乌鲁木齐市高级中学 杨帆 2.2 用样本估计总体 ２.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 第一课时

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 问题提出 1. 随机抽样有哪几种基本的抽样方法？ 2. 随机抽样是收集数据的方法，如何通 过样本数据所包含的信息，估计总体的 基本特征，即用样本估计总体，是我们 需要进一步学习的内容. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 3. 高一某班有 50 名学生，在数学必修 ②结业考试后随机抽取 10 名，其考试成 绩如下： 82 ， 75 ， 61 ， 93 ， 62 ， 55 ， 70 ， 68 ， 85 ， 78. 如果要求我们根据上述抽样数据，估 计该班对数学模块②的总体学习水平， 就需要有相应的数学方法作为理论指导， 本节课我们将学习用样本的频率分布估 计总体分布.

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知识探究（一）：频率分布表 【问题】 我国是世界上严重缺水的国家 之一，城市缺水问题较为突出，某市政 府为了节约生活用水，计划在本市试行 居民生活用水定额管理，即确定一个居 民月用水量标准 a ，用水量不超过 a 的部 分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得 100 位居民 2007 年 的月均用水量如下表（单位： t ）：

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乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 1 ：上述 100 个数据中的最大值和最 小值分别是什么？由此说明样本数据的 变化范围是什么？ 思考 2 ：样本数据中的最大值和最小值 的差称为极差. 如果将上述 100 个数据 按组距为 0.5 进行分组，那么这些数据 共分为多少组？ 0.2 ～ 4.3 （ ） ÷0.5=8.2

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 3 ：以组距为 0.5 进行分组，上述 100 个数据共分为 9 组，各组数据的取值范围 可以如何设定？ 思考 4 ：如何统计上述 100 个数据在各组 中的频数？如何计算样本数据在各组中 的频率？你能将这些数据用表格反映出 来吗？ [0 ， 0.5 ）， [0.5 ， 1 ）， [1 ， 1.5 ）， … ， [4 ， 4.5].

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 分 组 频数累计 频数 频率 [0 ， 0.5 ） [0.5 ， 1 ） 正 [1 ， 1.5 ） 正 正 正 [1.5 ， 2 ） 正 正 正 正 [2 ， 2.5 ） 正 正 正 正 正 [2.5 ， 3 ） 正 正 [3 ， 3.5 ） 正 一 [3.5 ， 4 ） [4 ， 4.5] 合计

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 5 ：上表称为样本数据的频率分布表， 由此可以推测该市全体居民月均用水量 分布的大致情况，给市政府确定居民月 用水量标准提供参考依据，这里体现了 一种什么统计思想？ 用样本的频率分布估计总体分布.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 6 ：如果市政府希望 85% 左右的居民每 月的用水量不超过标准，根据上述频率分布 表，你对制定居民月用水量标准（即 a 的取 值）有何建议？ 88% 的居民月用水量在 3t 以下，可建议取 a=3. 思考 7 ：在实际中，取 a=3t 一定能保证 85% 以 上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导 致结论出现偏差？ 分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏 差，实践中，对统计结论是需要进行评价的.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 8 ：对样本数据进行分组，其组数 是由哪些因素确定的？ 思考 9 ：对样本数据进行分组，组距的确定没 有固定的标准，组数太多或太少，都会影响 我们了解数据的分布情况. 数据分组的组数与 样本容量有关，一般样本容量越大，所分组 数越多. 按统计原理，若样本的容量为 n ，分 组数一般在（ 1+3.3lgn ）附近选取. 当样本容 量不超过 100 时，按照数据的多少，常分成 5 ～ 12 组. 若以 0.1 或 1.5 为组距对上述 100 个样 本数据分组合适吗？

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 10 ：一般地，列出一组样本数据的频率 分布表可以分哪几个步骤进行？ 第一步，求极差. （极差 = 样本数据中最大值与最小值的差） 第二步，决定组距与组数. （设 k= 极差 ÷ 组距，若 k 为整数，则组数 =k ，否则，组数 =k+1 ） 第三步，确定分点，将数据分组. 第四步，统计频数，计算频率，制成表格. （频数 = 样本数据落在各小组内的个数， 频率 = 频数 ÷ 样本容量）

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 知识探究（二）：频率分布直方图 思考 1 ：为了直观反映样本数据在各组中 的分布情况，我们将上述频率分布表中 的有关信息用下面的图形表示： 月均用水量 /t 频率 组距 O

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 上图称为频率分布直方图，其中横轴表 示月均用水量，纵轴表示频率 / 组距. 频 率分布直方图中各小长方形的和高度在 数量上有何特点？ 月均用水量 /t 频率 组距 O 宽度：组距 高度： 频率 组距

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 2 ：频率分布直方图中各小长方形的 面积表示什么？各小长方形的面积之和 为多少？ 月均用水量 /t 频率 组距 O 各小长方形的面积 = 频率 各小长方形的面积之和 =1

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 3 ：频率分布直方图非常直观地表明 了样本数据的分布情况，使我们能够看 到频率分布表中看不太清楚的数据模式， 但原始数据不能在图中表示出来. 你能根 据上述频率分布直方图指出居民月均用 水量的一些数据特点吗？ 月均用水量 /t 频率 组距 O

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 （ 1 ）居民月均用水量的分布是 “ 山峰 ” 状的，而且 是 “ 单峰 ” 的； 月均用水量 /t 频率 组距 O （ 2 ）大部分居民的月均用水量集中在一个中间值 附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少； （ 3 ）居民月均用水量的分布有一定的对称性等.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 4 ：样本数据的频率分布直方图是 根据频率分布表画出来的，一般地，频 率分布直方图的作图步骤如何？ 第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点， 在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与 组距的商为高，分别画出各组对应的 小长方形.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 思考 5 ：对一组给定的样本数据，频率分 布直方图的外观形状与哪些因素有关？ 在居民月均用水量样本中，你能以 1 为组 距画频率分布直方图吗？ 与分组数（或组距）及坐标系的单位长 度有关. 月均用水量 /t 频率 组距 O

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 理论迁移 例 某地区为了了解知识分子的年龄结构， 随机抽样 50 名，其年龄分别如下： 42 ， 38 ， 29 ， 36 ， 41 ， 43 ， 54 ， 43 ， 34 ， 44 ， 40 ， 59 ， 39 ， 42 ， 44 ， 50 ， 37 ， 44 ， 45 ， 29 ， 48 ， 45 ， 53 ， 48 ， 37 ， 28 ， 46 ， 50 ， 37 ， 44 ， 42 ， 39 ， 51 ， 52 ， 62 ， 47 ， 59 ， 46 ， 45 ， 67 ， 53 ， 49 ， 65 ， 47 ， 54 ， 63 ， 57 ， 43 ， 46 ， 58. (1) 列出样本频率分布表； (2) 画出频率分布直方图； (3) 估计年龄在 32 ～ 52 岁的知识分子所占的比例 约是多少.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 (1) 极差为 67-28=39 ，取组距为 5 ，分为 8 组. 分 组 频数 频率 [27 ， 32 ） [32 ， 37 ） [37 ， 42 ） [42 ， 47 ） [47 ， 52 ） [52 ， 57 ） [57 ， 62 ） [62 ， 67 ） 合 计 样本频率分布表：

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 （ 2 ）样本频率分布直方图： 年龄 频率 组距 O （ 3 ）因为 =0.7 ， 故 年龄在 32 ～ 52 岁的知识分子约占 70%.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 小结作业 1. 频率分布是指一个样本数据在各个小范围 内所占比例的大小，总体分布是指总体取值 的频率分布规律. 我们通常用样本的频率分 布表或频率分布直方图去估计总体的分布. 2. 频率分布表和频率分布直方图，是对相同 数据的两种不同表达方式. 用紧凑的表格改变 数据的排列方式和构成形式，可展示数据的 分布情况. 通过作图既可以从数据中提取信息， 又可以利用图形传递信息.

乌鲁木齐市高级中学 杨帆 3. 样本数据的频率分布表和频率分布直方 图，是通过各小组数据在样本容量中所占 比例大小来表示数据的分布规律，它可以 让我们更清楚的看到整个样本数据的频率 分布情况，并由此估计总体的分布情况. 作业： P71 练习： 1. （ 1 ）. P81 习题 2.2A 组： 2.