第10章 代数方程组的MATLAB求解 编者.

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1 第10章 代数方程组的MATLAB求解 编者

2 Outline 10.1 线性方程组的求解 10.2 多项式方程组的准解析解法 10.3 超越方程组的求解

3 10.1 超越方程组的求解 1.克莱姆（Cramer）法则及其MATLAB实现 对于恰定线性方程组
超越方程组的求解 1.克莱姆（Cramer）法则及其MATLAB实现 对于恰定线性方程组 若其系数行列式 , 则上述线性方程组有唯一解 其中 是把D 中第j 列元素 对应地换成常数项 ，而其余各列保持不变所得到的行列式，这就是克莱姆（Cramer）法则。 MATLAB中没有提供实现克莱姆法则的函数，这需要我们自行编写相应的函数文件

4 2.消去法及其MATLAB实现 上三角形方程组的求解 称形如 的方程组为上三角形方程组 ，写成矩阵形式为 其中 称 U为上三角矩阵。若 即
称形如 的方程组为上三角形方程组 ，写成矩阵形式为 其中 称 U为上三角矩阵。若 即 则上三角方程组有唯一解，且可从上式的最后一个方程解出 代入倒数第二个方程可得 一般地，设已求得 ，则由上述方程组的第i个方程可得 上述求解方程组的过程称为回代过程。

5 Gauss消去法 Gauss消去法是求解线性方程组较为有效的方法，它主要包括两个操作：消元和迭代。顺序Gauss消去法是指按行原先的位置进行消元的Gauss消去法。下面介绍顺序Gauss消去法的一般步骤。为叙述方便，将线性方程组 写成增广矩阵的形式 其中

6 4.迭代法及其MATLAB实现 迭代法是求解线性方程组的一个重要的使用方法，特别适用于求解系数矩阵为稀疏矩阵的大型线性方程组。
3.矩阵分解法及其MATLAB实现 求解线性方程组除了消去法，还有矩阵分解方法。所谓矩阵分解方法，就是将矩阵 A 分解成两个或多个简单矩阵的乘积，由于分解后的矩阵具有某种特殊性，因此便于方程组的求解。 4.迭代法及其MATLAB实现 迭代法是求解线性方程组的一个重要的使用方法，特别适用于求解系数矩阵为稀疏矩阵的大型线性方程组。 Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 逐次超松弛迭代法 5.线性方程组的MATLAB函数求解 齐次线性方程组的求解 非齐次线性方程组的求解

7 10.2 多项式方程组的准解析解法 求下面的二元多项式方程组。 对于本题，我们也可以使用roots函数求解 首先将 代入 则得到关于 的一元多项式 试求解下面的含自变量导数形式的多项式型方程组。

8 10.3 超越方程组的求解 1.牛顿法及其MATLAB实现 牛顿法求解非线性方程组 的根 首先将多元向量函数 在点 处展开
超越方程组的求解 1.牛顿法及其MATLAB实现 牛顿法求解非线性方程组 的根 首先将多元向量函数 在点 处展开 其中， 是 的Jacobi矩阵。 解方程 得 上式写成迭代格式为： 牛顿法的一般执行流程(右图） 图 Newton法执行流程

9 MATLAB优化工具箱提供的fsolve函数是专门用来求解非线性方程组的实数根的函数。
【分析】对于这样一个比较复杂的函数，我们不好判断它的零点的范围，只有先画出图形观察。执行如下语句，得到函数图形如图所示。 图 函数图形 由图可知，题述函数共有5个根，下面利用鼠标取点函数ginput选取迭代初始值，然后利用fsolve函数求解

10 谢谢大家！