第二章 导数与微分
微积分学的创始人 : 德国数学家 Leibniz 微分学 导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 ( 从微观上研究函数 ) 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 第一节 导数的概念
一、 引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动
2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T ( 当 时 ) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率
两个问题的共性 : 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. 类似问题还有 : 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限
二、导数的定义 定义 1. 设函数 在点 存在, 并称此极限为 记作 : 即 则称函数 若 的某邻域内有定义, 在点 处可导, 在点 的导数.
运动质点的位置函数 在 时刻的瞬时速度 曲线 在 M 点处的切线斜率
若上述极限不存在, 在点 不可导. 若 也称 在 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作 : 注意 : 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大.
例 1. 求函数 (C 为常数 ) 的导数. 解:解: 即 例 2. 求函数 解:解:
说明： 对一般幂函数 ( 为常数 ) 例如， （以后将证明）
例 3. 求函数 的导数. 解:解: 则 即 类似可证得
例 4. 求函数 的导数. 解:解: 即 或
原式 是否可按下述方法作 : 例 5. 证明函数 在 x = 0 不可导. 证:证: 不存在, 例 6. 设存在, 求极限 解 : 原式
三、 导数的几何意义 曲线 在点的切线斜率为 若曲线过上升 ; 若曲线过下降 ; 若切线与 x 轴平行, 称为驻点 ; 若 切线与 x 轴垂直. 曲线在点处的 切线方程 : 法线方程 :
例 7. 问曲线 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解:解: 令得对应 则在点 (1,1), (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0, 0) 有垂直切线
四、 函数的可导性与连续性的关系 定理 1. 证:证: 设 在点 x 处可导, 存在, 因此必有 其中 故 所以函数在点 x 连续. 注意 : 函数在点 x 连续未必可导. 反例 : 在 x = 0 处连续, 但不可导. 即
在点 的某个右 邻域内 五、 单侧导数 若极限 则称此极限值为 在 处的右 导数, 记作 即 (左)(左) (左)(左) 例如, 在 x = 0 处有 定义 2. 设函数 有定义, 存在,
定理 2. 函数 在点 且 存在 简写为 在点 处右 导数存在 定理 3. 函数 在点 必 右 连续. (左)(左) (左)(左) 若函数 与 都存在, 则称 显然 : 在闭区间 [a, b] 上可导 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 可导的充分必要条件 是 且
内容小结 1. 导数的实质 : 3. 导数的几何意义 : 4. 可导必连续, 但连续不一定可导 ; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义 ; 看左右导数是否存在且相等. 2. 增量比的极限 ; 切线的斜率 ;
思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数 区别 : 是函数, 是数值 ; 联系 : 注意 : 有什么区别与联系 ? ？ 与导函数
2. 设 存在, 则 3. 已知 则
4. 设, 问 a 取何值时, 在 都存在, 并求出 解:解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续.
P85 6, 7 (4)(7), 9, 11, 13, 14(2), 15
牛顿 (1642 – 1727) 伟大的英国数学家, 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 年他提出正 流数 ( 微分 ) 术, 次年又提出反流数 ( 积分 ) 术, 并于 1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736 年出版 ). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.
莱布尼兹 (1646 – 1716) 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人, 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿. 他还设计了作乘法的计算机, 系统地阐述二进制计 数法, 并把它与中国的八卦联系起来.
备用题 解 : 因为 1. 设存在, 且 求 所以
在 处连续, 且 存在， 证明 : 在 处可导. 证：因为存在， 则有 又 在 处连续, 所以 即 在处可导. 2. 设 故