第一章 第一节 集合的概念与运算
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集合的概念 【例1】 若集合A＝{1,3,5,6}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A， m≠n}，则集合B中元素的个数是( ) A B．6 C．8 D．10 思路点拨：根据m可取1,3,5,6四个值，进行分类讨论． 点评：理解集合的概念与表示，以及元素与集合之间 的从属关系是正确解答本题的关键．
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解析：m＝1时，x＝1；m＝3时，x＝3或35或36 ；m＝5时，x＝5或53或56；m＝6时，x＝6或63或65
解析：m＝1时，x＝1；m＝3时，x＝3或35或36 ；m＝5时，x＝5或53或56；m＝6时，x＝6或63或65. 综上知集合B中有10个元素．故选D. 答案：D
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变式探究 1．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A ＝，B＝，则集合A*B的所有元素之和为( ) A．0 B．2 C．3 D．6 答案：D
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集合中元素的准确识别 【例2】 已知集合A＝ ，B＝{y|y＝x2＋2}，C ＝，D＝{(x，y)|y＝x2＋2}，E＝{x|x－2≥0}，则( ) A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E 思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性 质相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样 的．因此对于集合问题，要首先确定它属于哪类集合(数集、点 集或某类图形)．
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点评：解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要， 要分清各集合的具体类型(如数集、点集等)，不允许有半点差 错，否则将导致解题的失败．
解析：集合A是用列举法表示，它只含有一个元素，即函数y＝x2＋2，集合B，C，E中的元素都是数，即这三个集合都是数集，集合B表示的是函数y＝x2＋2的值域，集合C表示的是函数y＝x2＋2的定义域R，集合E表示的是不等式x－2≥0的解集 ，集合D的元素则是平面上的点，此集合是函数y＝x2＋2的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选D. 答案：D
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变式探究 2．设集合A＝{x,y} | x2+y2=4}，B＝{(x，y) | y＝ }，C＝{x | y= ，D＝{y | y＝ }，试写出它们每两个集合之间的关系．
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集合的基本关系及空集的妙用 【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 思路点拨：集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集，此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同． 解析： 化简，得A＝[－2,5]． (1)若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得 m<2 ，符合B⊆A.
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(2)若B≠∅，如图所示，则 即2≤m≤3. 由(1)(2)知，m的取值范围是(－∞，3]． 点评：(1)涉及集合间的关系问题，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．
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变式探究 3．(1)(2013·山东高考信息卷)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(2013·河南省焦作市一模文)设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是( ) A．[2,3] B．(3，＋∞) C．[2，＋∞) D．(1,3)
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解析：(1)由(A∪B)⊆(A∩B)易得A∪B＝A∩B，则A＝ B，∴a＝1.
(2) 因为B⊆A，所以 解得2≤a≤3，故选A. 答案：(1)B (2)A
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集合的运算 【例4】 (1)(2013·潮州二模)已知集合A＝{1,2，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝( ) A．0 B．3 C．4 D．3或4 (2)(2013·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，那么( ) A．a＝－1 B．a≤1 C．a＝1 D．a≥1
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解析：(1)由集合A中元素的互异性知m≠1,2，
又A∪B＝{1,2,3,4}，∴m＝3或m＝4.故选D. (2)由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁UN＝{x|x≤1或x≥3}，又M∩(∁UN)＝{x|x＝1或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1，故选A. 答案：(1)D (2)A 点评：求两个集合之间的“交”、“并”、“补”运算时，一般应先把各个参与运算的集合化为最简形式，然后充分利用Venn图或数轴的直观性，优化解题过程．
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变式探究 4．(2013·广东省华附、省实、深中、广雅四校高三上学期 期末联考)设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}， 则P∪Q＝( ) A．{0,3} B．{0,2,3} C．{0,1,3} D．{0,1,2,3} 解析：由P∩Q＝{0}知，0∈P且0∈Q.由0∈P得log2a＝0，所以a＝1；由0∈Q得b＝0.故P∪Q＝{0,1,3}．故选C. 答案：C
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Venn图的运用 【例5】 (2012·黄山质检)记全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A．{2} B．{7,8} C．{4,6,7,8} D．{1,2,3,4,5,6}
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解析：阴影部分的集合是∁U(A∪B)．由题意得A∪B＝{1,2,3，4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{7,8}．故选B.
点评：元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达. 若题设条件比较抽象，也可以借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．
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变式探究 5.已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2…}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有__________个．
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解析：M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{1,3,5,7…}，所以M∩N＝ {1,3}，所以阴影部分表示的集合的元素有2个．
答案：2
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集合新定义问题 【例6】 (2013·珠海一模)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“ ”，满足X Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X (Y Z)＝( ) A．(X∪Y)∪(∁UZ) B．(X∩Y)∪(∁UZ) C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D．(∁UX)∪(∁UY)∪Z
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解析：因为X Y＝(∁UX)∪Y，所以Y Z＝(∁UY)∪Z，所以X(Y Z)＝(∁UX)∪(Y Z)＝(∁UX)∪(∁UY)∪Z
解析：因为X Y＝(∁UX)∪Y，所以Y Z＝(∁UY)∪Z，所以X(Y Z)＝(∁UX)∪(Y Z)＝(∁UX)∪(∁UY)∪Z.故选D. 答案：D 点评：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)合理使用集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
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变式探究 6．若x∈A， ∈A，就称A是“亲密组合”集合，集合M＝ 的所有非空子集中，是“亲密组合”集合的个数为________． 解析：由“亲密组合”的定义可知，集合中可以符合的元素－1,1， 与3， 与2，共4组，同一组的元素必须在同一集合，∴非空的“亲密组合”集合的个数共有24－1＝15个． 答案：15
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