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三角形的内角 淄博十五中 孟庆云
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三角形三边的关系是什么? 三角形的三个内角和是多少? 有什么办法可以验证呢? 想一想 三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边 三角形的三个内角和是多少? 三角形的三个内角等于180° 有什么办法可以验证呢?
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做一做 拿出准备的三角形纸片,把三角形的三个内角撕下来,拼一拼,看看能否得到你们的结论。
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问题:有什么方法可以得到180° 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗? 1.平角的度数是180° 2.两直线平行,同旁内角的和 是180°
想一想 问题:有什么方法可以得到180° 1.平角的度数是180° 2.两直线平行,同旁内角的和 是180° 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
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。 。 ) 证法1: ) 作BC的延长线CD, 在△ABC的外部,以CA为一边, CE为另一边作∠1=∠A, 于是CE∥BA
(内错角相等,两直线平行). ∴∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等). A 。 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° E (等量代换) 1 ) 。 ) 2 × × D C B
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? ? ? ? 。 图形相同, 。 画法不同, 证明也不同. 证法2: ) ) 作BC的延长线CD, 过C作CE∥BA, 于是∠A=∠1
(两直线平行,内错角相等) ? ∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等) ? 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ? (等量代换) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° A 。 图形相同, 画法不同, E 证明也不同. 1 ) 。 ) 2 × × B C D
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证法3: 过A作EF∥BC, ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠CAF (两直线平行,内错角相等)
又∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180° E F (平角的定义) A ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) C B
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证法4: 过A作AE∥BC, ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° A E (等量代换) C B
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在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里,辅助线通常画成虚线。
思路总结 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 三角形内角和定理: 三角形的内角和等于1800.
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例 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向。 求下面各题.
D B C E 北 80° 50° (1)∠DAC=_ ∠DAB=_ ∠EBC=_ ∠CAB = _ 40° 30 ° (2)从C岛看A 、 B两岛的视角∠ C是多少? A 分析:在△A BC中, (1)题中已求得∠CAB = 30 °,求∠C,根据三角形内角和 ,只要先求出∠ABC即可. 解:∵ AD∥BE ∴ ∠DAB﹢∠ABE=180° ∴ ∠ABE = 180° - ∠DAB = 180° - 80° =100° ∴ ∠ABC=∠ABE﹣∠CBE=100°﹣40°=60° 在△ABC中, ∠C = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 30 ° - 60 °=90°
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解:过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N
北 北 D E C N M ∟ 2 1 40 ° 50° B A 解:过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N 在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC= 50° ∴∠1=180 °- 90°- 50° = 40° ∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 ° ∴ ∠BNC =90° 同理得 ∠2 = 50° ∴ ∠ACB = 180 ° - ∠1 - ∠2=180 °- 40°- 50° = 90°
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解: 过点C画CF∥AD ∴ ∠1=∠DAC=50 °,
E 北 A 40° 2 1 50° B F 解: 过点C画CF∥AD ∴ ∠1=∠DAC=50 °, ∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2=∠CBE =40 ° ∴ ∠ACB=∠1﹢∠2 =50 °﹢ 40 ° =90 °
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练一练 解:在△ACD中 ∠CAD =30 ° ∠D =90 ° ∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °
如图,从A处观测C处时仰角∠CAD=30°,从B处观测C处时仰角∠CBD=45°。 从C处观测A、B两处时视角 ∠ACB是多少? D A B 解:在△ACD中 ∠CAD =30 ° ∠D =90 ° ∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 ° 在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D =90 ° ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 ° ∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °
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2. 如图,一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD,其中∠A=150°,∠B=∠D=40°。求∠C的度数。
40 ° 150° A B C 1 2 D 解:在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180° 在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180° ∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360 ° 即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360 ° 40 °+40 °+ ∠BCD +150 ° = 360 ° ∴ ∠BCD = 360 °-40 °- 40 °- 150 °=130 °
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试一试: 600 600 200 1000 200 1:在△ABC中,∠A=700 ,∠C=500则∠B=
2:在△ABC中,∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰5,则∠A= , ∠B= , ∠C= 3:在△ABC中, ∠A=1000 , ∠B= 400 +∠C ,则 ∠C= 600 200 1000 200
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(1)一个三角形中最多有 个直角? 为什么? (2)一个三角形中最多有 个钝角? (3)一个三角形中至少有 个锐角? 1 讨论 1 2
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这节课你有 那些收获?
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三角形的内角 三角形的内角和定理:三角形的三个内角和是180度 推论1:直角三角形的两个锐角互余 推论2:四边形的四个内角和是360度
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作业 必做题:教材第80页,练习 1 第82页,习题 、3 选做题:习题 7.2 7、8
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敬请各位领导和老师批评指正
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