複數誕生的故事 中四教學版

先從二次方程談起 … 解方程 ax 2 + bx + c = 0 ；其中 a  0 。 公式： 例一 解 5x 2  9x  18 = 0 注意： a = 5 、 b =  9 、 c =  18  x x = 3 或

先從二次方程談起 … 解方程 ax 2 + bx + c = 0 ；其中 a  0 。 公式： 例二 解 x 2 + 4x + 10 = 0 注意： a = 1 、 b = 4 、 c = 10  x x （無解）

先從二次方程談起 … 解方程 ax 2 + bx + c = 0 ；其中 a  0 。 公式： 此公式早於公元前四百年，已被巴比倫 人發現和使用。 在中國的古籍《九章算術》中，亦有提 及與二次方程有關的問題。

由二次方程到三次方程 由於實際應用上的需要，亦由於人類求 知慾的驅使，很自然地，人類就開始尋 找三次方程的解法。 即尋找方程 ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 一般根 式解。 很可惜，經過了差不多二千年的時間， 依然沒有很大的進展！

怪傑 卡丹諾 (Girolamo Cardano; 1501  1576) 一個多才多藝的學者 一個放蕩不羈的無賴 他精通數學、醫學、語 言學、天文學、占星學 一生充滿傳奇，人們稱 為他「怪傑」。

怪傑 1545 年，卡丹諾在 他的著作《大術》 （ Ars Magna ）中， 介紹了解三次方程 的方法。 從此，解三次方程 的方法，就被稱為 「卡丹諾公式」。

卡丹諾公式 解方程 x 3 = mx + n 。 公式： x = + 例一 解 x 3 + 6x = 20 注意： m =  6 、 n = 20  x = = 2

卡丹諾公式 解方程 x 3 = mx + n 。 公式： x = + 例二 解 x 3 = 15x + 4 注意： m = 15 、 n = 4  x = （無解） 但非常明顯， x = 4 是方程的一個解！ 為甚麼？

另闢蹊徑 韋達（ François Viète; 1540  1603 ） 法國人，律師兼業餘數 學家。 在三角學、代數學、方 程理論及幾何學都有傑 出貢獻。 1591 年，利用恆等式 cos3A = 4cos 3 A  3cosA ， 解三次方程。

虛數 笛卡兒（ René Descartes; 1596  1650 ） 法國著名的哲學家 坐標幾何的創始人 1637 年，他稱一個負 數的開方為「虛數」 (imaginary number) 。 但他不承認虛數是數 字的一種。

一大突破 棣美弗（ Abraham de Moivre; 1667  1754 ） 法國數學家，早期概 率理論著作者之一 最著名的成就，是發 現「棣美弗定理」， 把三角函數引入複數 運算之中。

複變函數的引入 歐拉（ Leonhard Euler, 1707  1783 ） 瑞士數學家。 13 歲入大學， 17 歲取 得碩士學位， 30 歲右眼 失明， 60 歲完全失明。 著作非常多，深入每個 數學分支，對後世影響 深遠。

複變函數的引入 1748 年，歐拉發現了複指數函數和三角 函數的關係，並寫出以下公式： e ix = cos x + i sin x 1777 年，在他的著作《微分公式》中， 首次使用 i 來表示  。 他創立了複變函數論，並把它們應用到 水力學、地圖製圖學上。

幾何解釋 1797 年，挪威數學家維塞爾（ Caspar Wessel; 1745  1818 ）提出複數的幾何解釋。 實軸 虛軸 O a + bi  r = r (cos  + i sin  ) 1806 年，法國數學家 阿根（ Jean Robert Argand; 1768  1822 ） 亦提出類似的解釋。 自此，人們亦稱複數 平面為「阿根圖」。

代數基本定理 高斯（ Carl Friedrich Gauss; 1777  1855 ） 德國數學家，人稱 「數學王子」。 18 歲時，運用一些複 數運算原理，以尺規 畫出正十七邊形。 20 歲取得博士學位， 並成功地證明了「代 數基本定理」。

複數名稱的確立 複數 z 是一種可以表示為 a + bi 形式的數， 其中 a 和 b 都是實數， i =  。 我們稱 a 為複數 z 的「實部」， 記為 Re(z) 。 又稱 b 為複數 z 的「虛部」，記為 Im(z) 。 若 a = Re(z) = 0 ，則稱 z 為 「純虛數」。 若 b = Im(z) = 0 ，則稱 z 為 「純實數」。

複數名稱的確立 注意： i 1 = i, i 2 =  1, i 3 =  i, i 4 = 1 i 4n + 1 = i, i 4n + 2 =  1, i 4n + 3 =  i, i 4n + 4 = 1 定義

先從二次方程談起 … 解方程 ax 2 + bx + c = 0 ；其中 a  0 。 公式： 例二 解 x 2 + 4x + 10 = 0 注意： a = 1 、 b = 4 、 c = 10  x x （無解）

回到二次方程結束 … 解方程 ax 2 + bx + c = 0 ；其中 a  0 。 公式： 例二 解 x 2 + 4x + 10 = 0 注意： a = 1 、 b = 4 、 c = 10  x x

完