美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福， 他于 1901 年就任，当时年仅 42 岁；就任时年纪最大 的是里根，他于 1981 年就任，当时 69 岁，下面按时 间顺序 ( 从 1789 年的华盛顿到 2009 年的奥巴马，共 44 任 ) 给出了历届美国总统就任时的年龄：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50, 48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42, 51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52, 69,64,46,54,48

问题 1 ：上述 44 个数据中最大值与最小值的差是多少？ 提示： 69 － 42 ＝ 27 问题 2 ：若将上述数据分成下列几组． [41.5,45.5) ， [45.5,49.5) ， [49.5,53.5)[53.5,57.5) ， [57.5,61.5)[61.5,65.5) ， [65.5,69.5) ．各组中数据个数是多少？ 提示：各组数据的个数为 2,7,8,16,5,4,2.

问题 3 ：在直角坐标系中，能否将各组统计的 数据直观地表示出来？ 提示：可以

1 ．用样本估计总体的两种情况 (1) 用样本的 估计总体分布． (2) 用样本的 估计总体数字特征． 2 ．绘制频率分布直方图的步骤 (1) 求极差：即一组数据中 的差． 频率分布 数字特征 最大值与最小值

5 ～ 12 k 左闭右开 闭

分组 频数累计频数频率 合计 样本容量 1 (4) 列频率分布表：一般分四列： 、 、 、 ，最后一行是 ，其中频数合计 应是 ，频率合计应是.

频率 / 组距 各小长方形的面积 1

3 ．频率分布折线图和总体密度曲线 (1) 频率分布折线图： 连接频率分布直方图中各小长方形 ，就得到 了频率分布折线图． 上端的中点

(2) 总体密度曲线： 随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增 加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越 接近于一条 ，统计中称之为总体密度曲线， 它反映了总体在各个范围内取值的百分比. 光滑曲线

甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩 ( 单位：分 ) 如下： 甲组： ； 乙组： ；

问题 1 ：从甲、乙两组得分情况能否得出甲、乙两 组哪组的成绩更整齐？ 提示：能．甲组的成绩更整齐 问题 2 ：上述两组数据能否用图形直观地分析？ 提示：能

茎叶图的制作步骤 1 ．将数据分为 和 两部分． 2 ．将最大茎和最小茎之间的数据按 ，写在中间位置． 3 ．将各个数据的 写在其茎右 ( 左 ) 侧． 大小次序 排成一列 茎叶 叶

1 ．频率分布直方图中，各小长方形面积之和为 1. 从频率分布直方图中，可清楚看到数据分布的形状． 2 ．总体密度曲线一般的分布规律是呈中间高，两边 低的山峰形态分布，总体的数据大致呈对称分布，并且 大部分数据都集中在靠近中间的区间内．它反映了总体 在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细 的信息．

3 ．茎叶图主要是针对数据不多的样本，它不但可以保 留原始数据，而且可以随时记录，但样本数据较多或数 据位数较多时，不方便使用．

[ 例 1] 调查某校高一年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据 ( 单位： cm) 如下：

(1) 作出频率分布表： (2) 画出频率分布直方图． [ 思路点拨 ] 找出此组数据的最大值和最小值，确 定分组的组距和组数，列出频数分布表，再由频率 分布表绘制频率分布直方图．

[ 精解详析 ] (1) 最低身高 151 cm ，最高身高 180 cm ， 它们的差是 180 － 151 ＝ 29 ，即极差为 29 ； 确定组距为 4 ，组数为 8 ，频率分布表如下：

分组频数频率 [150.5,154.5) [154.5,158.5) [158.5,162.5) [162.5,166.5) [166.5,170.5) [170.5,174.5) [174.5,178.5) [178.5,182.5) 合计

(2) 频率分布直方图如下．

2 ．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据 分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较 清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们 了解数据的分布情况，若样本容量不超过 100 ，按 照数据的多少常分为 5 ～ 12 组，一般样本容量越大， 所分组数越多．

1. 如图所示是一容量为 100 的样本的频 率分布直方图，则由图形中的数据， 样本落在 [15,20] 内的频数为 ( ) A ． 20 B ． 30 C ． 40 D ． 50

解析：样本落在 [15,20] 内的频率是 1 － 5(0.04 ＋ 0.1) ＝ 0.3 ，则样本落在 [15,20] 内的频数为 0.3×100 ＝ 30. 答案： B

2 ．一个容量为 20 的样本，分组后，组距与频数如下： [10,20] ， 2 ； (20,30] ， 3 ； (30,40] ， 4 ； (40,50] ， 5 ； (50,60] ， 4 ； (60,70] ， 2. 则样本在 [10,50] 上的频率 为 ________ ． 答案： 0.7

3 ．以下是某篮球运动员在 80 场比赛中的得分情况：

如果将这 80 个数据分为 8 组，能否作出这组数 据的频率分布表？若能，请作出频率分布直 方图和频率分布折线图．

解：由题意可知这 80 个数据中最小值为 4 ，最大 值为 41 ，其差为 37 ，即极差为 37. 故根据题意可取 区间 [3,42] ，将其分为 8 个区间，组距为 5. 这组数 据的频率分布表如下：

分组频数频率 [3,8) [8,13) [13,18) [18,23) [23,28) [28,33) [33,38) [38,43) 合计

频率分布直方图及频率分布折线图如图所示．

[ 例 2] 某良种培育基地正在培养一种小麦新品种 A ，将 其与原有一个优良品种 B 进行对照实验，两种小麦各种 植了 25 亩，所得亩产数数据 ( 单位：千克 ) 如下： 品种 A ： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405, 412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,4 45,451,454 品种 B ： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394, 395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,4 16,422,430

(1) 画出两组数据的茎叶图； (2) 用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3) 通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量用其稳定 性进行比较，写出统计结论． [ 思路点拨 ] 先根据茎叶图的绘制方法绘茎叶图再根 据茎叶图判断亩产量的稳定性．

[ 精解详析 ] (1) 茎叶图如图所示.

(2) 用茎叶图处理现有的数据不但可以看出数据的分布 情况，而且可以看出每组中的具体数据． (3) 通过观察茎叶图，可以发现品种 A 的平均亩产量约 为 千克，品种 B 的平均亩产量为 千克．由此 可知品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高，但 品种 A 的亩产量不够稳定，而品种 B 的亩产量比较集中 在平均亩产量附近．

[ 一点通 ] 绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地 说数据是两位数时，十位数字为 “ 茎 ” ，个位数字为 “ 叶 ” ； 如果是小数的，通常把整数部分作为 “ 茎 ” ，小数部分作 为 “ 叶 ” ，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．

4. 如图是 2002 年至 2011 年某省城镇居民 百户家庭人口数的茎叶图．图中左边 的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以 得到 2002 年至 2011 年该省城镇居民百户家庭人口数的 中位数为 ( )

A ． 304 B ． 303 C ． 302 D ． 306 答案： A

5 ．为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随 机选取了 14 天，统计上午 8 ∶ 00 ～ 10 ∶ 00 间各 自的点击量，得到如图所示的茎叶图，根据 茎叶图解答下列问题：

(1) 求甲网站点击量的中位数和乙网站点击量的极差； (2) 求甲网站点击量在 [10,40] 间的频数和频率； (3) 请你估计甲、乙两网站哪个更受欢迎？并说明理由．

(3) 观察茎叶图，得甲网站的点击量集中在茎叶图的 下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从 数据的分布情况来看，甲的平均数大于乙的平均数， 所以甲网站更受欢迎.

[ 例 3] 为了解某校高一年级学生的体能情况，抽取部分 学生进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频 率分布直方图 ( 如图 ) ，图中从左到右各小长方形的面积之 比为 2 ∶ 4 ∶ 17 ∶ 15 ∶ 9 ∶ 3 ，第二小组的频数为 12.

(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2) 若次数在 110 以上 ( 含 110) 为达标，则该校全体高 一年级学生的达标率是多少？ [ 思路点拨 ] (1) 利用频率值等于对应小长方形面积来 确定． (2) 满足条件的频率之和即为达标率．

[ 一点通 ] 1 ．频率分布直方图的性质： (1) 因为小矩形的面积＝组距 × 频率 / 组距＝频率，所以各 小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图 就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2) 在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于 1. (3) 频数 / 相应的频率＝样本容量．

2 ．频率分布直方图反映了样本在各个范围内 取值的可能性，由抽样的代表性利用样本 在某一范围内的频率，可近似地估计总体 在这一范围内的可能性．

6 ．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽 样检测后的产品净重 ( 单位：克 ) 数据绘制的频率分布 直方图，其中产品净重的范围是 [96,106] ，样本数据 分组为 [96,98) ， [98,100) ， [100,102) ， [102,104) ， [104,106] ．已知样本中产品净重小于 100 克的个数 是 36 ，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 ( )

A ． 90 B ． 75 C ． 60 D ． 45

答案： A

7. 已知 200 辆汽车通过某一段公 路时的时速的频率分布直方图 如图所示，时速在 [60,70) 的 汽车大约有 ________ 辆．

解析：由图可知，时速在 [60,70) 的汽车的频率为 0.04×10 ＝ 0.4 ， ∴时速在 [60,70) 的汽车大约有 200×0.4 ＝ 80 辆． 答案： 80

方法优点缺点 频率分 布表 在数量表示上 比较确切 不够直观形象，损失了样本 的一些信息，分析数据分布 的总体趋势变化不太方便 1. 几种表示样本分布方法的比较：

方法优点缺点 频率分 布直方 图 能够很容易地表示大量 数据，非常直观地表示 数据分布的形状，使我 们看到在频率分布表中 看不清楚的数据模式 从直方图本身不能得 出原始的数据内容， 把数据表示成直方图 后，原有的数据信息 被抹掉了

方法优点缺点 频率分布 折线图 能反映数据的变化趋势 原有的具体数据信 息被抹掉了 茎叶图 ①由所有样本数据构成，没 有原始信息的损失； ②便于记录和表示； ③能够展示数据的分布情况 只方便记录两组数 据；当样本数据较 多时，茎叶图就显 得不太方便了

3 ．用茎叶图可确定数据的中位数观察数据大 致集中在哪个茎，是否关于该茎对称，是否分 布均匀等．