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一、Mathematica的启动及基本操作
预备知识： 一、Mathematica的启动及基本操作 二、Mathematica中的常量、变量、函数 表与自定义函数 三、初等数学中基本的代数运算及相关知识
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边学边做： (1)求表达式2×42-10÷(3+2)的值，再求该表达式的平方。 (2) 求(x+1)6的展开式 (3) 将表达式x9-1分解因式 (4) 定义函数 并求x=1，3时的函数值，再求 (5)设函数 ，求 时的函数值，结果保留20位有效数字。
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学生实验： 一、基础部分 1．求算术表达式3012+（π－2e）÷2的具有10位有效数字的值。 2．将多项式 分解因式 3．设函数 ，计算 和
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二、应用部分 （1）有一个底半径为R，高为H的圆锥形量杯，为了在它的侧面刻上表示容积的刻度，需要找出溶液的容积与其对应高度之间的关系，试写出表达式，并求高为H/2时容积刻度。 （2）某地出租车按下列标准收费，x表示里程，y表示收费金额，当0＜x≤4时，收费８元；当４＜x≤10时，每公里收费0.5元；当x≥10时，每公里收费１元，请写出里程数与收费之间的函数关系，并求出５公里，１２公里及２公里里程时的收费金额．
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一、Mathematica的启动及基本操作
实验一内容详解： 一、Mathematica的启动及基本操作 在Windows环境下安装好Mathematica，用鼠标双击Mathematica图标，将出现主工作窗口，在主工作窗口即可通过键盘输入各种要计算的表达式，如1+2，3^2等，或键入命令语句，在键入过程中可按Enter换行，录入完毕，同时按下Shift和Enter或按数字键盘上的5，结束输入。窗口中显示计算结果如下图所示：
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图中In[i]表示第i次输入，Out[j]表示对第j个计算结果的输出，它们均是由计算机自动给出，不需要使用者输入，如果它们代表的表达式唯一，则可将其写入以后的运算表达式代替其对应的表达式参与运算。
在录入中，有时为了方便，还经常使用%，%%，%n，它们的含义分别为%——上一个输出结果，%%——上面倒数第二个结果，%n——可代替第n个输出语句的结果。 Mathematica系统规定以分号“；”结尾的输入语句不输出结果，但可以调用它的结果。另外，Mathematica允许在一行中输入多个语句，但此时句与句之间必须用“；”隔开，但最后一个语句不必以“；”结束，否则不显示计算结果。
![图中In[i]表示第i次输入，Out[j]表示对第j个计算结果的输出，它们均是由计算机自动给出，不需要使用者输入，如果它们代表的表达式唯一，则可将其写入以后的运算表达式代替其对应的表达式参与运算。](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/7/%E5%9B%BE%E4%B8%ADIn%5Bi%5D%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%AC%ACi%E6%AC%A1%E8%BE%93%E5%85%A5%EF%BC%8COut%5Bj%5D%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%AF%B9%E7%AC%ACj%E4%B8%AA%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%BB%93%E6%9E%9C%E7%9A%84%E8%BE%93%E5%87%BA%EF%BC%8C%E5%AE%83%E4%BB%AC%E5%9D%87%E6%98%AF%E7%94%B1%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA%E8%87%AA%E5%8A%A8%E7%BB%99%E5%87%BA%EF%BC%8C%E4%B8%8D%E9%9C%80%E8%A6%81%E4%BD%BF%E7%94%A8%E8%80%85%E8%BE%93%E5%85%A5%EF%BC%8C%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%AE%83%E4%BB%AC%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E7%9A%84%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E5%94%AF%E4%B8%80%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%8F%AF%E5%B0%86%E5%85%B6%E5%86%99%E5%85%A5%E4%BB%A5%E5%90%8E%E7%9A%84%E8%BF%90%E7%AE%97%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E4%BB%A3%E6%9B%BF%E5%85%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E5%8F%82%E4%B8%8E%E8%BF%90%E7%AE%97%E3%80%82.jpg "在录入中，有时为了方便，还经常使用%，%%，%n，它们的含义分别为%——上一个输出结果，%%——上面倒数第二个结果，%n——可代替第n个输出语句的结果。 Mathematica系统规定以分号 ； 结尾的输入语句不输出结果，但可以调用它的结果。另外，Mathematica允许在一行中输入多个语句，但此时句与句之间必须用 ； 隔开，但最后一个语句不必以 ； 结束，否则不显示计算结果。")
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Cell是组成Mathematica文件的基本单元，一个输入，一个输出或一个图形都是一个单元（Cell），一个（Cell）的全部内容由靠窗口右边的方括号括起来，单击这个方括号就选中了这个Cell，然后可以对其进行移动、复制、剪切、计算等操作。若干个Cell 可以组成一个组(Cells)，组的标志是一个外层大方括号括着几个小方括号，通过在Cell主菜单中选择“Group Cell“命令实现对若干个选定单元（Cell）进行“组操作”，也可单击“组”括号，再在“Cell“主菜单中选定”UnGroup Cell“命令实现对选定的”组“进行解散。
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二、Mathematica中的常量、变量、函数、表与自定义函数
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1．数的表示与计算 常用的数学常数用如下字符串表示，在数值计算中代表精确值。 Pi——圆周率π E——自然对数的底e
Degree——角度制的1度 I——虚数单位 Infinity——无穷大∞ 在Mathematica中，加、减、乘、除和乘方运算分别用下列符号表示：＋、－、*、／、^，其中的乘号*也可用一个空格代替，如2*3与2 3等价，开方可以用分数指数的形式表示，如等价于2^(1/3)，上述运算的优先顺序与通常的数学运算完全一致。
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函数的使用格式：函数名[参数1，参数2……]
2．函数 函数的使用格式：函数名[参数1，参数2……] 说明:(1)所有函数名称都是以大写字母开头，后面 用小写字母。当函数名称由两个单词组成时，每个单词的第一个字母用大写，后面的字母用小写，Mathematica中英文字母的大、小写要严格区分开，否则会发生语法错误。 （2）函数名称是一个字符串，其中不能有空格。 （3）函数参数必须写在方括号内，不能用圆括号。 （4）有多个参数的函数，在参数之间用逗号分隔。 Mathematica提供了很多数学中常用函数，多 达上百种，包括基本初等函数和某些特殊函数，下面介绍最常用的几类。
![函数的使用格式：函数名[参数1，参数2……]](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/12/%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E4%BD%BF%E7%94%A8%E6%A0%BC%E5%BC%8F%EF%BC%9A%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%90%8D%5B%E5%8F%82%E6%95%B01%EF%BC%8C%E5%8F%82%E6%95%B02%E2%80%A6%E2%80%A6%5D.jpg "2．函数. 函数的使用格式：函数名[参数1，参数2……] 说明:(1)所有函数名称都是以大写字母开头，后面. 用小写字母。当函数名称由两个单词组成时，每个单词的第一个字母用大写，后面的字母用小写，Mathematica中英文字母的大、小写要严格区分开，否则会发生语法错误。 （2）函数名称是一个字符串，其中不能有空格。 （3）函数参数必须写在方括号内，不能用圆括号。 （4）有多个参数的函数，在参数之间用逗号分隔。 Mathematica提供了很多数学中常用函数，多. 达上百种，包括基本初等函数和某些特殊函数，下面介绍最常用的几类。")
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1) 数值函数 Round[x]——最接近x的整数 Floor[x]——不大于x的最大整数 Ceiling[x]——不小于x的最小整数
1) 数值函数 Round[x]——最接近x的整数 Floor[x]——不大于x的最大整数 Ceiling[x]——不小于x的最小整数 Sign[x]——符号函数（x大于0时值为1，小于0时值为-1） Abs[x]——x的绝对值； x+Iy——复数x+iy； Re[z]——复数z的实部； Im[z]——复数z的虚部； Abs[z]——复数z的模； Arg[z]——复数z的幅角。 Max[x1,x1,……]——取x1,x2,……中的最大值 Min[x1,x2,……]——取x1,x2,……中的最小值 Divisors[n]——能整除n的所有整数组成的表。 Mod[m,n]——m被n除的正余数。 Quotient[m,n]——m/n的整数部分。 GCD[n1,n2……]——求n1,n1，……的最大公因数。 LCM[n1,n2……]——求n1,n2，……的最小公倍数。 。
![1) 数值函数 Round[x]——最接近x的整数 Floor[x]——不大于x的最大整数 Ceiling[x]——不小于x的最小整数](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/13/1%29+%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0+Round%5Bx%5D%E2%80%94%E2%80%94%E6%9C%80%E6%8E%A5%E8%BF%91x%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0+Floor%5Bx%5D%E2%80%94%E2%80%94%E4%B8%8D%E5%A4%A7%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%95%B4%E6%95%B0+Ceiling%5Bx%5D%E2%80%94%E2%80%94%E4%B8%8D%E5%B0%8F%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%95%B4%E6%95%B0.jpg "1) 数值函数. Round[x]——最接近x的整数. Floor[x]——不大于x的最大整数. Ceiling[x]——不小于x的最小整数. Sign[x]——符号函数（x大于0时值为1，小于0时值为-1） Abs[x]——x的绝对值； x+Iy——复数x+iy； Re[z]——复数z的实部； Im[z]——复数z的虚部； Abs[z]——复数z的模； Arg[z]——复数z的幅角。 Max[x1,x1,……]——取x1,x2,……中的最大值. Min[x1,x2,……]——取x1,x2,……中的最小值. Divisors[n]——能整除n的所有整数组成的表。 Mod[m,n]——m被n除的正余数。 Quotient[m,n]——m/n的整数部分。 GCD[n1,n2……]——求n1,n1，……的最大公因数。 LCM[n1,n2……]——求n1,n2，……的最小公倍数。 。")
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2）基本初等函数 Sqrt[x]、Exp[x]、Log[x]、Log[a,x]、Sin[x]、Cos[x]、Tan[x]、Cot[x]、Sec[x]、Csc[x]、 ArcSin[x]、ArcCos[x]、ArcTan[x]、ArcCot[x]、ArcSec[x]、ArcCsc[x]、Sinh[x]、Cosh[x]、Tanh[x]、Coth[x]、 Sech[x]、Csch[x]
![2）基本初等函数 Sqrt[x]、Exp[x]、Log[x]、Log[a,x]、Sin[x]、Cos[x]、Tan[x]、Cot[x]、Sec[x]、Csc[x]、](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/14/2%EF%BC%89%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B0+Sqrt%5Bx%5D%E3%80%81Exp%5Bx%5D%E3%80%81Log%5Bx%5D%E3%80%81Log%5Ba%2Cx%5D%E3%80%81Sin%5Bx%5D%E3%80%81Cos%5Bx%5D%E3%80%81Tan%5Bx%5D%E3%80%81Cot%5Bx%5D%E3%80%81Sec%5Bx%5D%E3%80%81Csc%5Bx%5D%E3%80%81.jpg "ArcSin[x]、ArcCos[x]、ArcTan[x]、ArcCot[x]、ArcSec[x]、ArcCsc[x]、Sinh[x]、Cosh[x]、Tanh[x]、Coth[x]、 Sech[x]、Csch[x]")
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3）其他函数 Factor[多项式]—将多项式分解因式。 Expand[多项式]—将多项式按升幂排列成单项式和。
Apart[多项式]—将多项式为化为部分分式之和。 N[表达式，k]--求表达式的近似值，k为可选项， 它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认精度为六位有效数字。 Simplify[表达式]—将表达式化简成含项数最少的 最简形式。
![3）其他函数 Factor[多项式]—将多项式分解因式。 Expand[多项式]—将多项式按升幂排列成单项式和。](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/15/3%EF%BC%89%E5%85%B6%E4%BB%96%E5%87%BD%E6%95%B0+Factor%5B%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%5D%E2%80%94%E5%B0%86%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%88%86%E8%A7%A3%E5%9B%A0%E5%BC%8F%E3%80%82+Expand%5B%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%5D%E2%80%94%E5%B0%86%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E6%8C%89%E5%8D%87%E5%B9%82%E6%8E%92%E5%88%97%E6%88%90%E5%8D%95%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%92%8C%E3%80%82.jpg "Apart[多项式]—将多项式为化为部分分式之和。 N[表达式，k]--求表达式的近似值，k为可选项， 它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认精度为六位有效数字。 Simplify[表达式]—将表达式化简成含项数最少的. 最简形式。")
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3．变量 Mathematica中的变量名通常为以小写字母开头的字母数字串(为了与函数名相区别)，变量名字符的长度不限，但不能有空格和标点符号。书写中英文字母的大、小写意义不同，要注意区分。在Mathematica中，变量即取即用，不需要说明类型。 变量的赋值通常采用以下两种方法： （1）变量名=表达式或变量名：=表达式 运算符号“=”或“：=”起赋值作用，其执行步骤为：先计算赋值号右边的表达式，再将计算结果送到变量中，如a=3+2，b=a2-5a+7。这里的表达式可以是实数值、复数值，也可以是由常量、变量、函数及各种运算符构成的代数式甚至是图形。
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使用 “=”赋值时，右边表达式立即被求值，“=”称为立即赋值号，使用“：=”赋值时，右边表达式不被立即赋值，直到被调用时才被求值。 （2）借助变量变换赋值。 如：h=2x+1;h/.x->1即将1赋值给x。 变量x一经赋值，取值一直保留，直到被重新赋值或被清除。查询变量A的取值可采用格式“？A”。而要清除变量取值，可用命令Clear[A]。一般地，在使用一些变量前，最好先清除一下，以避免变量的以前赋值影响以后的计算结果。
![使用 = 赋值时，右边表达式立即被求值， = 称为立即赋值号，使用 ：= 赋值时，右边表达式不被立即赋值，直到被调用时才被求值。 （2）借助变量变换赋值。 如：h=2x+1;h/.x->1即将1赋值给x。 变量x一经赋值，取值一直保留，直到被重新赋值或被清除。查询变量A的取值可采用格式 ？A 。而要清除变量取值，可用命令Clear[A]。一般地，在使用一些变量前，最好先清除一下，以避免变量的以前赋值影响以后的计算结果。](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/17/%E4%BD%BF%E7%94%A8+%3D+%E8%B5%8B%E5%80%BC%E6%97%B6%EF%BC%8C%E5%8F%B3%E8%BE%B9%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E7%AB%8B%E5%8D%B3%E8%A2%AB%E6%B1%82%E5%80%BC%EF%BC%8C+%3D+%E7%A7%B0%E4%B8%BA%E7%AB%8B%E5%8D%B3%E8%B5%8B%E5%80%BC%E5%8F%B7%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E7%94%A8+%EF%BC%9A%3D+%E8%B5%8B%E5%80%BC%E6%97%B6%EF%BC%8C%E5%8F%B3%E8%BE%B9%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E4%B8%8D%E8%A2%AB%E7%AB%8B%E5%8D%B3%E8%B5%8B%E5%80%BC%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E5%88%B0%E8%A2%AB%E8%B0%83%E7%94%A8%E6%97%B6%E6%89%8D%E8%A2%AB%E6%B1%82%E5%80%BC%E3%80%82+%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%80%9F%E5%8A%A9%E5%8F%98%E9%87%8F%E5%8F%98%E6%8D%A2%E8%B5%8B%E5%80%BC%E3%80%82+%E5%A6%82%EF%BC%9Ah%3D2x%2B1%3Bh%2F.x-%3E1%E5%8D%B3%E5%B0%861%E8%B5%8B%E5%80%BC%E7%BB%99x%E3%80%82+%E5%8F%98%E9%87%8Fx%E4%B8%80%E7%BB%8F%E8%B5%8B%E5%80%BC%EF%BC%8C%E5%8F%96%E5%80%BC%E4%B8%80%E7%9B%B4%E4%BF%9D%E7%95%99%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E5%88%B0%E8%A2%AB%E9%87%8D%E6%96%B0%E8%B5%8B%E5%80%BC%E6%88%96%E8%A2%AB%E6%B8%85%E9%99%A4%E3%80%82%E6%9F%A5%E8%AF%A2%E5%8F%98%E9%87%8FA%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E5%8F%AF%E9%87%87%E7%94%A8%E6%A0%BC%E5%BC%8F+%EF%BC%9FA+%E3%80%82%E8%80%8C%E8%A6%81%E6%B8%85%E9%99%A4%E5%8F%98%E9%87%8F%E5%8F%96%E5%80%BC%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E7%94%A8%E5%91%BD%E4%BB%A4Clear%5BA%5D%E3%80%82%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%9C%B0%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E4%BD%BF%E7%94%A8%E4%B8%80%E4%BA%9B%E5%8F%98%E9%87%8F%E5%89%8D%EF%BC%8C%E6%9C%80%E5%A5%BD%E5%85%88%E6%B8%85%E9%99%A4%E4%B8%80%E4%B8%8B%EF%BC%8C%E4%BB%A5%E9%81%BF%E5%85%8D%E5%8F%98%E9%87%8F%E7%9A%84%E4%BB%A5%E5%89%8D%E8%B5%8B%E5%80%BC%E5%BD%B1%E5%93%8D%E4%BB%A5%E5%90%8E%E7%9A%84%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%BB%93%E6%9E%9C%E3%80%82.jpg "使用 = 赋值时，右边表达式立即被求值， = 称为立即赋值号，使用 ：= 赋值时，右边表达式不被立即赋值，直到被调用时才被求值。 （2）借助变量变换赋值。 如：h=2x+1;h/.x->1即将1赋值给x。 变量x一经赋值，取值一直保留，直到被重新赋值或被清除。查询变量A的取值可采用格式 ？A 。而要清除变量取值，可用命令Clear[A]。一般地，在使用一些变量前，最好先清除一下，以避免变量的以前赋值影响以后的计算结果。")
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4．表 Mathematica中常用表表示数学中的集合、向量矩阵，也可以表示数据库中的一组记录。 表的基本形式是：{表达式，表达式，……} 例如：定义a={1，2，100，x，y}是由1，2，100，x，y共5个元素组成的一维表。而b={{1，2，5}，{2，4，4}，{3，6，8}，{x，y}}为二维表，二维表即“表中表”。 使用中，对于一维表a，可用a[i]表示它的第i个元素，对于二维表b，可用b[[i]]表示它的第i个分表，而用b[[i,j]]表示第i个分表中的第j个元素。
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表可以直接参与数学运算，表与数，表与表之间可以运算，一个函数也可作用于一个表。如a+5={6，7，105，x+5，y+5}；x
表可以直接参与数学运算，表与数，表与表之间可以运算，一个函数也可作用于一个表。如a+5={6，7，105，x+5，y+5}；x*a={x，2x，100x，x2，xy} 再如：c={2x+5x2，1-3x，7}，d={3x2，2x，1}，则c+d={2x+8x2，1-x，8} 而Sin[{0.7，0.5，0.3}]={ ， ， } 常用制表命令为Table，其使用方法为Table[f[i],{i,a,b,step}] 可生成i从a变到b，步长为step时对应函数f[i]的一维数值表，而Table[{i,f[i]},{i,a,b,step}]生成二维数值表。
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5．自定义函数 在Mathematica中，除使用系统提供的函数外，也可自定义函数。定义一个不带附加条件的一元函数的规则是f[x_]:=或f[x_]=后面紧跟一个以x为变量的表达式，其中x_称为形式参数。如果需要给出附加条件，可在表达式的后面通过“/；”与表达式连接，即形式为：f[x_]：=表达式/；条件。调用自定义函数f[x_]时，只需用实在参数（变量或数值等）代替其中的形式参数即可。
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(1)求表达式2×42-10÷(3+2)的值，再求该表达式的平方。
三、边学边做 (1)求表达式2×42-10÷(3+2)的值，再求该表达式的平方。 解 2*4^2-10/（3+2） %^2 (2) 求 的展开式 解 Expand[(x+1)^6] (3) 将表达式 分解因式 解 Factor[x^9-1] (4) 定义函数 ，并求x=1，3时的函数值，再求解 f[x_]:=x^2+Sqrt[2*x+3]+8 f[1]， f[3] ，f[x^2] 。
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(5) 设函数 求 时的函数值，结果保留20位有效数字。 解 f[x_]:=Exp[x]*Sin[x]/;x<0 f[x_]:=Log[x]/;x>0&&x<E f[x_]:=Sqrt[x]/;x>E N[f[-100],20] N[f[1.5],20] N[f[3],20] N[f[100],20]
![(5) 设函数 求 时的函数值，结果保留20位有效数字。 解 f[x_]:=Exp[x]*Sin[x]/;x<0. f[x_]:=Log[x]/;x>0&&x<E.](http://slidesplayer.com/slide/17228506/99/images/22/%285%29+%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0+%E6%B1%82+%E6%97%B6%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%80%BC%EF%BC%8C%E7%BB%93%E6%9E%9C%E4%BF%9D%E7%95%9920%E4%BD%8D%E6%9C%89%E6%95%88%E6%95%B0%E5%AD%97%E3%80%82+%E8%A7%A3+f%5Bx_%5D%3A%3DExp%5Bx%5D%2ASin%5Bx%5D%2F%3Bx%3C0.+f%5Bx_%5D%3A%3DLog%5Bx%5D%2F%3Bx%3E0%26%26x%3CE..jpg "f[x_]:=Sqrt[x]/;x>E. N[f[-100],20] N[f[1.5],20] N[f[3],20] N[f[100],20]")
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