大綱: 直線與圓的位置關係 切線相關性質 弦及弦心距 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司

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1 大綱: 直線與圓的位置關係 切線相關性質 弦及弦心距 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司
本單元預備知識： 勾股定理以及 第四冊幾何部份

2 直線與圓的位置關係 M O P L N A B 直線 L 與圓 O 無交點， 此時圓心到直線的距離 大於半徑
直線 M 與圓 O 交於一點， 此時圓心到直線的距離 等於半徑， 直線 M 稱為圓 O 的切線， 交點 P 稱為圓 O 的切點 M O P L N A B 直線 N 與圓 O 交於兩點， 此時圓心到直線的距離 小於半徑， 直線 N 稱為圓 O 的割線， 交點 A、B 所形成的 稱為弦， 圓心到弦的距離稱為弦心距。 例題練習 有大、中、小三個同心圓，其圓心皆為 O， 半徑分別為 6、5、4。圓心 O 到直線 L 的距離為 5， 則： (1) 直線 L 是哪一個圓的切線 ? (A) 大圓 (B) 中圓 (C) 小圓 (2) 直線 L 是哪一個圓的割線 ? (A) 大圓 (B) 中圓 (C) 小圓 (3) 直線 L 與哪個圓不相交 ? (A) 大圓 (B) 中圓 (C) 小圓 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

3 切線長性質 直線 AP 及直線 BP 分別切圓 O 於 A、B 兩點，則 A O P B [ 證明 ] 連 、 、 因為 所以 例題練習 A
直線與圓的位置關係 直線 AP 及直線 BP 分別切圓 O 於 A、B 兩點，則 [ 證明 ] 連 、 、 因為 所以 A O P B 例題練習 A 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 P 為圓 O 外一點， 與 切圓 O 於 A、B。 若 ， ，則： (1) (2) 四邊形 APBO 的周長為多少 ? (3) O P B 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

4 圓外切四邊形 直線與圓的位置關係 定義：四邊形 ABCD 的四邊均與圓 O 相切， 稱四邊形 ABCD 為圓 O 的圓外切四邊形； 圓 O 稱為四邊形 ABCD 的內切圓。 性質：四邊形 ABCD 為圓 O 的圓外切四邊形， 則 D S A R O P B Q [ 證明 ] 令切點分別為 P、Q、R、S， 由切線長性質可知 C 例題練習 如圖，四邊形 ABCD 為圓外切四邊形。若 ， ， ，則 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 A D B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

5 圓外切四邊形的面積 若圓外切四邊形的周長為 s，內切圓半徑為 r，則四邊形面積＝ A D O C B
直線與圓的位置關係 若圓外切四邊形的周長為 s，內切圓半徑為 r，則四邊形面積＝ A [ 證明 ] 連 ，及圓心和各切點的連線 則四邊形面積 D O B C 例題練習 四邊形 ABCD 為圓外切四邊形。若 ， 圓半徑為 4，則四邊形 ABCD 的面積為何 ? 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

6 弦心距性質 O A B M 弦心距垂直平分弦 [ 證明 ] 連 因為 所以 因為 所以 例題練習
直線與圓的位置關係 [ 證明 ] 連 因為 所以 因為 所以 O A B M 例題練習 如圖，直線 L 交圓 O 於 A、B 兩點。 若圓 O 的半徑為 13， ， 則 的弦心距＝? 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 A M B O 弦心距垂直平分弦 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

7 弦心距及弦的大小關係 1. 弦相等 弦心距相等 2. 弦較長 弦心距較短 C A N D C N D B M O O M B A 例題練習
直線與圓的位置關係 1. 弦相等 弦心距相等 弦較長 弦心距較短 C A N C D N B D O M O M B A 例題練習 1. 如圖，A、B、C 為圓 O 上的點，且 ， ，若 ， 試比較 和 的大小。 2. 如圖， ， ，若 的弦心距 ，則 的弦心距 連比與連比例式 基本上 都是直接延伸自前面 學過的比和比例式 我們來看他們之間的一一對應關係 首先，我們來看連比，它就是幾個數的連續比 例如 a：b：c 稱為 a、b、c 三個數的連比 這個定義和比的差別就是 多個數和 只有 兩個數的比 同樣的，連比例式和比例式的差異也是一樣 在比例式裏面，是用來描述兩個數的比例相等 而連比例式呢，則是多的數的比例相等 例如，x：y：z ＝ a：b：c 就是指 等號 兩邊的比例相等 而多個數的比例相等 的意思 就是任兩個之間的比例都會相等 也就是 x：y ＝ a：b , y : z = b : c ,以及 x : z = a : c 因此， 如果這三個條件同時成立，就可以得到 x：y：z ＝ a：b：c 隨堂練習 第一題，連比例式就是任兩個之間的比例相等 所以我們可以先看 3 : 2 = x : 4，根據比例式的定義 等號 兩邊的比值相同，得到 3 / 2 = x / 4，就可以求出 x 接著再看 2 : 1 和 4 : y，得到 2 / 1 = 4 / y，就可以求出 y 第二題，若 xyz > 0 且 3x = 4y = 6z，求 x : y : z = 依據連比例式的定義，我們如果可以找到 x, y, z 之間兩兩的比例關係 就可以得到 x : y : z 了 從 3x = 4y，我們可以得到 x : y = 4 : 3 從 4y = 6z，就可以得到 y : z = 6 : 4 從 3x – 6z，就可以得到 x : z = 6 : 3 從這三個條件，我們希望讓中間的項一樣 根據比的擴分約分性質 這邊除以 2 就得到 3 : 2 同樣的 x : z 的部分可以除以 3 再乘以 2 就得到 4 : 2 我們將左邊的式子簡單整理一下，y : z 就等於 3 : 2，x : z 就等於 4 : 2 所以 a =4, b = 3, c = 2 因為同時滿足這三個條件，所以 x : y : z 就等於 20 : 15 : 12 同學一定會很好奇，看起來好像只要 x : y 和 y : z 兩個條件應該就可以得到 x : y : z 的值 這個觀察是正確的，我們在下一節就會介紹這個性質 A B D M M N O O C N A B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

8 重點整理 直線與圓的位置關係 弦心距 小於半徑 割線 大於半徑 弦 直線與圓沒有交點 直線與圓兩個交點 切線 切點 直線與圓一個交點
弦心距與弦 等於半徑 弦心距垂直平分弦 等弦對等弦心距 大弦對小弦心距 A 切線長性質 P 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 B D 圓外切四邊形 A B C 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司

9 重點整理 相似形 平面圖形的縮放 A’ A’ A O A C B O B B’ B’ C’ 三角形內比例線段性質 比例式性質
縮放及相似形 三角形內比例線段性質 縮放前後的線段互相平行 平面圖形的縮放 縮放前後各對應邊長形成比例線段 性質 縮放前後角度不變 A’ A’ A O A C B O B B’ B’ C’ 定義 相似形 若一個圖形經過縮放後，和另一個圖形全等， 則稱這兩個圖形相似，以「~」記之。 一開始，我們介紹連比例式的定義 我們用 x, y, z = a, b, c 來表示這兩個連比的比例相等 而比例相等的意思就是兩兩之間要成比例 也就是 x : y = a : b, y : z = b : c 而且 x : z = a : c 要同時成立 雖然定義告訴我們 3 個條件要同時成立 但因為只要前面兩個條件成立，就可以得到第三個關係式 這就是我們介紹的性質一 若定義中 3 個條件中兩個成立，一樣可以得到連比例式的關係 例如， x : y, y : z，就可以得到 x : y : z 的關係 要注意，這裏共同的 y 所對應的值 b 要一樣 如果不一樣呢? 例如，5 : 2 和 3 : 4 我們就要透過比的擴分性質 將 5 : 2 乘以 3，3 : 4 乘以 2 讓中間的項得到相同的 6 而這個性質的證明關鍵是利用 x : y = a : b來得到 x / a = y / b 的關係 最後得到 x / c = y / z，也就是第三個條件 x : z = a : c 接著我們則介紹比的擴分與約分 也就是同時乘或除一個不為 0 的數，比例關係不變 例如，因為這裏的 4 x 2 = 8，也就是 m = 2，每一項都 x 2 就可以分別得到 x = 5x2 與 y = 9 x 2 的值了 而性質2 的證明則直接應用比的擴分 a : b = am : bm 和 第一個性質 a : b, b : c 的條件而得到 a : b : c = am : bm : cm 性質 3 則是一個重要的解題技巧 也就是當看到 x : y : z = a : b : c 時，我們通常可以假設 x = am, y = bm, z = cm 代入題目求解 例如，x : y : z = 2 : 1 : 3，就可以將 x, y, z 用 2m, m 和 3m 代入 因為每一項都有 m，最後可以約去而得到答案 因為通常都可以約去，有時候我們可以直接審略 m 直接用 2, 1, 3 代入來更快得到答案 而這個性質的證明，則是利用 x : y : z = a : b : c 來得到 x/a = y / b = z / c 的關係 將這個值設成 m，就可以得到 x=am, y=bm, z=cm 了 比例式性質 性質 兩圖形相似 對應邊成比例 且 對應角相等 相似形周長比＝對應邊長比 性質 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司