复数复习 北京石油化工学院 蓝波.

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1 复数复习 北京石油化工学院 蓝波

2 复数的概念 一 数的概念的发展 正整数 零 负整数 整数 分数 有理数 实数 无理数

3 一、数的概念和发展 数的概念产生于生产实践，并随着生产和科学技术的发展而逐步扩展。 随着新的数的概念的建立，数集也得以扩展。
数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能实施的矛盾。

4 一、数的概念和发展 问题1 解方程 x²+1 = 0 虚数单位i，规定： (1) 它的平方等于-1，即i ²= -1
(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算律仍成立。 方程 x²=-1 的解为x=i 或x=-i 。

5 一、数的概念和发展 问题2 解方程 x²+2 = 0 x = 2i x =- 2i 问题3 解方程 (x +1)²+2 = 0

6 二、复数和复平面 1、复数：形如 a + bi (a , b∈R) 的数叫做复数 a—实部 b—虚部 实数 (b=0) 复数

7 二、复数和复平面 复数集C 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集

8 二、复数和复平面 例1 m 分别为何实数时，复数 Z =(m²-2m -3)²+ (m²-4m +3)i
(1) 是实数？(2) 是虚数？(3) 是纯虚数？ 解：(1)由m²-4m +3 =0 ，可得m =1 m =3 1 2 ∴ 当m =1 或 m =3 时，Z 是实数

9 二、复数和复平面 m²-4m+3 0 ， m 3 且m -1 得m =-1 (2) 由m²-4m +3 0 ，可得m 1 m 3
∴ 当m 1 或 m 3 时，Z 是虚数 (3) 由 m²-2m -3 =0 m²-4m ， 解得 m =3 或m =-1 m 3 且m -1 得m =-1 ∴ 当m =-1 时，Z 是纯虚数

10 二、复数和复平面 2、复平面 复数Z =a + bi Z (a,b) y x 实轴—— x 轴，虚轴——y轴除去原点 b Z (a,b)

11 二、复数和复平面 思考题： 设复数Z =a + bi (a , b∈R) 和复平面内的点Z (a,b)对应，a,b必须分别满足什么条件，才能使点Z在： (1) 实轴上？(2) 虚轴上？(3) 第二象限？

12 三、复数有关概念 1、复数相等 a+bi =c+di (a,b,c,d∈R) a=c且b=d 特别地 a+bi =0 a=b=0
a+bi c+di a c 或b d a+bi = a 0或b 0 (a²+b² 0 )

13 三、复数有关概念 例2 已知(3x+y) + (4x- y)i = (19-y) + (10-x)i 求实数 x,y 4x- y =10-x
解: 根据复数相等定义 3x+y=19-y 4x- y =10-x 3x+2y=19 5x- y =10 ∴ x=3 y=5

14 三、复数有关概念 2、共轭复数 如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部不等于0时也叫做互为共轭虚数）
Z =a + bi Z =a - bi 实数自共轭 思考：求证，复数Z为实数的充要条件是Z =Z 3、两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小

15 四、复数的向量表示 向量：我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素：起点、方向、长度。
A 起点 B 终点 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素：起点、方向、长度。 向量可以用有向线段表示。 相等向量，零向量。

16 四、复数的向量表示 y x Z (a,b) r 复数a + bi 点Z (a,b) 向量oz

17 四、复数的向量表示 复数Z =a+bi 的模（或绝对值）， 几何表示：向量oz 的模r 代数表示： |Z |=|a+bi |= a²+b²
当b=0时， |Z |=|a|= a²

18 四、复数的向量表示 比较它们的模的大小 例3 求复数Z =3+4i 及Z =- － 2i 的模，并且 |Z |= - ²－ - 2 ² =
1 2 比较它们的模的大小 例3 求复数Z =3+4i 及Z = － 2i 的模，并且 解: |Z |= 3²+4² =5 1 2 |Z |= - ²－ ² = 1 3 ∵ 5＞ 3 2 ∴ ＞ |Z | 1 2

19 四、复数的向量表示 例4 设Z ∈C，满足下列条件的点Z的集合为何图形 x y x y (1) |Z |=4 (2) 2≤|Z |＜4
x y

20 四、复数的向量表示 思考题 1、Z ∈C， |Z |与|Z |是否相等？ 2、Z = i 时， |Z |², |Z ²|, Z ²是否相等？

21 复数的概念 小结： 一、数的概念的发展 二、复数有关的概念 复数、复数相等、共轭复数、复数的绝 对值 三、复数的几何表示，点表示，向量表示

22 复数的概念 谢 谢