簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型

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1 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型
政治大學財政所與東亞所選修 課程名稱：應用計量分析--中國財政研究 授課老師：黃智聰 授課內容： 簡單線性迴歸模型：隨機解釋變數與時間落差分配模型 參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期：2017年5月8日 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

2 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰
隨機解釋變數 SR5：X並非隨機變數，並且至少要有兩個不一樣的值。 放寬X不是隨機變數的假設：資料是來自於控制實驗。 X是隨機的，並且與誤差項e相關。 E(e X)=0 表示： 1.沒有遺漏重要變數。 2.使用正確的函數形式。 3. 沒有會使得誤差項與X相關的因素存在。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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但是，第三點不太可能是直覺性的。 若X與e有相關，則Cov(X,e)≠0，且可以說E(e X)≠0。 若X是隨機，只要資料取自於隨機樣本，並且其他的一般假設成立，則迴歸方法是不需要改變的。 當T ∞時，所有機率會集中到β2附近。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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A13.3* E(e)=0且Cov(X,e)=0 在A13.3的假設之下，當T ∞時，最小平方估計式會趨近於真正的值。 在假設A13.1~A13.5.，A13.3*之下，當T ∞時，最小平方估計式會趨近於常態分配。 若Cov(x,e)≠ X與e是相關的，則最小平方估計式在大樣本中不會是一致的。 因此，最小平方估計式並不適用。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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迴歸方程式的誤差衡量 數種情況之下，最小平方估計式會不適用，因為解釋變數與誤差項之間有相關性。 變數中包含誤差 誤差衡量。 Yt=β0+β1Xt*+Vt Xt*無法得知 Xt=Xt*+ut Xt是隨機變數 Yt=β0+β1(Xt-ut)+Vt=β0+β1Xt+et et=Vt-β2ut 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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則Cov(Xt,et)=E(Xt,et) =E[(X*+ut)(Vt-β2ut)] =E(-β2ut2) =-β2σu2≠0 所以最小平方估計式有誤差且不一致。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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工具變數估計的實證例子 與X相關，但與誤差項不相關。 兩階段最小平方值估計： 1.將X對常數項Z、W跑迴歸，便會得到預測值 。 2.用 作為X的工具變數。 當 2.簡單線性迴歸普通最小平方式的估計。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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檢定解釋變數和誤差項之間的相關性 虛無假設H0：Cov(X,e)=0 對立假設H1：Cov(X,e)≠0 若H0為真，最小平方估計式與工具變數估計式一致。當T ∞， 即q(bols- ) 。 若虛無假設不為真，最小平方估計式並不一致；工具變數估計式是一致的。當T ∞，即q(bols- ) C≠0。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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Hausman檢定 使Zt1和Zt2為X的工具變數。 Xt=a0+a1Zt1+a2Zt2+Vt H0：δ=0 X與e不相關 H1：δ≠0 X與e相關 若有兩個δ，δ1、δ2，則H0：δ1= δ2=0；H1：Otherwise。 F檢定！ 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

10 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰
時間落差分配模型 會造成經濟變數改變的經濟決策會持續很長的一段時間。例如：貨幣及財政政策。 Yt=f(Xt,Xt+1,Xt+2,…) 我們必須知道有多少政策的改變會發生在時間的改變。有多少改變會發生在一個月之後，有多少改變將會發生在兩個月之後。 有個問題是，我們必須知道要回朔到多久以前？或是時間分配落差的長度。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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有限的模型 Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+β2Xt-2+…+βnXt-n+et t=n+1,…,T 假設E(et)=0，Var(et)=σ2，Cov(et,es)=0 觀察值：T-n個 α：截距項 βi：時間落差分配權數 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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βi反映出衡量在其他事情保持不變之下，過去撥款變數ΔXt-i對當期預期支出E(Yt)的影響。 若et具有一般性，則可以用最小平方式估計。 注意：共線性的問題！若Xt-i和Xt-i-1循著一個相似的模式，則Xt-i和Xt-i-1就會相關。 估計係數的符號不正確、很大的標準誤(不顯著)。 最小平方估計式可能不具信賴性。 要制衡共線性的副作用 給予模型的參數某些限制。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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多項式時間分配 =r0+r1i+r2i i=0,…,n 若i=0， =r0 若n=4，則Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+β2Xt-2+β3Xt-3+β4Xt-4+et t=5,…,T β0=r0，β1=r0+r1+r2，β2=r0+2r1+4r2，β3=r0+3r1+9r2，β4=r0+4r1+16r2。 Yt=α+r0Zt0+r1Zt1+r2Zt2+et 用最小平方式估計r0、r1、r2 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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Zt0=Xt+Xt-1+Xt-2+Xt-3+Xt-4 Zt1=Xt-1+2Xt-2+3Xt-3+4Xt-4 Zt2=Xt-1+4Xt-2+9Xt-3+16Xt-4 則 用F檢定來檢查模型的一致性 有限制模型的參數個數：3個參數 沒有限制模型的參數個數：5個參數（n+1個） 參數限制式個數：5-3=2 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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有限制的模型：有較小的標準誤，並且具有更精確的參數估計。 V(βi)=V(r0)+i2V(r1)+i4V(r2) SE(βi)= 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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有限時間落差長度的選擇 基於「配適度」準則，我們提供兩個建議。 1.選擇一個願意去考慮的時間落差長度N的最大值。 檢查n≤N Akaike的AIC準則 Schwarz的SC準則 增加額外時間落差的懲罰函數 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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尋找可以最小化的AIC或SC準則的時間落差長度n*，因為越多的時間落差變數會減少SSE。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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幾何時間落差 幾何時間落差 βi ，當i Yt=α+β0Xt+β1Xt-1+β2Xt-2+β3Xt-3+…+et =α+β(Xt+Xt-1+2Xt-2+3Xt-3)+et 三個參數： α：截距項 β：規模因子 ：控制權數的下降比率 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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如何去估計？ 模型中的參數是非線性的 不可能的任務。 Toyck轉換 Yt- Yt-1=α+β(Xt+Xt-1+2Xt-2+3Xt-3)+et- [α+β(Xt-1+Xt-2+2Xt-3+3Xt-4)+et-1] =α(1-)+βXt+(et-et-1) 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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Yt=α(1-)+Yt-1+βXt+(et-et-1) =δ1+δ2Yt-1+δ3Xt+Vt δ1=α(1-) δ2= δ3=β Vt=(et-et-1) 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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Koyck模型的工具變數估計 兩個特點： 1.其中一個解釋變數是時間落差應變數Yt-1。 2.誤差項Vt決定於et與et-1。Cov(Yt-1,Vt)≠0。 最小平方估計式的參數會有偏誤及不一致性。 我們無法利用最小平方式來得到參數δ1、δ2及δ3。 使用工具變數估計式來估計的問題是變數Yt-1，Xt-1與Yt-1有相關，但是與Vt無關，因為Xt-1具外生性。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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兩階段最小平方 第一階段： 簡單最小平方式。 然後 最小平方式。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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檢定有時間落差應變數之模型中的自我相關 RHS變數包含時間落差獨立變數，但我們並不知道是否這個時間落差獨立變數與誤差項有關。 如果無關→可以用最小平方估計法。 如果有關→不該使用最小平方估計法。 關鍵的問題在於，是否誤差項Vt是連續相關的。 由於迴歸式包含Yt-1，因此不能夠使用DW檢定。 利用LM檢定！ 如果拒絕虛無假設(a4=0)，則會產生自我相關。 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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自我迴歸時間落差分配 有限時間落差模型：選擇時間落差長度及共線性的問題。 無限時間落差模型：解決時間落差長度的問題，但是要求限制時間落差權數的結構，來避免無限數量參數的問題。 如果在一個無限的模型當中，尖峰效應沒有發生？ 如果多項時間分配落差或是幾何時間落差都不適用？ 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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ARDL：無限時間落差模型 Yt=μ+β0Xt+β1Xt-1+γ1Yt-1+et ARDL(1,1) ARDL(1,1) ARDL(p,q) 一個時間落差值X 一個時間落差值Y P個時間落差值X q個時間落差值Y 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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α=μ(1+γ1+γ12+γ13+…)=μ/(1-γ1) Ut=et+γ1et-1+γ12et-2+… ∴ α0=β0 α1=β1+γ1β0 α2=γ1α1 α3=γ12α1 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰

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Yt=(1-γ1)α+α0(Xt-Xt-1)+γ1Yt-1+Vt 若Cov(et,es)= 沒有連續性自我相關 則LOS估計式： Yt=μ+β0Xt+β1Xt-1+γ1Yt-1+et 利用 、 、 、 來計算 α0=β0 α1=(β1+γ1β0) α2=γ1α1 α3=γ12α1 畫圖求出αi最大時的i=? 政治大學財政所與東亞所選修--應用計量分析--中國財政研究 黃智聰