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一、主要内容 导 数 导 数 基本公式 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 高阶导数 微 分微 分 微 分微 分 高阶微分
1 、导数的定义 单侧导数 左导数，右导数，可导的充要条件 2 、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常、反、对、幂、指、三、双曲 —— 18 个公式 3 、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则 —— 注意不要漏层 (4) 对数求导法 —— 注意适用范围 (5) 隐函数求导法则 —— 注意 y 的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则 —— 注意不要漏乘 4 、高阶导数 ( 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ) 方法：逐阶求导
5 、 微分的定义 微分的实质 6 、导数与微分的关系 7 、 微分的求法 基本初等函数的微分公式 8 、 微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性 —— 复合函数的微分法则
二、典型例题 例1例1 解 例2例2
解 例 3 求下列函数的导数 ①
②
③ 解
第二个方程两边对 t 求导得 ④
2001 个 例4例4 A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 非充分非必要
证一 则
证二
例5例5 设 确定了求 解 两边对 x 求导得
例6例6 解 分析 : 不能用公式求导.
例7例7 解
例8例8 设 在 x = a 处连续，讨论 ① ② ③ 在 x = a 处的可导性 解 ① 在 x = a 处可导 ②
在 x = a 处不可导 在 x = a 处可导
③ 例9例9 在什么条件下，函数 ① ② ③④
解 首先注意到 ① 是初等函数，连续 因此要使 ② 要使
存在 此时 ③ 要使
④ 存在 此时 注 通过本例，我们可以进一步加深对连续和可导 的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续， 再到二阶可导，所要求的条件逐步加强。
例 10 解一 联立解得 解二 联立方程组
两边对 x 求导 解得 例 11
证 在 中令 有 再由 得 注意到 存在
例 12 设 对所有的 x ，有 证明 证 两边同除以得
由 由夹逼定理得
例 13 证不妨设 观察下图 x y o y=f(x)y=f(x) a b
由 及函数极限的保号性质可知 使当
由于 f ( x ) 在 [ x 1, x 2 ] 上连续 故由零点定理知 使 例 14 选择常数 a, b, c ， 使函数 二次可微 证 依题设知
是一多项式，也是二次可微 因此要想使 F ( x ) 二次可微，只须使其在 x = x 0 处二次可微 F(x) 在 x 0 处连续 F(x) 在 x 0 处可导 F(x) 在 x 0 处二阶导数存在 由 F(x) 在 x 0 处连续
其次由 F(x) 在 x 0 处可导 此时 最后由 F(x) 在 x 0 处二次可导