简单迭代法的概念与结论 简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点 方程，以求得近似根。即由方程 f(x)=0 变换为 x= (x), 然后建立迭代格式， 返回下一页 则称迭代格式 收敛, 否则称为发散 上一页
与方程 x= (x) 同解 收敛 发散 下一页返回上一页
如果 {x k } 收敛于 x * ，则它就是方程的根。因为 ： 但迭代格式有多种，迭代格式如何建立才能保 证迭代法的数列收敛？有如下定理 ： 返回下一页上一页
定理一： 假定函数 满足下列条件： 1 、对任意 有 ； (1.1) 2 、存在正数 L<1 ，使对任意 有 (1.2) 则 1 2 迭代过程 对于任意初值 均收敛于方程 的根 ，且有如下的误差估计式： (1.3) 返回下一页 实用中 (1.2) 式常用 上一页
由条件 1 证明： 1 若 或 ，则 满足方程 若 ， ，则有 由介值定理知，存在 有 即 假设 满足方程 由条件 2 所以 下一页返回上一页
2 设方程 在区间 内有根 ， 则有 由 故 据此反复递推有 返回下一页 上一页
故当 时迭代值 按 (1.2) 式 有 (1.4) ， 据此反复递推得： 于是对任意正整数 p 有 在上式令 ，注意到 即得式 (1.3) 。证毕 。 返回下一页上一页
定理一指出, 只要构造的迭代函数满足 或 由得 因此, 当 迭代就可以终止, 下一页 返回上一页 此时虽收敛但不 一定是唯一根
迭代法收敛就越快 由定理一可以看到 定义 1. 下一页返回上一页
定理二：对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续 ，并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是 P 阶收敛的。 证明：由于 。据定理一，立即可以断定迭 代过程 具有局部收敛性。再将 在根 处展开，利 用条件 (*) ，则有 注意到 ， 由上式得 返回下一页 上一页
因此对迭代误差有 : 。这表明迭代过程 确实为 P 阶收敛，证毕。 定理二告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当 时, 则该迭代过程只能是线性 收敛。对于牛顿迭代公式，其迭代函数为 由于, 假定 是 f(x) 的一个单根， 即 ， 则由上式知 。 于是依据定理二可以断定，牛顿法在根 的邻近是至少 以平方收敛的。 返回下一页上一页
定义 2 ：如果存在 的某个邻域 ，使迭代过程 对于任意初值 均收敛，则称迭代过程 在根 邻近具有局部收敛性。 定理三：设 为方程 的根， 在 的邻近连续。 且 ，则迭代过程在 邻近具有局部收敛性。 返回下一页上一页
证明：由连续函数的性质，存在 的某个邻域 ，使对于任意 成立 。此外对于任意 总有 。这是因为 依据定理一，可以断定，迭代过程 对于任意初 值 均收敛。证毕。 返回上一页