歐亞書局 微積分 精華版 [ 第九版 ] 微分量與邊際分析 4.8

歐亞書局 4.8 微分量與邊際分析 學習目標  求函數的微分量。  以微分量來估算函數的變化量。  以微分量來估算在現實生活模型的變化量。 P.4-62 第四章 導數的應用

歐亞書局  在 3.1 節中導數的定義為 Δy/Δx 比值的極限，此 極限自然地保留比值的形式，所以 y 對 x 的導 數可記為 此處不要將 dy/dx 看成兩個不同變化量 dy 與 dx 的比值。本節將賦予 dy 和 dx 特殊意義，使得在 dx ≠ 0 時，其比值等於 y 對 x 的導數。 微分量 P.4-62 第四章 導數的應用

歐亞書局  在本節的 dx 為任意非零的實數，可是在實例應 用中，令 dx 為很接近零的值，並以 dx ＝ Δx 來 表示。 微分量 P.4-62 第四章 導數的應用

歐亞書局 微分量  微分量可用於估算相對於 x 改變時 f(x) 的變化量， 如圖 4.63 所示。這個變化量可記作  由圖 4.63 可知，當 Δx 越來越小時， dy 和 Δy 的 值則越來越接近；也就是當 Δx 夠小， dy ≈ Δy 。 這種切線估算法 (tangent line approximation) 為微 分量實例應用的根據。 P.4-62 第四章 導數的應用

歐亞書局 微分量 P.4-62 圖 4.63 第四章 導數的應用

歐亞書局 微分量  請注意在圖 4.63 中的切點附近， f 的圖形非常接 近切線，這也是本節估算法的精髓；也就是， 在切點附近 dy  Δy 。 P.4-62 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 1 比較 Δy 和 dy 值  考慮函數 f(x) ＝ x 2 求在 x ＝ 1 和 dx ＝ 0.01 時的微分量 dy ，將該值 與 x ＝ 1 和 Δx ＝ 0.01 時的 Δy 變化量比較，再 以圖形來解釋結果。 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 1 比較 Δy 和 dy 值（解）  首先計算 f 的導數 f (x) ＝ 2x f 的導數  當 x ＝ 1 和 dx ＝ 0.01 時的微分量 dy 為 dy = f (x)dxy 的微分量 = f (1)(0.01) 將 x ＝ 1 ， dx ＝ 0.01 代入 = 2(1)(0.01) 利用 f (x) ＝ 2x = 0.02 化簡 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 1 比較 Δy 和 dy 值（解）  當 x ＝ 1 和 Δx ＝ 0.01 時的 Δy 變化量為 Δy = f (x +Δx) － f (x) y 的變化量 = f (1.01) － f (1) 將 x ＝ 1 ， Δx ＝ 0.01 代入 = (1.01) 2 － (1) 2 = － 1 = 化簡 請注意 dy  Δy ，如圖 4.64 所示。 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 1 比較 Δy 和 dy 值（解） P.4-63 圖 4.64 第四章 導數的應用

歐亞書局 檢查站 1  求 f (x) ＝ x 4 在 x ＝ 2 和 dx ＝ 0.01 時的微分量 dy ，並與在 x ＝ 2 和 Δx ＝ 0.01 時的 Δy 變化量 做比較。 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局 微分量  在範例 1 ， f(x) ＝ x 2 的圖形在 x ＝ 1 的切線為 y ＝ 2x － 1 或 g(x) ＝ 2x － 1 f 圖形在 x ＝ 1 的切線 對於接近 1 的 x 值，此切線是很接近 f 的圖形， 如圖 4.64 所示。譬如 f(1.01) ＝ ＝ 和 g(1.01) ＝ 2(1.01) － 1 ＝ 1.02 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局  切線估算法 dy  Δy, dx  0 的正確性源自於導數的定義；也就是極限 的存在，當 Δx 越來越接近零，則 f (x) 越來越 接近兩變化量的比值。 微分量 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局  所以 將 Δx 代入 dx 和 f (x)dx 代入 dy 可得 Δy  dy 。 微分量 P.4-63 第四章 導數的應用

歐亞書局  微分量在經濟學上用於估算收入、成本和利潤的 變化量。假設 R ＝ f(x) 為銷售 x 單位產品的總收 入，銷售量每增加 1 單位， x 的變化量為 Δx ＝ 1 ， 則 R 的變化量為 也就是，微分量 dR 可用來估算公司銷售量每增 加 1 單位所產生的收入變化量；同理，微分量 dC 與 dP 可用來估算公司銷售量每增加 1 單位所產 生的成本和利潤的變化量。 邊際分析 P.4-64 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 2 使用邊際分析  某產品的需求函數可表示為 p ＝ 400 － x, 0 ≤ x ≤ 400 其中 p 為單價 ( 美元 ) ， x 為數量。利用微分量來 估算銷售量從 149 增加至 150 單位時所帶來的 收入變化量，並與實際的收入變化量做比較。 P.4-64 第四章 導數的應用

歐亞書局  首先求邊際收入。因為需求為 p ＝ 400 － x ，則 收入為 R = xp 收入的公式 = x(400 － x) 以 p ＝ 400 － x 代入 = 400x － x 2 相乘 接著計算邊際收入 dR/dx 乘冪法 範例 2 使用邊際分析 （解） P.4-64 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 2 使用邊際分析 （解）  當 x ＝ 149 和 dx ＝ Δx ＝ 1 時可估算收入的變化 量為 P.4-64 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 2 使用邊際分析 （解）  當 x ＝ 149 增加至 150 且 R ＝ f(x) ＝ 400 － x 2 時， 實際收入的變化量為 ΔR = f(x ＋ Δx) － f(x) = [400(150) － ] － [400(149) － (149) 2 ] = 37,500 － 37,399 = $101 P.4-64 第四章 導數的應用

歐亞書局 檢查站 2  某產品的需求函數可表示為 p ＝ 200 － x, 0 ≤ x ≤ 200 其中 p 為單價 ( 美元 ) ， x 為數量。利用微分量來 估算銷售量從 89 增加至 90 單位時所帶來的收 入變化量，並與實際的收入變化量做比較。 P.4-64 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 3 使用邊際分析  某產品銷售 x 單位時的利潤函數為 P ＝ x 3 ＋ 10x 利用微分量 dP 來估算產量 從 50 增加至 51 單 位所帶來的利潤變化量，並與實際獲利做比較。 P.4-65 第四章 導數的應用

歐亞書局  邊際利潤為  當 x ＝ 50 和 dx ＝ Δx ＝ 1 時的微分量為 範例 3 使用邊際分析（解） P.4-65 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 3 使用邊際分析（解）  當 x 從 50 改變至 51 單位，且 p ＝ f(x) ＝ x 3 ＋ 10x 時，實際利潤的變化量為 ΔP = f(x ＋ Δx) － f(x) = [(0.0002)(51) (51)] － [(0.0002)(50) 3 +10(50)]  － = $11.53 P.4-65 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 3 使用邊際分析（解）  圖 4.65 以圖形表示這幾個 值。 P.4-65 圖 4.65 第四章 導數的應用

歐亞書局 檢查站 3  依範例 3 的利潤函數，以微分量 dP 來估算當產 量從 40 增加至 41 單位所帶來的利潤變化量， 並與實際獲利做比較。 P.4-65 第四章 導數的應用

歐亞書局 微分量的公式  利用微分量的定義可改寫微分法則成微分型 (differential form) 。 P.4-66 第四章 導數的應用

歐亞書局 微分量的公式  下例將比較幾個簡單函數的導數與微分量。 P.4-66 第四章 導數的應用

歐亞書局 範例 4 求微分量 P.4-66 第四章 導數的應用

歐亞書局 檢查站 4  求下列各函數的微分量 dy 。 a. y = 4x 3 c. y = 3x 2 － 2x P.4-66 第四章 導數的應用

歐亞書局 總結 (4.8 節 ) 1. 寫出微分量的定義，參考範例 1 。 2. 解釋邊際分析的意義，參考範例 2 和 3 。 3. 微分法則的微分型，參考範例 4 。 P.4-66 第四章 導數的應用