1 §2.2 离 散 型 随 机 变 量 §2.1 随 机 变 量 的 概 念 §2.3 超几何分布 · 二项分布 · 泊松分布 1. “0-1” 分布 ( 两点分布 ) 3. 二项分布 4. Poisson 分布 2. 超几何分布 n →∞ ， N→∞ ， (x = 0, 1, 2, , n) (x =0,1,2, …,) 第二章 随 机 变 量 及 其 分 布

2 §2.5 随 机 变 量 的 分 布 函 数 §2.5 随 机 变 量 的 分 布 函 数 一. 定义 二. 分布函数 的性质： §2.6 连续型随机变量的概率密度 §2.6 连续型随机变量的概率密度 一. 概念 二、概率密度 的性质： (1) ： (2) ： (3) ： 右连续的阶梯曲线. (5) 对连续随机变量，是单调上升的连续曲线

3 §2.7 均匀分布 · 指数分布 §2.7 均匀分布 · 指数分布 一、均匀分布 二、指数分布 §2.8 随机变量函数的分布 §2.8 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 特别地，若 为单调函数，则

4 §2.9 二维随机变量的联合分布 §2.9 二维随机变量的联合分布 1. 二维离散随机变量的联合概率分布 2. 二维随机变量的联合分布函数 3. 二维连续随机变量的联合概率密度

5 §2.10 二维随机变量的边缘分布 §2.10 二维随机变量的边缘分布 一. 二维离散随机变量的边缘分布 二. 二维连续随机变量的边缘分布 §2.11 随机变量的独立性 §2.11 随机变量的独立性 一. 离散型随机变量的独立性 二. 连续随机变量的独立性

6 §2.12 二维随机变量函数的分布 §2.12 二维随机变量函数的分布 1. 和的分布 2. 平方和的分布 3. （独立的随机变量）最大值与最小值的分布 离散型 对于一切的 连续型 或 若 X 、 Y 独立

7 （二）课后习题略解 2 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品。安装机器时从中任取 1 个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以 前已取出的废品数的概率分布。 解 设在取得合格品以前已取出的废品数为 X ，则 X 的所有可 能取的值为：

8 3. 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 p ， 求射击次数的概率分布及其分布函数。 解 设随机变量 X 表示射击次数，则 X 服从几何分布。 ∴ X 的概率分布表如下： 显然，当时，当 其中， [x] 为 x 的整数部分。

9 4 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p (0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布. 解:解: 设随机变量 X 表示自动生产线 在两次调整之间生产的合格品数, 则 X 的所以可能取值 :0,1,2,…,n,….

个产品中有 4 个次品，抽取 6 个产品， 解 ⑴ 不放回抽样，设随机变量 X 表示样品中次品数， （ 1 ）不放回抽样，求样品中次品数的概率分布； （ 2 ）放回抽样，求样品中次品数的概率分布。 则 X 的所有可能取的值为： 43210X ⑵ 放回抽样，设随机变量 Y 表示样品中次品数， 则 X 的所有可能取的值为：

X 6 设随机变量 X 服从二项分布 ，当 x 为何值时，概率 取得最大值。 解 当 时， 当 当

12 ∴若 是整数， 则 为最大值； 最大。 若 不是整数，则取其整数部分 此时 解 7. 进行 8 次独立射击，设每次射击击中目标的概率为 0.3 ， ⑴ 击中几次的可能性最大？并求相应的概率； ⑵ 求至少击中 2 次的概率。 击中次数 X 服从 经计算，知

13 8 设随机变量 X 服从泊松分布 ，当 m 为何值时，概率 取得最大值。 解 当 时， 当 当 ∴若 是整数， 则当 或时，最大； 最大。 若 不是整数， 则当 时，

14 9. 解 一本书中每页印刷错误的个数 X 服从泊松分布 写出 X 的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1 个的概率。 X 的概率分布为： 查表求

在四位数学用表中，小数点后第四位数字是根据 “ 四舍五入 ” 原则得到的，由此而产生的随机误差 服从怎样的概率分布？ 解 所以 X 的概率密度为

16 解 ∵ n = 2000 较大, 且 p = 较小， ∴ X 近似地服从泊松分布 11: 电子计算机内装有 2000 个同样的电子元件, 每一电子元件 损坏的概率等于 , 若任意元件损坏时, 计算机就停止工作, 求计算机停止工作的概率. 设随机变量 X 表示损坏的电子元件数, 则 X 服从二项分布 B(2000,0.0005)

纺织工厂中一个女工照顾 800 个纱锭。每个纱锭旋转时, 由于 偶然原因，纱会扯断。设在某一段时间内每个纱锭上的纱被扯 断的概率为 ，求在这段时间内断纱次数不大于 10 的概率。 解设随机变量 X 表示在这段时间内断纱次数， ∴所求概率分布为： ∵总的纱锭个数 n = 800 较大, 且 p = 较小， ∴ X 近似地服从泊松分布

18 13 （帕斯克分布）设事件 A 在每次实验中发生的概率为 p ，进 行重复独立实验，直至事件 A 发生 r 次为止，求需要进行的 实验总次数的概率分布。当 r=1 时，是什么分布？ 解 设 X 表示需要进行的实验总次数， 表示前 m – 1 次实验中事件 A 发生了 r - 1 次，而第 m 次 实验中事件 A 发生， 时， X 显然服从几何分布.

19 (k = 0, 1, 2, , m) 14 解 (m = 0, 1, 2,  )

函数可否是连续随机变量 X 的分布函数，如果 解 且函数单调递增， 所以 可以是 X 的分布函数。 X 的可能值充满区间： （1）（1） （2）（2） ⑴ ⑵ 不是；

21 18 （柯西分布）设连续随机变量 X 的分布函数为 : 求（ 1 ）系数 A 及 B ；（ 2 ） X 落在区间 (-1,1) 内的概率； （ 3 ） X 的密度函数。 （1）（1） （2）（2） （3）（3） 解

随机变量 X 的概率密度为 （ 3 ）随机变量 X 的分布函数。 解 （1）（1） （2）（2） （ 1 ）系数 A ；（ 2 ）随机变量 X 落在区间 求： 内的概率；

23 解 21. 设随机变量 X 的概率密度为 求：（ 1 ）系数 A ；（ 2 ） X 落在区间 (0,1) 内的概率； （ 3 ） X 的分布函数。 （1）（1） （2）（2） （3）（3）

24 23 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 乘客到达车站的任意时刻是等可能的, 求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率. 解:解: 设随机变量 X 表示乘客到达车站后候车的时间, 则 :X 在 [0,5) 上服从均匀分布, 其概率密度 :

25 解 所以 X 的概率密度为： 原则得到的，由此而产生的随机误差 X 服从怎样的概率分布？ 24. 在四位数学用表中，小数点后第四位数字是根据 “ 四舍五入 ” 设随机变量 X 服从指数分布 ，证：对任意非负实数 指数分布的无记忆性 s及t，有:s及t，有: 25 和 26 指数分布的分布函数为 解 显然，有

26 解 27. 设随机变量 X 服从二项分布 B （ 3 ， 0.4 ），求下列随机变量 函数的概率分布：

27 28 设随机变量 X 的概率密度为 : 求下列随机变量函数的概率密度. 对任意实数 y, 随机变量 的分布函数为 : 1) 解 : (1) 因随机变量 X 的取值区间为 :[0,1], 所以 的取值区间为 :[0,2]. 当时 当 时

28 当 时 其它 0 解 : (2) 因随机变量 X 的取值区间为 :[0,1], 所以 的取值区间为 :[0,2]. 当 时

29 其它 0 当 时

30 因随机变量 X 的取值区间为 :[0,1], 所以 的取值区间为 :[0,1]. 当时 当 时 当 时 其它 2) 对任意实数 y, 随机变量 的分布函数为 :

31 3) 对任意实数 y, 随机变量 的分布函数为 : 因随机变量 X 的取值区间为 :[0,1], 所以 的取值区间为 :[0,1]. 当时 当 时 当 时 其它

设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量函数的概率密度。 解

33 30 解 X 的密度函数为

34 31 解

35 33 点随机地落在中心在原点、半径为 R 的圆周上，并且对弧长 是均匀分布，求这点的横坐标的概率密度. 解

36

37 34 解

38 36 一批 产品中有,a 件正品, b 件次品. 从中任意抽取 一件, 共取两次, 抽样方式 : (1) 放回抽样 ;(2) 不放回抽样. X = { 1 0 第一次取到的产品是次品, 第一次取到的产品是正品, { Y = 第二次取到的产品是正品, 第二次取到的产品是次品, 0 1 二位随机变量 (X,Y) 的所有可能取值为 : 解:解: ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1,0 ), ( 1,1 ) 设 X,Y 分别表示第一次及第二次取出的次品数, 求两种情况下二维随机变量 (X,Y) 的联合概率分布, 边缘分布, 并说明 X 与 Y 是否独立.

39 1) 放回式 : P(X=0, Y=0 )= P( X=0, Y=1 )= P( X=1, Y=0 )= P( X=1, Y=1 )= X Y

40 X 1 0 Y 1 0 X,Y 独立. 1) 不放回式 : P(X=0, Y=0 )= P( X=0, Y=1 )= P( X=1, Y=0 )= P( X=1, Y=1 )=

41 1 X Y X 1 0 Y 1 0 X,Y 不独立.

42 37 把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性 是相同的。设随机变量 X 及 Y 分别表示投入第一个及第二个盒 子球的个数，求 (X,Y) 的概率分布及边缘分布。 解 由此，

随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现的点 数, Y 表示两次出现的点数的最大值，求 ( X, Y ) 的概率分布及 Y 的 边缘分布。 Y X / /36 1/36 3/36 1/36 4/36 1/36 5/36 6/36 解 即

设二维随机变量（ X,Y ）在矩形域 上服从均匀分布，求（ X,Y ）的概率密度及边缘概率密度。 X 与 Y 是 否独立？ 解 （ X,Y ）的概率密度 X 边缘概率密度 Y 边缘概率密度 X 与 Y 是 相互独立

45 41 设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度 : 求 :1) 系数 A, 2) (X,Y) 的联合分布函数, 3) 边缘概率密度, 4) (X,Y) 落在区域 R: x> 0, y > 0,2x+3y< 6 内的概率. 解:解: 1) x y

46 2) x y 0 3) 当 时,时, 当 时,时,

47 x y 3 2 3) 0.

48 42 设随机变量 X 与 Y 独立， X 在 [0,2] 服从均匀分布, Y 服从指数分布 e(2), 求 :1) 二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度 ; 2)P(X≤Y). 解:解: 则其概率密度 : 因 X ~ U (0,2), Y ~ e(2), 又 X 与 Y 独立， 所以 (X,Y) 的联合概率密度 ; y x 2 2)P(X≤Y) = y = x

49 43 设随机变量 X 与 Y 独立，并且都服从二项分布： 试证明它们的和 Z = X + Y 也服从二项分布。 解 因随机变量 X 与 Y 独立， 随机变量 Z 的所有可能取值 :k = 0,1, 2, 3, …,

50 44 设随机变量 X,Y 相互独立, 其概率密度分别为 : 和 求随机变量 Z=X+Y 的概率密度 解 当 时， 当 当 0

51 45: 设随机变量 X 与 Y 独立，并且 X 在区间 上服从 求 : 随机变量 Z=X+Y 的概率密度。 均匀分布 : Y 在区间 上服从辛普森分布 : 解 z x o 当 时,

52 当 时, z x o

53 46: 在电子仪器中, 为某个电子元件配置一个备用电子元件, 设这两个电子元件的使用寿命 X 及 Y 分别服从指数分布 : 当原有的元件损坏时, 备用的即可接替使用. 求它们的使用寿命总和 X+Y 的概率密度. ( 考虑 两种情形 ) 解 设 :Z = X + Y, 由已知 : x

54 x 当 时, 0.

55 47: U

56 V

57 W 电子仪器由六个相互独立的部件 如图，设各个部件的使用寿命服从相同的指数分布 求仪器使用寿命的概率密度。 组成， L 11 L 13 L 21 L 12 L 22 L 23 解 各部件的使用寿命 的分布函数 先求三个并联组的寿命 的分布函数

58 再求仪器使用寿命 Z 的分布函数, Z 的分布函数 则:则: 的分布函数