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第二章 静电场（4） §2.4 分离变量法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月21日
《电动力学》第12讲 第二章 静电场（4） §2.4 分离变量法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月21日
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上一讲复习 1、电像法的适用条件 我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影 响用导体内部某个或某几个假想电荷来代替。注意 我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布 （在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只 有一个点电荷Q），因而并不影响泊松方程，问题的 关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能 够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以 用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解 可以简单地表示出来。 山东大学物理学院 宗福建 2
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上一讲复习 山东大学物理学院 宗福建 3
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上一讲习题解答 设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充 满电导率为 的液体，取该两平面为 xz面和 yz 面，在 和 两点分别置 正负电极并通以电流 I ，求导电液体中的电 势。 山东大学物理学院 宗福建 8
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上一讲习题解答 解：无限空间时 山东大学物理学院 宗福建 9
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上一讲习题解答 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。
1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。 山东大学物理学院 宗福建 10
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上一讲习题解答 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体 。为 满足器壁（边界上） ，应有三对像电极（即 三个像电流）。
1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体 。为 满足器壁（边界上） ，应有三对像电极（即 三个像电流）。 山东大学物理学院 宗福建 11
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上一讲习题解答 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。
1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。 山东大学物理学院 宗福建 12
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上一讲习题解答 2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即 三个像电流）
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上一讲习题解答 2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即 三个像电流）
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上一讲习题解答 2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流 为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三 对像电极（即三个像电流）
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本讲主要内容 分离变量法求解泊松方程 山东大学物理学院 宗福建 16
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§2.4 分离变量法 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为： 其特解之一为： 有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。
§2.4 分离变量法 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为： 其特解之一为： 有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 对一般情况，设泊松方程的解为： 则， 即： 泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。 例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板 上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜 内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表 面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如 果我们选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较 简单的拉普拉斯（Laplace）方程 。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法 求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在 该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用 的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用 球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用 （R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 拉氏方程在球坐标系中的通解为
§2.4 分离变量法 拉氏方程在球坐标系中的通解为 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在 具体问题中由边界条件定出。Pnm（cosθ） 为缔和 勒让德（Legendre）函数。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不 依赖于方位角φ，这情形下通解为
§2.4 分离变量法 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不 依赖于方位角φ，这情形下通解为 Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 Pn（cosθ）为勒让德函数 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 Pn（cosθ）为勒让德函数 山东大学物理学院 宗福建 24
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§2.4 分离变量法 n=0时， 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 n=1时， 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 n=2时， 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 例1 电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场 E0中， 求电势。 （取介质球球心处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 解 介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚 电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场 E0 上，得总电场E 。束缚电荷分布和总电场E互相制约， 边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。 这问题具有轴对称性，对称轴 为通过球心沿外电场E0 方向的 轴线，取此轴线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 介质球的存在使空间分为两均匀区域——球外区域 和球内区域。两区域内部都没有自由电荷，因此电 势φ都满足拉普拉斯方程。以φ1代表球外区域的电势， φ2代表球内的电势，两区域的通解为（an,bn,cn,和 dn是待定常数）。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取介质球心处电势为零。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （3）在介质面上： （R=R0） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 所有系数已经定出，因此本问题的解为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 电场为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 球内的电场为 3ε0E0/(ε+2ε0)，因为 3ε0/(ε+2ε0)总小于1，所以球内的电场比原外场 E0 弱，这是由于介质球极化后在右半球面上产生正 束缚电荷，在左半球面上产生负束缚电荷，因而在 球内束缚电荷激发的场与原外场反向，使总电场减 弱。在球内总电场作用下，介质的极化强度为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 介质球的总电偶极矩为 φ1中的第二项是这个电偶极矩所产生的电势 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 例2 总电荷为零的导体金属球置于均匀外电场 E0 中，求电势。（金属球表面处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 解 金属球在外电场中产生感应电荷。这些 感应电荷激发的电场叠加在原外电场 E0上， 得总电场E 。感应电荷分布和总电场E互相制 约，边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。这问题具有轴 对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0 方向 的轴线，取此轴线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。
§2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取金属球表面电势为零。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 导体面上电荷面密度为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 金属球外空间的电势为 导体面上电荷面密度为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 设想这球壳被垂直于E0的平面分割成两个半 球壳。为了使这两个半球壳不致分开，需要 加多大的外力？（其中，面电荷所在处的电 场强度等于该面两边电场强度极值之和的一 半，即E=(E++E-)/2，E+和E-分别为从该面两边 趋于该面上同一点时电场强度的极限值。） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 与介质球问题比较：介质球 金属球 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 例3 总电荷为Q的导体金属球置于均匀外电场 E0中， 求电势。（金属球表面处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 解 金属球在外电场中产生感应电荷。这些 感应电荷激发的电场叠加在原外电场 E0上， 得总电场E 。感应电荷分布和总电场E互相制 约，边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。这问题具有轴 对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0 方向 的轴线，取此轴线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。
§2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取金属球表面电势为零。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 金属球外空间的电势为 导体面上电荷面密度为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 金属球外空间的电势为 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 与介质球问题比较：介质球 金属球 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 例4 电容率为ε的均匀带电ρf介质球置于均匀外 电场 E0中，求电势。（取介质球心处电势为零。）
§2.4 分离变量法 例4 电容率为ε的均匀带电ρf介质球置于均匀外 电场 E0中，求电势。（取介质球心处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 解 介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚 电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场 E0 上，得总电场E 。束缚电荷分布和总电场E互相制约， 边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。这问题具有轴对称性， 对称轴为通过球心沿外电场E0 方向的轴线，取此轴 线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 先不考虑均匀场的影响，则 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 介质球的存在使空间分为两均匀区域——球外区域 和球内区域。以φ1代表球外区域的电势， φ2代表 球内的电势，两区域的通解为，an,bn,cn,和dn是待 定常数。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取介质球心处电势为零。 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 边界条件包括： （3）在介质面上： （R=R0） 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建
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§2.4 分离变量法 所有系数已经定出，因此本问题的解为 对比均匀外场中带电金属球问题： 山东大学物理学院 宗福建
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课下作业： 课下作业： 第71-73页，第6，7，8，18题。
补充题：用分离变量法求解接地金属球 外一个点电荷的势，和电像法相比较， 并证明其两个解是完全相同的。 山东大学物理学院 宗福建
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课下作业：思考题 1、半径为R0的介质球置于均匀外电场E0中（真空），求空间电势和电 场分布。取介质球球心处的电势为零。
2、具有均匀外电场E0的均匀介质中有一个半径为R0的真空空洞，求空 间电势和电场分布。取空洞球心处的电势为零。 3、半径为R0的不带电导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电势、 电场和导体上的电荷面密度。取导体球球面处的电势为零。 4、半径为R0的带电荷Q的导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电 势、电场和导体上的电荷面密度。取导体球球面处的电势为零。 5、在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷 ρf 的介质球(电容率 ε)， 求空间各点的电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。 山东大学物理学院 宗福建
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