2．3　抛物线   2．3.1　抛物线及其标准方程.

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1 2．3　抛物线 2．3.1　抛物线及其标准方程

2 学习目标 1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形． 2．会求出抛物线的方程． 3．会利用抛物线的定义和标准方程解决简单的实际问题．

3 课前自主学案 2.3.1 课堂互动讲练 知能优化训练

4 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是_____________. 抛物线
课前自主学案 温故夯基 1．二次函数的图象是_________． 2．y＝x2＋2的最小值是__. 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是_____________. 抛物线 2

5 知新益能 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_______． 相等 焦点 准线

6 2．抛物线的标准方程

7 问题探究 在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．

8 课堂互动讲练 考点突破 求抛物线的标准方程 求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值． 求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上． 例1

9 【思路点拨】　首先判断焦点可能存在的位置，设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．

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12 互动探究1　若本例第(2)题改为“准线与坐标轴的交点在直线x－2y－4＝0上”，求抛物线的标准方程．

13 对于抛物线中最值问题，应利用抛物线的定义把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离化为到焦点的距离．
抛物线定义的应用 对于抛物线中最值问题，应利用抛物线的定义把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离化为到焦点的距离． 例2

14 【思路点拨】　解答本题要利用抛物线的定义把点P到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离，再利用三角形知识求最小值．

15 【答案】　A

16 互动探究2　本例中若将点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．

17 涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．
与抛物线相关的应用问题 涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同． 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 例3

18 【思路点拨】　先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x＝2时的y值．

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20 【名师点评】　(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．

21 变式训练3　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶部A处，喷出的水流的最高点为B，距地面5 m，且与管柱OA相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，求管柱OA的长．

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23 方法感悟 1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，不要出现错误． (2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． (3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0，所以抛物线开口向下．

24 2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数法．
(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)； (2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．

25 知能优化训练

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