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圆的一般方程 (x-a)2 +(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0.

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1 圆的一般方程 (x-a)2 +(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0

2 考虑直线方程的一般形式:Ax+By+c=0
直线方程是一次曲线,我们可把它化成一个二元一次方程,那同学们想一想圆是二次曲线,那它是否也可以用一个n元n次的方程来表示呢?比如说用二元二次呢?

3 研究标准方程 圆的标准方程:(x-a)2 +(y-b)2=r2 (r>0) 展开,得 x2-2ax+a2+y2-2by+b2=r2
→ x2 +y2 -2ax -2by +a2 +b2 - r2 = 0 与我们的猜测一致,化成了 一 个二元二次方程。 可见:任何一个圆的方程都可以化成下面的形式 x2+y2+Dx+Ey+F=0

4 再思考? 对①进行配方得 : 若给你x2+y2+Dx+Ey+F=0 ……①这个式子,是否一定表圆呢?
对①进行配方得 : (x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 ……② 分情况讨论: ⑴ 当D2+E2-4F> 0时 ②式表示成圆,此时我们称②式为 圆的一般方程。 圆心(a,b) ⑵当D2+E2-4F= 0时 ②式(x+D/2)2+(y+E/2)2=0 表示成一点 坐标( - D/2, - E/2) ⑶ 当D2+E2-4F<0时 方程②没实数解,因不表任何图形 小结: ①式并不是在任何情况下 都表示成圆,由上⑴ ⑵ ⑶ 分析我们可得出下面的结论 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示成圆的 充要条件是D2+E2-4F> 0

5 课堂小练 例1 x2+y2+(a-1)x+2ay+a=0表圆, 则a的取值范围a>1或a<1/5 书P79 1,2

6 延伸 即A=C≠ 0 ⑵ 没有xy项 即B=0 A=C≠0 且 D2+E2-4AF/4A>0 B=0 二元二次方程的一般形式:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0 …….③ 把①与③式做比较,发现 ⑴ x2与y2的系数相同,不等与0 即A=C≠ 0 ⑵ 没有xy项 即B=0 可见: ③式表示成圆的必要条件,但不是充要条件. 那其充要条件又是什么呢? A=C≠0 且 D2+E2-4AF/4A>0 B=0

7 总结:两个充要条件 ⑵ Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0表示成圆的 B=0 ⑴x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示成圆的
充要条件是D2+E2-4F> 0 ⑵ Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+ F=0表示成圆的 充要条件 A=C≠0 且 D2+E2-4AF/4A>0 B=0


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