第五节 函数的微分 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义
实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 则
再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否所有 函数的增量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?
的相应于增量 △ x 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△ x 的常数 ) 则称函数 而 称为 记作 即 在点 可微, 说明 : 定义 : 若函数
函数 记 在点 可微 说明 :
已知 在点 可微, 即 故 在点 的可导, 且 定理 : 函数 即 可导可微 在可微的充要条件是 证 : “ 必要性 : ”. 可微 可导
已知 即 在点 的可导, 则 “ 充分性 : 可导 可微 ”.
解:解: ∵ ∴ 在 x = 3 处的微分为 例 2. 解:解: 例1例1
所以
M N T ） 如图, P Q 二、微分的几何意义
微分的求法 : 1. 基本初等函数的微分公式 ( 对照表 ) 先计算函数的导数再乘以自变量的微分. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
2. 函数和、差、积、商的微分法则
3. 复合函数的微分法则
结论 : 微分形式的不变性 4. 微分形式不变性
例 3. 解:解:
例 4. 解法 1: 利用先求导数再求微分的方法 解法 2: 利用微分形式不变性.
例 5. 解:解:
例 6. 解:解: 根据积的微分法则
例 7. 解:解: 根据商的微分法则
方程两边求微分, 得 已知 求 解：利用微分形式不变性, 例8例8
例 9. 解:解: 在所给方程两端分别求微分 整理得
例 10. 解:解: 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.
所以 很小时, 有近似公式故当 1. 函数的近似计算 四、微分在近似计算中的应用
从几何上解释即用切线近似取代曲线 ( 邻近 ). 则
已知球体体积为 镀铜体积为 例 11. 有一批半径为 1cm 的球, 为了提高球面的光洁 度, 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm, 估计一下, 每只球 需用铜多少克. 解:解: 因此每只球需用铜约为 (g). 镀铜体积 = 球体积增量
例 12. 解:解:
2. 工程上常用的近似公式
例 13. 解:解:
*3. 微分在估计误差中的应用 某量的精确值为 A, 其近似值为 a, 称为 a 的绝对误差 称为 a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 则
作 业 P123 1 ; 3 (4), (7), (8), (9), (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; *12