习 题 课习 题 课. 一、主要内容 导 数 导 数 基本公式 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 高阶导数 微 分微 分 微 分微 分 高阶微分.

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扬州环境资源职业技术学院基础部 一、微分的定义 二、微分的几何意义 四、微分在近似计算中的应用 第五节 函数的微分 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则.
第三节 函数的微分及其应用 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的基本公式及其运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结、作业.
2.5 微分及其应用. 三、可微的条件 一、问题的提出 二、微分的定义 六、微分的形式不变性 四、微分的几何意义 五、微分的求法 八、小结 七、微分在近似计算中的应用.
1 第四章 数值积分与数值微分 — 多重积分 — 数值微分. 2 本讲内容 基本思想 计算方法 二重积分 问题描述 计算方法 数值微分.
第三章 微分中值定理与 导数的应用. 3.1 微分中值定理 3.3 洛必达法则 3.2 泰勒公式 3.4 函数的单调性 3.9 曲率 3.8 函数图形的描绘 3.5 函数的极值 3.7 曲线的凹凸性及拐点 3.6 函数的最值及其应用.
1.3 二项式定理. [ 题后感悟 ] 方法二较为简单,在展开二项式之前根据二项 式的结构特征进行适当变形,可使展开多项式的过程简化.记 准、记熟二项式 (a + b) n 的展开式,是解答好与二项式定理有关 问题的前提,对较复杂的二项式,有时可先化简再展开,会更 简便.
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习 题 课习 题 课

一、主要内容 导 数 导 数 基本公式 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 高阶导数 微 分微 分 微 分微 分 高阶微分

1 、导数的定义 单侧导数 左导数,右导数,可导的充要条件 2 、基本导数公式 (常数和基本初等函数的导数公式) 常、反、对、幂、指、三、双曲 —— 18 个公式 3 、求导法则

(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 (2) 反函数的求导法则 (3) 复合函数的求导法则 —— 注意不要漏层 (4) 对数求导法 —— 注意适用范围 (5) 隐函数求导法则 —— 注意 y 的函数的求导 (6) 参变量函数的求导法则 —— 注意不要漏乘 4 、高阶导数 ( 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ) 方法:逐阶求导

5 、 微分的定义 微分的实质 6 、导数与微分的关系 7 、 微分的求法 基本初等函数的微分公式 8 、 微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性 —— 复合函数的微分法则

二、典型例题 例1例1 解 例2例2

解 例 3 求下列函数的导数 ①

③ 解

第二个方程两边对 t 求导得 ④

2001 个 例4例4 A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 非充分非必要

证一 则

证二

例5例5 设 确定了求 解 两边对 x 求导得

例6例6 解 分析 : 不能用公式求导.

例7例7 解

例8例8 设 在 x = a 处连续,讨论 ① ② ③ 在 x = a 处的可导性 解 ① 在 x = a 处可导 ②

在 x = a 处不可导 在 x = a 处可导

③ 例9例9 在什么条件下,函数 ① ② ③④

解 首先注意到 ① 是初等函数,连续 因此要使 ② 要使

存在 此时 ③ 要使

④ 存在 此时 注 通过本例,我们可以进一步加深对连续和可导 的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续, 再到二阶可导,所要求的条件逐步加强。

例 10 解一 联立解得 解二 联立方程组

两边对 x 求导 解得 例 11

证 在 中令 有 再由 得 注意到 存在

例 12 设 对所有的 x ,有 证明 证 两边同除以得

由 由夹逼定理得

例 13 证不妨设 观察下图 x y o y=f(x)y=f(x) a b

由 及函数极限的保号性质可知 使当

由于 f ( x ) 在 [ x 1, x 2 ] 上连续 故由零点定理知 使 例 14 选择常数 a, b, c , 使函数 二次可微 证 依题设知

是一多项式,也是二次可微 因此要想使 F ( x ) 二次可微,只须使其在 x = x 0 处二次可微 F(x) 在 x 0 处连续 F(x) 在 x 0 处可导 F(x) 在 x 0 处二阶导数存在 由 F(x) 在 x 0 处连续

其次由 F(x) 在 x 0 处可导 此时 最后由 F(x) 在 x 0 处二次可导