第十二章 第二节 一元函数 y = f (x) 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质？ 全微分.

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1 第十二章 第二节 一元函数 y = f (x) 的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对二元函数的全增量是否也有类似这样的性质？ 全微分

2 一、全微分的定义 定义 : 如果函数 z = f ( x, y ) 在定义域 D 的内点 ( x, y ) 可表示成 其中 A, B 不依赖于  x,  y, 仅与 x, y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点 ( x, y) 可微, AΔx+BΔy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在 D 内可微.

3 (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 : (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即

4 定理 1 ( 必要条件 ) 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微, 则该函数在该点偏导数 同样可证 证 : 由全增量公式 必存在, 且有 得到对 x 的偏增量 因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

5 反例 : 函数 易知 但 因此, 函数在点 (0,0) 不可微. 注意 : 定理 1 的逆定理不成立. 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即:即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6 定理 2 ( 充分条件 ) 证：证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7 所以函数 在点可微. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到, 故有

8 推广 : 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束

9 例 1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解:解: 例 2. 计算函数 的全微分. 解:解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

10 函数在可微的充分条件是 ( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量. 例 2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束

11 例 3. 设 解:解: 利用轮换对称性, 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例 2 ) 注意 : x, y, z 具有 轮换对称性

12 在点 (0,0) 可微. 例4例4 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续,续, 证 : 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数 所以

13 同理 极限不存在, 在点 (0,0) 不连续 ; 同理, 在点 (0,0) 也不连续. 2) 3) 题目 目录 上页 下页 返回 结束

14 4) 下面证明可微 : 说明 : 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令 则 题目 目录 上页 下页 返回 结束

15 高阶微分 那么它是可微的，且有 若 z 还有二阶连续偏导数, 那么 也是可微的. 题目 目录 上页 下页 返回 结束 从而 可微。我们称 的微分为 z 的二阶微分，记为 一般地， 二阶及二阶以上的微分统称为高阶微分。

16 于是 z=f(x,y) 的二阶微分为 对于自变量 x,y 总有 第四节 目录 上页 下页 返回 结束

17 那么一阶、二阶微分公式可以表示为 若将 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 看作求偏导数的运算符，并约定 同样地约定： p, q = 1, 2, 3, 

18 对 n 元函数 不难用数学归纳法证明高阶微分公式 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 也成立着各阶微分公式 例 5 设，计算

19 内容小结 1. 微分定义 : 2. 重要关系 : 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束

20 作业 P152 5 (2), (3) ; 6 (2),(4),(6) ； 15 P154 17(3),(4)