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第十七講 重積分 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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17.1 矩形區域上的二重積分 例題1： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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可以定義Z=f(x,y)函數在矩形D上的積分
例題2： 同一維積分(單一變數積分)的道理，我們 可以定義Z=f(x,y)函數在矩形D上的積分 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題3： D={ (x,y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 } 例題4：
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討論： 1.D={ (x,y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } 稱D為一封閉矩形區域。 應用統計資訊學系
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2.將矩形D分割成n小塊矩形(x方向與y方向 皆等分)。
並在第Rk塊矩形取一點(xk,yk) 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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3. Rk所對應小長方體體積為 f(xk,yk)ΔxΔy 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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若 存在，則稱f在D是可 積分，且以 表示其極限值，換言之， 。
定義： 已知f(x,y)是定義在矩形D上的函數。 若 存在，則稱f在D是可 積分，且以 表示其極限值，換言之， 。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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Remark： 1. 稱為f在D的二重積分。 2. 表f先對y積分，再對x積分。 3. 。 4. 。 應用統計資訊學系
。 。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題5： 求 之值。 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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1.若f是連續函數，則 其中D={ (x,y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }。
Properties：(富比尼定理) 1.若f是連續函數，則 其中D={ (x,y)|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }。 2.同理有 。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題6： 計算 。 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題7： 計算 。 Ans： 比較例題6.7，發現積分順序可以對換。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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比較例題6.7，發現積分順序可以對換。 例題6： 例題7： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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計算 ，其中D={ (x,y)|-1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 0 }。
例題8： 計算 ，其中D={ (x,y)|-1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 0 }。 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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若f(x,y)與g(x,y)皆在封閉矩形D連續，則有下列性質：
Properties： 若f(x,y)與g(x,y)皆在封閉矩形D連續，則有下列性質： (i) ，其中c是常數。 (ii) 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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(iii) 若f(x,y)≥ g(x,y)，∀(x,y)∈D，則
(iV) 若D=D1∪D2，且D1與D2不互相重疊，則 。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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令 D1={ (x,y)| 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 1 }
例題9： 設D={ (x,y)| 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 }，且 f(x,y)= 2 , 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 1 1 , 1 ≤ x < 3, 1 ≤ y ≤ 2 3 , 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 計算 的值。 Ans： 令 D1={ (x,y)| 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 1 } D2={ (x,y)| 1 ≤ x < 3, 1 ≤ y ≤ 2 } D3={ (x,y)| 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 } 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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令 D1={ (x,y)| 1 ≤ x < 3, 0 ≤ y < 1 }
有D=D1∪D2∪D3，且D1,D2,D3不互相重疊 ∴ 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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17.2 非矩形區域上的二重積分 Properties： 1. 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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2. 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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Remark： 稱f對y的偏積分。 稱f對x的偏積分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題10： 計算 。 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題11： 計算 。 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題12： 計算 ，其中D表曲線y=x2與y=2x 所圍出封閉區域。 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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另一種解法： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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比較兩種解法： 有兩種不同的表示方式。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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例題13： 計算 ，其中 Ans： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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若f(x,y)與g(x,y)在區域D皆為連續，則有下列性質：
Properties： 若f(x,y)與g(x,y)在區域D皆為連續，則有下列性質： (i) ，其中c是常數。 (ii) (iii) 若f(x,y)≥ g(x,y)，∀(x,y)∈D，則 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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(iV) 若D=D1∪D2，且D1與D2是兩個不重疊區域，則
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例題14： 計算 ，其中D是由直線y=1-x， y=1+x與y=3所圍成的三角形區域。 Ans：
D ={ (x,y)| 1-y ≤ x ≤ y-1, 1 ≤ y ≤ 3 } D1={ (x,y)| -2 ≤ x ≤ 0, 1-x ≤ y ≤ 3 } D2={ (x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, 1+x ≤ y ≤ 3 } 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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另一種解法： 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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由於 無法直接積分，考慮積分的區域D ={ (x,y)| y2 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 3 }，有
例題15： 計算 。 Ans： 由於 無法直接積分，考慮積分的區域D ={ (x,y)| y2 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 3 }，有 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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觀察D的圖形，知D有另一種表示方式 ∴ 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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由於 無法直接積分，考慮變換積分的順序，在變換積分順序以前，必須先了解積分區域D
例題16： 計算 Ans： 由於 無法直接積分，考慮變換積分的順序，在變換積分順序以前，必須先了解積分區域D 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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，固定y下，先積分x變數。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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考慮，固定x下，先對y變數積分，即 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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1.單一變數的積分，可表示平面上區域的面積。
Remark： 1.單一變數的積分，可表示平面上區域的面積。 2.兩個變數函數的積分， ，可以表示三維空間物體的體積。 3.利用兩個變數函數積分的精神，同樣可以定義三、四、…變數的積分。 應用統計資訊學系 網路教學課程 第十七講
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