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实验三 函数极限、导数与积分的计算 实验目的：学习并掌握Mathematica中函数极限、导数、积分的计算方法，辅助相关课程的学习。 预备知识：
一、高等数学中极限、导数、微分、积分基本概念及相关知识 二、Mathematica中计算极限、导数、积分的相关命令
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边学边做： （一）求下列极限： （二）导数计算 （1）求函数 的一阶导数 （2）求函数 的三阶导数 （3）求函数 的一阶、二阶偏导数 （4）求函数 在 处的导数值
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（5）求函数 在 处的二阶导数值 （6）求隐函数 所确定的函数的导数 （7）求参数方程 所确定的函数的导数 （三）求下列积分 (四）计算二重积分 ，其中D是由 所围成的区域。
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(五)应用举例 1．连续复利：有一笔贷款A0=1000元（称本金）以年利率r=0.1贷出，若以一年为一期计算利息，1年末的本利和为A1=A0（1+r），2年末本利和为A2=A1（1+r）=A0(1+r)2，…t年末本利和为At= A0(1+r)t。若一年不是一期，而是一年计息n期，且以为每期利息来计算，则t年末本利和为At= A0(1+)nt，请给出1元贷款在10年后的本利和 2．计算人造卫星轨道的长度：1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，若取地球的半径为6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度
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学生实验： 一、基础部分 1．求下列函数极限 （1） （2） （3） 2．求下列积分 （4）求 的数值解 （5）计算 由 所围
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3．完成导数计算 （1）求 的导函数及其 （2）求函数 的导数与微分 （3）设 ，求 （4）求由参数方程 所确定的函数的导数
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二、应用部分 （一）已知物体作直线运动，运动方程为 ，求物体运动的速度和加速度。 （二）已知单摆的运动周期为 ，若摆长由２０cm增加到20.1cm，问周期大约变化多大。 （三）将一物体垂直上抛，其运动方 ，试求： １）物体从t=1秒到t=2秒的平均速度； ２）物体从t=1秒到t=1+△t秒的平均速度 ２）物体在t=1时的瞬时速度； ３）物体从t秒到t+△t秒的平均速度； ４）物体在任意t秒时的瞬时速度。
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(四)求由曲线y=x2与直线y=2x+1所围平面图形的
面积. (五)抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分,求这两 部分的面积之比. (六)证明:把质量为m的物体从地球表面升高到h处所做的功是 ,其中K是引力常数,M是地球的质量,R是地球的半径. (七)试计算某建筑物屋盖的拱长,已知这个屋盖是跨度为18m,矢高为3.6m的抛物线拱. (八)求抛物线y=x2与直线x-y-2=0之间的最短距离.
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实验三内容详解： 一、利用Limit函数求极限 1．命令格式 Limit[f(x),x->a,选择项] 求左极限，加选择项“Direction->1” 求右极限，加选择项“Direction->-1” 格式中的a既可以是某一个常数，也可以是无穷大Infinity
![实验三内容详解： 一、利用Limit函数求极限 1．命令格式 Limit[f(x),x->a,选择项] 求左极限，加选择项 Direction->1 求右极限，加选择项 Direction->-1 格式中的a既可以是某一个常数，也可以是无穷大Infinity](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/9/%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E4%B8%89%E5%86%85%E5%AE%B9%E8%AF%A6%E8%A7%A3%EF%BC%9A+%E4%B8%80%E3%80%81%E5%88%A9%E7%94%A8Limit%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%B1%82%E6%9E%81%E9%99%90+1%EF%BC%8E%E5%91%BD%E4%BB%A4%E6%A0%BC%E5%BC%8F+Limit%5Bf%28x%29%2Cx-%3Ea%2C%E9%80%89%E6%8B%A9%E9%A1%B9%5D+%E6%B1%82%E5%B7%A6%E6%9E%81%E9%99%90%EF%BC%8C%E5%8A%A0%E9%80%89%E6%8B%A9%E9%A1%B9+Direction-%3E1+%E6%B1%82%E5%8F%B3%E6%9E%81%E9%99%90%EF%BC%8C%E5%8A%A0%E9%80%89%E6%8B%A9%E9%A1%B9+Direction-%3E-1+%E6%A0%BC%E5%BC%8F%E4%B8%AD%E7%9A%84a%E6%97%A2%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E6%98%AF%E6%9F%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%B8%B8%E6%95%B0%EF%BC%8C%E4%B9%9F%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E6%98%AF%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7Infinity.jpg "实验三内容详解： 一、利用Limit函数求极限 1．命令格式 Limit[f(x),x->a,选择项] 求左极限，加选择项 Direction->1 求右极限，加选择项 Direction->-1 格式中的a既可以是某一个常数，也可以是无穷大Infinity")
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2．边学边做 求下列极限： (1) ；(2) ；(3) (4) ；(5) ；(6) (2)Clear[x]
(1) ；(2) ；(3) (4) ；(5) ；(6) (2)Clear[x] Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3)Clear[x] Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1] (1)Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (5)Clear[x] Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity] (4)Clear[x] Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1]
![2．边学边做 求下列极限： (1) ；(2) ；(3) (4) ；(5) ；(6) (2)Clear[x]](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/10/2%EF%BC%8E%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A+%E6%B1%82%E4%B8%8B%E5%88%97%E6%9E%81%E9%99%90%EF%BC%9A+%281%29+%EF%BC%9B%282%29+%EF%BC%9B%283%29+%284%29+%EF%BC%9B%285%29+%EF%BC%9B%286%29+%282%29Clear%5Bx%5D.jpg "(1) ；(2) ；(3) (4) ；(5) ；(6) (2)Clear[x] Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3)Clear[x] Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1] (1)Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (5)Clear[x] Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity] (4)Clear[x] Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1]")
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解(1) Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (2) Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1] (4) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1] (5) Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity]
![解(1) Clear[x] Limit[Sin[x]/x,x->0] (2) Limit[(Exp[x]-Exp[-x])/Sin[x],x->0] (3) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->-1]](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/11/%E8%A7%A3%281%29+Clear%5Bx%5D+Limit%5BSin%5Bx%5D%2Fx%2Cx-%3E0%5D+%282%29+Limit%5B%28Exp%5Bx%5D-Exp%5B-x%5D%29%2FSin%5Bx%5D%2Cx-%3E0%5D+%283%29+Limit%5BE%5E%28-1%2Fx%29%2Cx-%3E0%2C+Direction-%3E-1%5D.jpg "(4) Limit[E^(-1/x),x->0, Direction->1] (5) Limit[(1+(1/x))^x,x->Infinity] (6) f[x_]:=(1+(2/x))^(x+2) Limit[f[x], x->Infinity]")
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二、利用D函数求导数，微分 1．命令汇总 D[f[x],x] D[f[x],{x,n}] D[f,{x,n},{y,m}] Dt[f]
命 令 功 能 D[f[x],x] 计算一元函数导数df/dx D[f[x],{x,n}] 计算一元函数高阶导数f(n)(x) D[f,{x,n},{y,m}] 求函数f对x的n阶，对y的m阶混合偏导数 Dt[f] 求函数f的全微分 DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y′[x]] 自定义函数用于隐函数求导 Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t] 自定义函数用于求参数方程所确定的导数 特别强调：若用自定义函数写出求导函数时，求导时亦可采用数学中的通用记号 来表示导数。
![二、利用D函数求导数，微分 1．命令汇总 D[f[x],x] D[f[x],{x,n}] D[f,{x,n},{y,m}] Dt[f]](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/12/%E4%BA%8C%E3%80%81%E5%88%A9%E7%94%A8D%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%B1%82%E5%AF%BC%E6%95%B0%EF%BC%8C%E5%BE%AE%E5%88%86+1%EF%BC%8E%E5%91%BD%E4%BB%A4%E6%B1%87%E6%80%BB+D%5Bf%5Bx%5D%2Cx%5D+D%5Bf%5Bx%5D%2C%7Bx%2Cn%7D%5D+D%5Bf%2C%7Bx%2Cn%7D%2C%7By%2Cm%7D%5D+Dt%5Bf%5D.jpg "命 令. 功 能. D[f[x],x] 计算一元函数导数df/dx. D[f[x],{x,n}] 计算一元函数高阶导数f(n)(x) D[f,{x,n},{y,m}] 求函数f对x的n阶，对y的m阶混合偏导数. Dt[f] 求函数f的全微分. DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y′[x]] 自定义函数用于隐函数求导. Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t] 自定义函数用于求参数方程所确定的导数. 特别强调：若用自定义函数写出求导函数时，求导时亦可采用数学中的通用记号 来表示导数。")
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2．边学边做 （1）D[Sin[2^x],x]即求 函数的一阶导数 （2）D[Exp[x]*Sin[x],{x,3}] 即求函数 的三阶导数 （3）求函数 的一阶、二阶偏导数 解 f[x_,y_]:=x^2*y^3; Z1=D[f[x,y],{x,1}] Z2=D[f[x,y],{y,1}] Z11=D[f[x,y],{x,2}] Z12=D[f[x,y],{x,1},{y,1}] Z21=D[f[x,y],{y,1},{x,1}] Z22=D[f[x,y],{y,2}]
![2．边学边做 （1）D[Sin[2^x],x]即求 函数的一阶导数. （2）D[Exp[x]*Sin[x],{x,3}] 即求函数 的三阶导数. （3）求函数 的一阶、二阶偏导数.](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/13/2%EF%BC%8E%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A+%EF%BC%881%EF%BC%89D%5BSin%5B2%5Ex%5D%2Cx%5D%E5%8D%B3%E6%B1%82+%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E4%B8%80%E9%98%B6%E5%AF%BC%E6%95%B0.+%EF%BC%882%EF%BC%89D%5BExp%5Bx%5D%2ASin%5Bx%5D%2C%7Bx%2C3%7D%5D+%E5%8D%B3%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E4%B8%89%E9%98%B6%E5%AF%BC%E6%95%B0.+%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0+%E7%9A%84%E4%B8%80%E9%98%B6%E3%80%81%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%81%8F%E5%AF%BC%E6%95%B0..jpg "解 f[x_,y_]:=x^2*y^3; Z1=D[f[x,y],{x,1}] Z2=D[f[x,y],{y,1}] Z11=D[f[x,y],{x,2}] Z12=D[f[x,y],{x,1},{y,1}] Z21=D[f[x,y],{y,1},{x,1}] Z22=D[f[x,y],{y,2}]")
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(4)H=D[x3-2x+1,x];H/.x->1
(5)f[x_]:=Sin[x^2] N[f″[Pi]]求函数 在 处的二阶导数值 (6)求隐函数 所确定的函数的导数 DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y’[x]] DFxy[x^2+(y[x])^2-1,x,y] (7)求参数方程 所确定的函数的导数 Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t] Dxyt[a*Cos[t],b*Sin[t],t]
![(4)H=D[x3-2x+1,x];H/.x->1](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/14/%284%29H%3DD%5Bx3-2x%2B1%2Cx%5D%3BH%2F.x-%3E1.jpg "(5)f[x_]:=Sin[x^2] N[f″[Pi]]求函数 在 处的二阶导数值. (6)求隐函数 所确定的函数的导数. DFxy[f_,x_,y_]:=Solve[D[f,x]==0,y’[x]] DFxy[x^2+(y[x])^2-1,x,y] (7)求参数方程 所确定的函数的导数. Dxyt[y_,x_,t_]:=D[y,t]/D[x,t] Dxyt[a*Cos[t],b*Sin[t],t]")
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三、利用Integrate函数求不定积分及定积分 1．命令汇总
命 令 功 能 Intrgrate[f[x],x] 求不定积分 Integrate[f[x],{x,a,b}] 计算定积分 NIntegrate[f[x],{x,a,b}] 可求如上定积分的数值解（f(x)的原函数不能用有限形式表示的积分） Integrate[f[x],{x,a,Infinity}] 计算广义积分 Integrate[f[x],{x,-Infinity,b}] Integrate[f[x],{x,-Infinity,Infinity}] Integrate[f[x,y],{x,下限,上限},{y,下限,上限}] 计算二重积分
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2．边学边做 (1)f1=(x+1)/(x^2+3*x+5) f2=Integrate[f1,x] (2)Integrate[x^5,{x,1,2}] (3)f3=Integrate[x*Sin[x],{x,0,1}] 输出-cos[1]+sin[1]，此为精确值 C=N[f3] 输出结果为 ，此为近似值 (4)NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]
![2．边学边做 (1)f1=(x+1)/(x^2+3*x+5) f2=Integrate[f1,x] (2)Integrate[x^5,{x,1,2}] (3)f3=Integrate[x*Sin[x],{x,0,1}] 输出-cos[1]+sin[1]，此为精确值 C=N[f3] 输出结果为 ，此为近似值 (4)NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/16/2%EF%BC%8E%E8%BE%B9%E5%AD%A6%E8%BE%B9%E5%81%9A+%281%29f1%3D%28x%2B1%29%2F%28x%5E2%2B3%2Ax%2B5%29+f2%3DIntegrate%5Bf1%2Cx%5D+%282%29Integrate%5Bx%5E5%2C%7Bx%2C1%2C2%7D%5D+%283%29f3%3DIntegrate%5Bx%2ASin%5Bx%5D%2C%7Bx%2C0%2C1%7D%5D+%E8%BE%93%E5%87%BA-cos%5B1%5D%2Bsin%5B1%5D%EF%BC%8C%E6%AD%A4%E4%B8%BA%E7%B2%BE%E7%A1%AE%E5%80%BC+C%3DN%5Bf3%5D+%E8%BE%93%E5%87%BA%E7%BB%93%E6%9E%9C%E4%B8%BA+%EF%BC%8C%E6%AD%A4%E4%B8%BA%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%80%BC+%284%29NIntegrate%5BSin%5Bx%5D%2Fx%2C%7Bx%2C0%2C1%7D%5D.jpg "2．边学边做 (1)f1=(x+1)/(x^2+3*x+5) f2=Integrate[f1,x] (2)Integrate[x^5,{x,1,2}] (3)f3=Integrate[x*Sin[x],{x,0,1}] 输出-cos[1]+sin[1]，此为精确值 C=N[f3] 输出结果为 ，此为近似值 (4)NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]")
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(5)Integrate[Exp[-x],{x,0,+Infinity}] (6)计算二重积分 ,其中D是由 所围成的区域。 解一：Integrate[y/x,{x,2,4},{y,x,2x}] 解二：Integrate[y/x,{y,x,2x}] Integrate[%,{x,2,4}]
![(5)Integrate[Exp[-x],{x,0,+Infinity}] (6)计算二重积分 ,其中D是由 所围成的区域。 解一：Integrate[y/x,{x,2,4},{y,x,2x}] 解二：Integrate[y/x,{y,x,2x}] Integrate[%,{x,2,4}]](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/17/%285%29Integrate%5BExp%5B-x%5D%2C%7Bx%2C0%2C%2BInfinity%7D%5D+%286%29%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%BA%8C%E9%87%8D%E7%A7%AF%E5%88%86+%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADD%E6%98%AF%E7%94%B1+%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E5%8C%BA%E5%9F%9F%E3%80%82+%E8%A7%A3%E4%B8%80%EF%BC%9AIntegrate%5By%2Fx%2C%7Bx%2C2%2C4%7D%2C%7By%2Cx%2C2x%7D%5D+%E8%A7%A3%E4%BA%8C%EF%BC%9AIntegrate%5By%2Fx%2C%7By%2Cx%2C2x%7D%5D+Integrate%5B%25%2C%7Bx%2C2%2C4%7D%5D.jpg "(5)Integrate[Exp[-x],{x,0,+Infinity}] (6)计算二重积分 ,其中D是由 所围成的区域。 解一：Integrate[y/x,{x,2,4},{y,x,2x}] 解二：Integrate[y/x,{y,x,2x}] Integrate[%,{x,2,4}]")
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四、应用举例 1．连续复利：有一笔贷款A0=1000元（称本金）以年利率r=0.1贷出，若以一年为一期计算利息，1年末的本利和为A1=A0（1+r），2年末本利和为A2=A1（1+r）=A0(1+r)2，…t年末本利和为At= A0(1+r)t。若一年不是一期，而是一年计息n期，且以为每期利息来计算，则t年末本利和为At= A0(1+)nt，下面给出1元贷款在10年后的本利和 若每年结算一次（n=1） A0=1；r=0. 1；t=10; A[n_,t_,r_]:=A0*(1+r/n)^(n*t) A[1,t,r] \输出结果为
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每月结算一次（n=12） A[12,t,r] \输出结果为 每天结算一次（n=365） A[365,t,r] \输出结果为 每小时结算一次（n=365*24） A[365*24,t,r] \输出结果为 每秒结算一次（n=365*24*3600） A[365*24*3600,t,r] \输出结果为 由计算结果可知，1元贷款10年后本利和越来越接近e，事实上Limt[(1+0.1/n)^(10n),n->Infinity]=e
![每月结算一次（n=12） A[12,t,r] \输出结果为 每天结算一次（n=365） A[365,t,r] \输出结果为](http://slidesplayer.com/slide/17317548/100/images/19/%E6%AF%8F%E6%9C%88%E7%BB%93%E7%AE%97%E4%B8%80%E6%AC%A1%EF%BC%88n%3D12%EF%BC%89+A%5B12%2Ct%2Cr%5D+%5C%E8%BE%93%E5%87%BA%E7%BB%93%E6%9E%9C%E4%B8%BA+%E6%AF%8F%E5%A4%A9%E7%BB%93%E7%AE%97%E4%B8%80%E6%AC%A1%EF%BC%88n%3D365%EF%BC%89+A%5B365%2Ct%2Cr%5D+%5C%E8%BE%93%E5%87%BA%E7%BB%93%E6%9E%9C%E4%B8%BA.jpg "每小时结算一次（n=365*24） A[365*24,t,r] \输出结果为 每秒结算一次（n=365*24*3600） A[365*24*3600,t,r] \输出结果为 由计算结果可知，1元贷款10年后本利和越来越接近e，事实上Limt[(1+0.1/n)^(10n),n->Infinity]=e.")
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2．计算人造卫星轨道的长度：1970年4月24日，我国发射了第一颗人造卫星，这颗卫星的近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，若取地球的半径为6371km，请计算人造地球卫星的轨道长度 解 人造地球卫星的轨道可视为平面上的椭圆，其参数方程为x=acost，y=bsint，（0≤t≤2π），a，b分别是长，短半轴。由计算参数方程的弧长公式，椭圆长度可表为定积分 ，该积分称为椭圆积分，它无法用解析方法计算 下面用NIntegrate计算 a= ，b= ; f[x_]:=a^2*Sin[t]^2+b^2*Cos[t]^2; lenth=4NIntegrate[f[t],{t,0,Pi/2}] \ km
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