第3章 平面机构的运动分析和力分析 (Chapter 3 Kinematics and forces

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1 第3章 平面机构的运动分析和力分析 (Chapter 3 Kinematics and forces
analysis of planar mechanisms) w14 w21 w23 v34 j M1 FR21 FR12 FR32 FR23 FR43 FR41 h 1 2 3 4 F

2 机构运动分析的目的和方法 解决的问题： 轨迹（角位移）; 速度（角速度）; 加速度（角加速度）。 目的： 了解现有机构的运动性能，为受力
分析奠定基础。 方法： 1)瞬心法（求速度和角速度）; 2)矢量方程图解法; 3)解析法（上机计算）。

3 (Instant center of velocity )
3.1 速度瞬心 (Instant center of velocity ) 3.1.1 速度瞬心 定义： 两个互作平行平面运动的构件 上绝对速度相等、相对速度为 零的瞬时重合点称为这两个构 件的速度瞬心, 简称瞬心。瞬 心用符号Pij表示。

4 图中P12即为构件1和构件2的速度瞬心。 1.绝对瞬心 P12 1 2 A B vA1A2 vB1B2 绝对速度为零的 瞬时重合点。 2.相对瞬心 绝对速度不为零 的瞬时重合点。

5 3.1.2 机构中瞬心的数目 机构中瞬心的数目用K表示： 注意: N为包括机架在内的所有构件数。

6 3.1.3 机构中瞬心位置的确定 1.直接构成运动副的两构件的瞬心 (1)转动副连接 铰链点即为瞬心。 1 2 P12

7 (2)移动副连接 瞬心在垂直于导路无穷远处。 v12 1 2

8 瞬心在接触 n (3)平面高副 v12 1 点的公法线上； t A 若为纯滚动，瞬 心在接触点上。 2 若v12=0 ， P12为A点；
若v12≠0 ，P12在n n线上。

9 2.三心定理 （解决不直接成副的构件之间的瞬心求法问题） 定理： 三个互作平行平面运动 的构件有三个瞬心，这三个 瞬心必位于同一条直线上。

10 证明： vK2≠ vK3 设P23在K点，因为 vK2 vK3 2 若使得两速度方向 w2 w3 一致，K点必在P12 和P13的连线上。
所以，证得P12、P23和P13必在一条直线上。

11 { { P13 P24 P12、P23 P14、P34 P12、P14 P23、P34 解： 例1：如图所示机构，找出其全部瞬心。 P24

12 框图法(瞬心多边形) 如： 各构件的瞬心求法用多边形表示，其中各 顶点代表构件，各顶点间的连线代表瞬心，连 线组成的三角形代表三个瞬心共线。
1 2 3 4 P12 P24 P13 P14 P34 P23 如：

13 例2：如图所示曲柄滑块机构,求该机构的全部瞬心。
解： 1 2 3 4 P12 P24 P13 P14 P34 P23 1 4 3 2

14 3.1.4 瞬心在速度分析中的应用 解： 例1：已知w1,求图示机构的传动比i13和w3。 ∞ P12 P23 1 2 w1 P34 P14

15 例2:已知w1,求图示机构中构件2的速度v2。 1 2 3 w1 解: n P13 P23 ∞ P12 P23 ∞

16 3.2 机构的运动分析 3.2.1 矢量方程图解法对机构进行运动分析 1.基本原理 (1)同一构件上两点间的运动
（Kinematics analysis of mechanisms) 3.2.1 矢量方程图解法对机构进行运动分析 1.基本原理 (1)同一构件上两点间的运动 A B vBA vA 已知：A点运动，B点的运动方向。 vA vB 求：B点运动的大小。 解： 方向： √ √ √ 大小： ? ? √

17 A B aA aB aBA aA t n 方向:√ √ √ √ 大小：? √ √ ? 若B点平动,aB只有一项； aB 若B点转动，

18 (2)两构件上瞬时重合点间的运动 1 2 B 已知：B1点运动，B2点的运 动方向。 求：B2点运动的大小。
vB2 vB1 vB2B1 求：B2点运动的大小。 vB2 = vB1 + vB2B1 解： 方向：√ √ √ 大小： ? √ ?

19 aB2 1 2 B 方向：√ √ √ √ 大小: ？ √ √ ？ (B1B2) aB1 aB2 若B2点平动,aB2只有一项； aB2B1
r k w1 方向：√ √ √ √ 2 大小: ？ √ √ ？ B (B1B2) 若B2点平动,aB2只有一项； aB2 若B2点转动， 大小:2w1×vB2B1=2w1vB2B1sin90°=2w1vB2B1; 方向:将vB2B1的方向沿w1转过90°。

20 大小:2w1×vB2B1=2w1vB2B1sin90°=2w1vB2B1;

21 (3)注意事项 vB1 = vB2，aB1 = aB2， w1 ≠w2， a1 ≠a2， vB1≠vB2，aB1≠ aB2，
B (B1B2) 1 2 vB1 = vB2，aB1 = aB2， w1 ≠w2， a1 ≠a2， 1 2 B (B1B2) vB1≠vB2，aB1≠ aB2， w1 =w2， a1 = a2。

22 vA1 ≠ vA2 = vA3 ， 1 aA1 ≠ aA2 = aA3 ， 3 A 2 w1 = w2 ≠ w3 ，

23 (4)比例尺 长度比例尺： 速度比例尺： 加速度比例尺：

24 2 3 1 4 2.用矢量方程图解法进行机构运动分析举例 例1:已知图示机 构中各杆长度，w1为 常数。试求图示位置
A B C D E w1 例1:已知图示机 构中各杆长度，w1为 常数。试求图示位置 的w2、w3、a2、a3、 vE和aE。

25 解： 2 3 1 4 mv vC = vB + vCB 方向： lABw1 大小: ? ? 选mv，任找一点p（绝 对速度为零的点） （逆）
⊥CD ⊥AB ⊥CB 3 E 1 lABw1 大小: ? ? w1 D 选mv，任找一点p（绝 对速度为零的点） A 4 mv p b c （逆） （顺）

26 2 3 1 4 mv e vE =vB+vEB = vC+vEC p C B 方向：? √ ⊥EB √ ⊥EC E 大小：? √ ? √ ?
大小：? √ ? √ ? w1 D 方向如图所示。 A 4 ∵bc⊥BC,ec⊥EC,be⊥BE mv p b c ∴△bec∽△BEC e 称△bec是△BEC的影像。

27 速度（加速度）影像原理： 1) 在同一构件上，已知该构件 上两点的运动,求其他任一点运 动时可用影像; 2) 机构图与速度(加速度)图上 对应的三角形应相似,且字母绕 行顺序应一致。

28 2 3 1 4 C B E w1 D A 选 ma ，任找 p′（绝对加速度 为零的点） ma p′ b′ c″ e′ c′
方向:C→D ⊥CD B→A C→B ⊥CB 大小:lCD w ? lABw12 lCB w ? 选 ma ，任找 p′（绝对加速度 为零的点） ma p′ b′ c″ e′ c′ E点加速度由影像得： n′ 方向如图所示。

29 例2:已知图示铰链四杆机构的位置、尺寸、w1和加速度图。求
机构在该位置连杆BC上速度为零的点E和加速度为零的点F。 F c″ b′ c′ p′ n′ 解： vC = vB + vCB A B C D w1 1 2 3 4 方向： CD AB CB (E) ？ lABw1 大小： ？ 选mv ，找 p 点。 ∴E点与D点重合。 p b c 根据影像原理F应在加速度图的p′ 点上，即 （d） ∴F点如图所示。

30 例3:已知机构位置、尺寸，w1为常数，求w3。
A w1 C 1 2 3 4 B (a) A B D C 3 1 2 4 w1 (b)

31 (a) vB3 = vB2 + vB3B2 解：图(a) 2 1 3 选 mv ，找 p 点。 4 B 方向：⊥BC ⊥AB ∥BC
w1 A B C 1 2 3 4 vB3 = vB2 + vB3B2 (B1B2B3) 方向：⊥BC ⊥AB ∥BC 大小： ？ lAB w ? 选 mv ，找 p 点。 b2 p mv （逆） b3 (a)

32 vB3 = vB2 + vB3B2 (b) 图(b) w1 A B C 1 2 3 4 D 选mv ，找 p 点。
方向：⊥BD ⊥AB ∥CD 大小： ？ lAB w ? 选mv ，找 p 点。 b2 p mv （逆） b3

33 vC2 = vB + vCB = vC3 + vC2C3 解： 例4:已知机构位置、尺寸，w1为常数，求w2、a2。
？ A B C 1 2 3 4 w1 例4:已知机构位置、尺寸，w1为常数，求w2、a2。 vC2 = vB + vCB = vC vC2C3 解： 方向： ? ⊥AB ⊥BC ∥BC 大小： ? lABw ? ? 选mv ，找 p 点。 (C2 C3 C4) （顺） b mv p c2 (c3) 方向如图所示。

34 选ma，任找p′点。 （逆） 方向: ? B→A C→B ⊥CB 0 ⊥BC ∥BC
大小: ? lABw12 lBCw ? w3vC2C ? ？ A B C 1 2 3 4 w1 (C2 C3 C4) 选ma，任找p′点。 c2′ ma p′ k′ (c3′) （逆） b′ c2〞

35 vB3 = vB2 + vB3B2 vE = vD + vED 例5:已知图示机构的位置、尺寸，w1为常数,
试求E点的速度vE和加速度aE。 vB3 = vB2 + vB3B2 解： 1 w1 3 2 6 4 5 D B A C E 方向：⊥BC ⊥AB ∥BC 大小： ？ lAB w ? 选mv ,找 p 点。vD由影像求得。 vE = vD + vED (B1B2B3) 方向：水平 √ ⊥DE p b2 b3 d 大小： ? √ ? e 方向如图所示，

36 aD由影像求得。 1 w1 3 2 6 4 5 D B A C E e′ e〞 p′ b2′ b3〞 d′ b3′ k′ 方向： B→C
∥CB lABw12 2w3vB2B3 大小： lBCw32 ？ ？ 选ma ,找p′点。 aD由影像求得。 1 w1 3 2 6 4 5 D B A C E 方向： 水平 √ E→D  ED 大小： ？ √ lEDw42 ？ e′ e〞 (B1B2B3) p′ b2′ b3〞 d′ b3′ k′ 方向如图所示。

37 3.2.2 解析法对机构进行运动分析 1.矢量方程法 已知：机构各构件 尺寸，w1 为常数。 求：w2、w3、a2、
C B P D a b 1 3 2 4 w1 q1 已知：机构各构件 尺寸，w1 为常数。 求：w2、w3、a2、 a3、sP、vP和aP相对 于q1的表达式。

38 x: l1cosq1+l2cosq2=l4+l3cosq3 (1) y: l1sinq1+l2sinq2=l3sinq3 (2)
解：建立如图所示的 坐标系，各杆件均以 矢量表示。 A C B P D a b 1 3 2 4 w1 q1 y x q3 q2 1) 位置分析 l1+ l2=l4+ l3 将上述矢量方程向 x、y轴投影得 x: l1cosq1+l2cosq2=l4+l3cosq (1) y: l1sinq1+l2sinq2=l3sinq (2)

39 l2cosq2=l4-l1cosq1+l3cosq3 (3) l2sinq2=l3sinq3 -l1sinq1 (4)
(3)2 +(4)2整理得 Asinq3 + Bcosq3 + C = 0 A=2l1l3sinq B=2l3(l1cosq1-l4) C=l22-l12-l32-l42+2l1l4cosq1 式中“-”代表机构中C点在AD之上；“+”代 表机构中C点在AD之下。

40 D=2l1l2sinq1 E=2l2(l1cosq1-l4) F=l12+l22+l42-l32-2l1l4cosq1
Dsinq2 + Ecosq2 + F = 0 D=2l1l2sinq E=2l2(l1cosq1-l4) F=l12+l22+l42-l32-2l1l4cosq1

41 2)速度分析 对于P 点的轨迹，如图所 示可得 A C B P D a b 1 3 2 4 w1 q1 y x q3 q2
xP=l1cosq1+acosq2+bcos(90°+q2) yP=l1sinq1+asinq2+bsin(90°+q2) 2)速度分析 对(1)、(2)两式求导 x: l1cosq1+l2cosq2=l4+l3cosq (1) y: l1sinq1+l2sinq2=l3sinq (2) l1sinq1w1+l2sinq2w2=l3sinq3w (5) l1cosq1w1+l2cosq2w2=l3cosq3w (6)

42 求w2(w3)时，将坐标轴绕A点逆时针转q3(q2) 角，则由（5）式得
l1(sinq1-q3)w1=-l2sin(q2-q3)w2 A C B P D a b 1 3 2 4 w1 q1 y x q3 q2 A C B P D a b 1 3 2 4 w1 q1 y x q3 q2 l1(sinq1-q2)w1=-l3sin(q3-q2)w3 对于P点：

43 3)加速度分析 对于P点： 对（5）、（6）式求导 同理，求a2(a3) 时将坐标系逆时针转q3(q 2)角， （7）式整理得
l1cosq1w12+l2cosq2w22+l2sinq2a2=l3cosq3w32+l3sinq3a (7) -l1sinq1w12-l2sinq2w22+l2cosq2a2=l3cosq3a3-l3sinq3w (8) 同理，求a2(a3) 时将坐标系逆时针转q3(q 2)角， （7）式整理得 对于P点：

44 2.拆杆组法 一般可将平面机构看成是由Ⅰ级机构 和若干个自由度为零的基本杆组所组成， 将Ⅰ级机构和各种基本杆组的运动方程列
出，并分别编写成独立的子程序，在对一 个机构进行运动分析时，仅需调用相应的 子程序即可。

45 3.3 机构的力分析 目的： 内容： 3.3.1 考虑摩擦的力分析的目的和内容
(Forces analysis of mechanisms) 3.3.1 考虑摩擦的力分析的目的和内容 目的： 分析运动副中摩擦对机构的影响， 减少不利因素，发挥有利作用。 内容： 1）介绍几种运动副中的摩擦； 2）考虑摩擦的受力分析； 3）机械效率和机械自锁。

46 F21 3.3.2 考虑摩擦的力分析 1.运动副中的摩擦 （1）移动副的摩擦 1）移动副中摩擦力的确定 F——合外力；
Ft FN21 FR21 F Fn b F21 j v12 a 1）移动副中摩擦力的确定 F——合外力； FN21——法向反力； F21——摩擦力。 方向：F21总是与v12方向相反。 大小：当摩擦系数f一定时， F21与FN21成正比。 F21=fFN21 F21

47 2）移动副中总反力的确定 FR21 ∴j =arctanf ，称为摩擦角。 方向：FR21与 v12 夹角为(90°+j ) 大小：
Ft FN21 FR21 F Fn b F21 j v12 a FN21与F21 同是构件2作用于构件1 的力，故将它们合成一总反力FR21。 设FR21与FN21的夹角为j ∴j =arctanf ，称为摩擦角。 方向：FR21与 v12 夹角为(90°+j ) FR21 大小：

48 应注意机构中下列几种情况总反力的确定： 当外力F 的作用线位于接触表面ab 之内时 构件1与构件2仅一面受力，FR21 如图a 所示。
j FR21 v12 2 F 1 a b d c (a) 当外力F 的作用线位于接触表面ab 之内时 构件1与构件2仅一面受力，FR21 如图a 所示。 2 1 j c d b a F FR21 v12 (b) 当外力F的作用线位于接触表面ab 之外时构件1除了移动之外，还要发生倾 转， FR21如图b 所示。 j 2 1 c d b a h v12 FR21 F (c) 当外力F的作用线平行移动轴线并 距移动轴线h 时，构件1除了移动之外， 还要发生倾转， FR21如图c 所示。

49 FQ + F + FR21 = 0 F = FQ tan(a +j ) FR21 = FQ /cos(a +j )
例:构件1在构件2的斜面上等速 滑动，载荷为FQ , 摩擦系数为f , 驱动 力F水平,a已知。求当构件1沿斜面分 别等速上、下滑动时， FR21 =? F=? FQ 1 2 a F a j 1 (a+j) FQ F v12 FR21 解：1)当构件1等速上滑时，对构 件1进行受力分析。 FQ + F + FR21 = 0 F = FQ tan(a +j ) FR21 = FQ /cos(a +j )

50 2) 当构件1等速下滑时，对 构件1进行受力分析。 FQ + F + FR21 = 0 F = FQ tan(a -j )
v12 j FR21 2) 当构件1等速下滑时，对 构件1进行受力分析。 FQ + F + FR21 = 0 F = FQ tan(a -j ) FR21 = FQ /cos(a -j ) 从此题可见：由于相对速度方向不同，使得 FR21的方向也不同。

51 (2)转动副的摩擦（径向轴颈摩擦） 1)如图a所示，当构件1与构件2 没有相对转动时，其接触点在A 点，此时FN21= -FQ ，此二力共
线，等值反向。 2)如图b所示，在Md的驱动下使轴颈 匀速转动，由于摩擦力的存在，构件 1在构件2的AB弧段向上爬升，直至B 点达到平衡。 r FQ FN21 F21 FR21 Md O B 1 2 (b) 平衡条件为 ∑Fy= FQ=FR21 ∑MO= Md=Mr

52 Mr=F21r =FR21r fv(当量摩擦系数)通过理论推导，有 跑合轴颈：fv=1.27f 非跑合轴颈：fv=1.57f

53 1)当e<r 时，FQ′作用在摩擦圆内, 此时Md<Mr,机构若原来运动则减 速直至静止,若原来静止则自锁。
r = fv r 为定值。 r FQ FR21 Md O 式中r 称为摩擦圆半径。 r FQ FR21 r FQ FR21 根据力学观点，若Md与FQ的总合 力为FQ′，其距离为e， 1)当e<r 时，FQ′作用在摩擦圆内, 此时Md<Mr,机构若原来运动则减 速直至静止,若原来静止则自锁。 r FR21 O B e FQ′ r FR21 O B e FQ′ r FQ FR21 Md O B r FR21 O B e FQ′ 2)当e= r 时，FQ′切于摩擦圆，此 时Md=Mr,构件1达到惯性平衡。 3)当e>r 时，FQ′作用在摩擦圆外， 此时Md>Mr,构件1作加速转动。 在考虑摩擦受力分析时，常将FQ′ 用FRij表示。

54 转动副中总反力的确定： 1)FRAB作用线切于摩擦圆； 2)FRAB对轴心取矩的方向与wBA转 向相反； FRAB
唯一确切位置。 整体平衡条件包括：若该构件为二力构件，明 确其受拉还是受压；若该构件是三力构件，此 三力必汇交于一点；若该构件受一个力矩和两 个力作用，此时该二力必构成一力偶与力矩达 到平衡；等等。

55 2.考虑摩擦的机构受力分析 步骤如下： 1)明确机构中驱动力（矩）和阻力（矩）， 搞清运动趋势。 2)画受力图。必须从受力最少构件入手，然
后分别画出其他构件受力图。 3)求未知量。从有已知力（矩）的构件入手， 根据平衡条件求出未知力（矩），然后以 此构件为基准，由近及远分析其他构件， 直至求出未知量。

56 fv、r、驱动力F、阻力矩M3均已知,求：机构在 力F作用下，各运动副总反力的位置和方向。
例1:如图示所四杆机构，机构位置、尺寸、 fv、r、驱动力F、阻力矩M3均已知,求：机构在 力F作用下，各运动副总反力的位置和方向。 解： r = fv r 构件2: FR12 + FR32 = 0 w 12 w 23 FR12 FR21 FR23 FR32 1 2 3 4 F M3 构件1: FR43 h F + FR21 + FR41 = 0 FR41 构件3: w 14 w 34 FR23 + FR43 = 0 M3 = FR23 h

57 例2:如图所示导杆机构，机构位置、尺寸、fv、r、
驱动力矩M1均已知，FQ为阻力,求：机构在M1 作用下能 克服的阻力FQ =? M1 FQ 3 4 1 2 FR43 FR23 FR21 解： r = fv r，j = arctan f w14 FR12 + FR32 = 0 构件2： FR41 h 构件3： FQ + FR23 + FR43 = 0 3 2 FR12 FR32 w21 v23 构件1： FR21 + FR41 = 0 M1 = FR21 h 受力面 w34 选mN，FR21=M1/h ∴FQ=∣FQ∣图长mN FR43 FQ FR23 FR41 FR21 FR12 FR32

58 v21 F FQ w23 例3:如图所示机构，已知机构位置、尺寸及f 、r, F为驱动力，FQ为阻力,求机构中各运动副中总反力的 作用线。
解： 构件1： F + FR21 + FR31 = 0 构件2： FQ + FR12 + FR32 = 0 FR32 v21 FR21 FR12 j FR31 j w23 v13

59 F 1 2 3 4 FQ 例4:如图所示的夹紧机构，已知各构件的尺 寸、位置及移动副间的摩擦角j，摩擦圆如图所
的总反力作用线。 F 解： FR41 构件2： FR12 + FR32 = 0 1 j w14 FR12 FR32 w21 FR21 构件1： F + FR21 + FR41 = 0 2 j FR43 构件3： FQ + FR23 + FR43 = 0 3 w23 v34 4 FR23 FQ

60 3.机械效率和机械自锁 (1)机械效率 机械对能量的有效利用程度，用h 表示。 因为Wf总是存在的，所以h＜1。 希望Wf↓、h↑的措施有：
式中：Wd ——输入功； Wr —— 输出功； Wf —— 损耗功。 因为Wf总是存在的，所以h＜1。 希望Wf↓、h↑的措施有： 1)简化机械系统，减少运动副。 2)减少摩擦，合理选材。 h的表达形式： (a)h用功率表示

61 (b)h用力的比值表示 i.有摩擦时 F为驱动力, FQ为阻力 传动系统 F v FQ vQ ii.无摩擦时 F0为理想驱动力,FQ为阻力

62 (2)机械自锁 自锁： 运动副的自锁条件： (c)h用力矩的比值表示 无论驱动力多大，在该驱动力单独作用下
都不能使机械运动，这种现象称为自锁。 运动副的自锁条件： r FQ (FR21) FR21 e O 1 2 b j v12 F FR21 1 2 b≤j自锁 e≤r自锁 当取“=”时，机构需原来静止。

63 机械的自锁条件：h≤0 机械的自锁用效率确定： 当Wf＞＞Wd时，h≤0。 h=0时,说明机械处于自锁的临界状态；

64 为驱动力，M1 为阻力矩，摩擦系数f 、当量摩 擦系数fv、轴颈r均已知，求机构的自锁范围。
h FR41 FR21 w21 w23 F M1 1 2 3 4 FR12 FR32 w14 解： r = fv r，j = arctan f 构件2： FR12 + FR32 = 0 构件1： FR21 + FR41 = 0 M1 = FR21 h

65 F M1 1 2 3 4 w21 w23 FR12 FR32 w14 h FR41 FR21 FR21 F M1 1 2 3 4 w21 w23 FR12 FR32 w14 FR41 1) FR21 F M1 1 2 3 4 w21 w23 FR12 FR32 w14 FR41 2) FR21 F M1 1 2 3 4 w21 w23 FR12 FR32 w14 FR41 3)

66 FR21 F M1 1 2 3 4 w21 w23 FR12 FR32 w14 FR41 q 所以自锁范围为

67 机械自锁的条件如下： 1） h≤0； 2） 驱动力无穷大； 3） 阻抗力≤0； 4） 驱动力是否在摩擦圆或摩擦 角以内。