1 第六章 单变量微分学 郇中丹 学年第一学期

2 基本内容 §0 微积分的创立 §1 导数和微分的定义 §2 求导规则 §3 区间上的可导函数 ( 中值定理 ) §4 不定式 §5 Taylor 公式 §6 用导数研究函数 §7 割线法和切线法 (Newton 方法 )

3 §0 微积分的创立 Isaac Newton ( ) Gotfried Wilhelm Leibniz( )

4 Isaac Newton ( ) ( 顺治 18 年 ) 入剑桥三一学院 ( 半公费 ( 做仆 人挣钱缴交学费的 ) 学生 ), 数学指导教师 Isaac Barrow ( ),1664.1( 康熙 3 年 ) 获学士学位 英国流行黑死病 ( 鼠疫 ), 牛 顿回家乡呆了 18 个月, 其间发明了流数 (Fluxion) 法 ( 变量为流, 变化率为流数 ) 、发现了万有引力 定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成 年 11 月发明 “ 正流数法 ”( 微分法 ) ， 1666 年 5 月发明 “ 反流数法 ”( 积分法 ) ， 1666 年 10 月总结文 稿 “ 流数简论 ” ，建立了微积分基本定理。

5 Isaac Newton (II) 1669 接替 Barrow 的教授职位 ; 1687( 康熙 26 年 ) 出 版 Mathematical Principles of Natural Philosophy. Newton 有关流数的著作到他身后才发表 (1736).

6 Gotfried Wilhelm Leibniz( ) 1661 入 Leipzig 大学学法律,1663 获学士,1666 具 备获法学博士的资格 ( 出于嫉妒, 该校教师拒绝 授予 ), 被另一所大学授予博士和请其为教授 ( 他 拒绝了后者 ). 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车 中四处奔波, 使得他具有在任何时间、任何地点 和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写 着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书 馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅 比一般人的都小。

7 Leibniz (II) 1666 其称作 “ 中学生随笔 ” 的《组合艺术》中立 志要创造出 “ 一般方法和普适语言，其中所有推 理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只 会有计算错误 ” ，为此他创立了符号逻辑但未能 完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。 由于其才能而被种种琐事困扰。 请求 Huygens 教授了他现代数学 ; 在英 国了解到了无穷级数方法。 1675 年发现了微积分基本定理， 1677 年 7 月 11 日将其发表，其方法主要经过 James 和 John Bernoulli 兄弟的发展而成为一种强有力而又容 易运用的工具。

8 Leibniz (III) Leibniz 建立微积分的基本记号和术语, 包括微积 分 (Calculus, 原意是鹅卵石, 用于计数 ), 微分 ( 原 意是差的, Differential), 微分, 求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则 年引入函数的术语。 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判 断。

9 §1. 导数和微分的定义 微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释

10 微分和导数概念的意义 (I) 微分的概念源自试图刻划在一个 “ 小 ” 时间间隔 或空间上的变化量。 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位 置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速 度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等 等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的 范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间 到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。 由近似到线性映射。

11 微分和导数概念的意义 (II) 导数的物理背景 : 随时间或空间的变化率 (rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓 度或强度等等。 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、 曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函 数和由函数图像确定图像切线。 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。

12 函数增量与微分和导数 设  在 a 的一个邻域上有定义. 增量定义 : 称  x=x  a 为自变量 x 在 a 处的增量,  (x)=  (x)  (a) 为  在 a 处的增量. 微分定义 : 若  c  R 使得  (x)~c  x (  x  0), 就称 线性函数 g(  x)=c  x 为  (x)( 也叫  在 a 处 ) 的微分, 记做 d  (x) 或 d .  x 也记做 dx. 此时称  在 a 处可微. 导数定义 : 若  c  R 使得  (x)/  x  c (  x  0), 称 c 为  在 a 处的导数, 记做 c=  (a) 或 d  /dx(a)=D  (a). 小结 : 若  在 a 处可微,  (x)=d  (x)+  (  x)  x (  (  )=0), d  (x)  (a)dx. d  (x) 也叫做函数增量  (x) 的线性部分.

13 连续与导数和导数的解释 可微与连续 : 若  在 a 处可微, 则  在 a 处连续. 左导数和右导数 : 右导数  (a + ), 左导数  (a - ). 导数与左右导数 :  在 a 处有导数当且仅当  在 a 处左右导数存在且相等. 切线定义 : 曲线 y=  (x) 在 (a,  (a)) 的切线定义为直 线 : y=  (a)+  (a)(x-a). 导数  (a) 的几何解释 : 曲线 y=  (x) 在 (a,  (a)) 的切 线的斜率. 导数  (a) 的物理解释 : 若  (x) 为物体在时间间隔 [t 0,a] 内运动的路程,  (a) 为在时刻 a 的瞬时速度.

14 习题十八 (I) 1. 用定义计算下列函数在 x=0 点的导数 : (1)  (0)=0, 若 x  0,  (x)=x^2 sin 1/x; (2)  (0)=0, 若 x  0,  (x)=exp(-1/x^2); (3) Dirichlet 函数 D(x); (4) x  D(x); (5) x^2  D(x). 2. 证明 : 若  (0) 存在, 则 n(  (1/n)-  (0))  (0) (n  ). 反过来成立吗？ 3. 设  (0)=0 且  (0) 存在. 计算数列 : x n =  (1/n^2)+  (2/n^2)+…+  (n/n^2) 的极限. 计算数列极限 : –(1) x n =sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2); –(2) y n =(1+1/n^2)  (1+2/n^2)  …  (1+n/n^2).

15 习题十八 (II) 4. 设函数  在 x=0 的一个邻域上有定义并且满足 :  x  I,  (x)  (0). 证明 : 如果  (0) 存在, 则  (0)=0. 5. 证明：函数  在 x=0 点可微的充分必要条件是  (x)=  (0)+g(x)x, 其中 g 在 x=0 点连续. 6. 求下列曲线在给定点的切线方程 : (1) y=x^2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x, P(1,1); (3) y=e^x+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P  6,1/2).   若             

16 §2 求导规则 复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数 双曲函数求导公式 高阶导数和高阶微分

17 复合函数求导的链式法则 定理 : 设  在 a 点可微,g 在  (a) 点可微, 则 h=g   在 a 点可微, 并且 h(a)= g(  (a))  (a). 证明 : 记  =  (a),  = g(  (a)). 则 –(1)  (x)=  x +    x)   x (    )=0), –(2)  g(y)=  y +    y)   y (    )=0). 因此,  h(x)=  (x)+    (x))  (x)=  x +    x)  x +    x+    x)  x)  (  x+    x)   x)=  x +  (  x)  x, 其中  (  x)=    x)+    x+    x)  x)  (  +    x)) 满足  (  )=0. 所以, h(a)=  = g(  (a))  (a). #

18 反函数求导公式 定理 : 设  C(I), g 是  在  (I) 上的反函数, 这里 I 是 区间. 若  在 a 点可微且  (a)  0, 则 g 在 b=  (a) 可微, 并且 g(b)=1/  (a)=1/  (g(b)). 证明 : 由  在  (I) 上有反函数,  在 I 上严格单调, 因 此, g  C(  (I)). 只要证明 g(b) 存在就够了. 而这由 (g(y)-g(b))/(y-b)= (g(y)-g(b))/(  (g(y))-  (g(b))) 和 复合函数的极限性质就得到结论.#

19 一阶微分形式的不变性 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法 : 设  的微分是 d  (x). 若 x=g(t) 有微分 dx=dg(t), 则 d  ((g(t))=  (g(t))  dg(t)=  (x)  dx=d  (x). 这看似空洞的公式, 许多时候有意想不到作用, 同类的公式在高阶导数时不再成立.

20 求导运算的算术性质 设  何 g 在 a 点可微, c  R. 则  +g, c ,  g 在 a 点可 微, 若 g(a)  0,  /g 在 a 点也可微. 并且 –(  +g)(a)=  (a)+g(a); –(c  )(a)= c  (a); –(  g)(a)=  (a)  g(a)+  (a)  g(a); –(  /g)(a)= (  (a)  g(a)  (a)  g(a))/g(a)^2. 证明 : 极限性质和导数定义的应用.#

21 初等函数求导公式 基本初等函数求导公式 : –(c)=0; –(x)=1; 由归纳法： (x^n)=nx^{n-1}; –(exp x)=exp x; 由链式法则,(a^x)= a^x ln a; 反函数求 导规则 :(ln x)=1/x;(log a x)=(ln a)/x;(x^  )=  x^{  -1}; 以及 (u^v)=u^v (vln u +vu/u). –(sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到 : (cos x)= -sin x; (tan x)=sec^2 x; (cot x)=-csc^2 x; (sec x)=tan x  sec x; (csc x)=-cot x  csc x. 由反函数求导规则 : (arcsin x)=1/sqrt{1- x^2}; (arccos x)=-1/sqrt{1- x^2}; (arctan x)=1/(1+x^2);(arccot x)=-1/(1+x^2);(arcsec x) =1/(|x|sqrt{x^2-1}); (arccsc x)=-1/(|x|sqrt{x^2-1}).

22 双曲函数 双曲函数定义 : sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x, sech x, csch x. 反双曲函数 : –arsh x=ln(x+sqrt(1+x^2)); –arch x =  ln(x+sqrt(x^2-1)); –arth x=1/2 ln((1+x)/1-x)); –arcth x=1/2 ln((1-x)/1+x)); –arsec x=  ln((1+sqrt(1-x^2))/x), 0<x<1; –arcsch x= ln((1+sqrt(1+x^2))/|x|).

23 双曲函数求导公式 双曲函数求导公式 : –(sh x)=ch x; (ch x)= sh x; –(th x)=sech^2 x; (cth x)=-csch^2 x; –(sec x)=-th x  sech x; (csch x)=-cth x  csch x. 反双曲函数求导公式 : –(arsh x)=1/sqrt{1+x^2}; –(arch x)=1/sqrt{x^2-1}; –(arth x)=1/(1  x^2); –(arcth x)=1/(1-x^2); –(arsech x) =-1/(x  sqrt{1-x^2}) (0<x<1); –(arcsch x)= -1/(|x|sqrt{x^2+1}).

24 习题十九 (I) 1. 计算下列函数的导数： –(1) y=3x+7sqrt(x)+7/x^3; (2) y=1/(1+x+x^2); –(3) y=(2-sqrt(x)+3x-5x^2)/x^2; (4) y=(1-x^2)/(1+x^2); –(5) y=x^(1/3)+x^(-1/3); (6) y=(1-x)(2-x)(3-x); –(7) y=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); (8) y=x/((x-1)(x-2)); –(9) y=1/(1+sqrt(x))-1/(1-sqrt(x)); (10) y=(ax+b)/(cx+d); –(11) y=(1+sqrt(x))/(1-sqrt(x)); (12) y=x^2sin x; –(13) y=(2-x)/((1-x)(1+x^2)); (14) y=x^3ln x+x^n/n; –(15) y=(ln x)(cos x);(16) y=e^x sin x; (17) y=e^x sec x;

25 习题十九 (II) –(18) y=(cos x+sin x)/(cos x-sin x); (19) y=(cot x)/x^4; –(20) y=(x+1/x)ln x; (21) y=(cos x)(ln 1/x)/x^5; –(22) y=(sin x)/x; (23) y= x sin x  ln x; (24) y=x^3tan x. 2. 利用等比数列求和公式，计算下列和式： –(1) S n =1+2x+3x^2+…+nx^(n-1); –(2) S n =1+2^2x+3^2x^2+…+n^2x^(n-1). 3. 证明下列和式： –(1) C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n=n2^(n-1); –(2) C_n^1+2^2C_n^2+…+n^2C_n^n=n(n+1)2^(n-2).

26 习题十九 (III) 4. 计算下列函数的导数： –(1) y=(x^3-4)^4; (2) y=x(a^2-x^2)sqrt(a^2-x^2); –(2) y=x/sqrt(n^2-x^2); (4) y=((1+x^2)/(1-x^2))^(1/3); –(5) y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))); (6) y=ln(ln x); –(7) y=(1+x^(1/3))^1/3; (8) y=ln|(a+x)/(a-x)|; –(9) y=ln(x+sqrt(a^2+x^2)); (10) y=ln(tan(x/2)); –(11) y=ln sqrt((1+cos x)/(1-cos x)); (12) y=ln^3 x^5; –(13) y=ln((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x))); –(14) y=cos^3 x-cos(3x); (15) y=sin^n x  cos(nx); –(16) y=tan x-tan^3 x+tan^5 x; (17) y=cos(cos(sqrt(x))); –(18) y=sin^2 x/sin(x^2); (19) y=x^(sin x); (20) y=x^x;

27 习题十九 (IV) –(21) y=x^(tan x); (22) y=x^(ln x); (23) y=exp(sqrt(x)); –(24) y=exp(-1/x^2); (25) y=a^(sin x); (26) y=x^(x^x); –(27) y=(1+x)^(1/x); (28) y=sh(ln x); (29) y=sh(x)  sin x; –(30) y=arcsin(sqrt(1-x^2)); (31) y=arcsin(cos x); –(32) y=e^(ax)(cos bx+sin bx); (33) y=arctan(ch x); –(34) y=arctan(tan^2x); (35) y=(a/b)^x  (b/x)^a  (x/a)^b; –(36) y=arctan(sqrt((a-b)/(a+b))tan(x/2), (a>b>0); –(37) y=a^2arcsin(x/a)+x  sqrt(a^2-x^2); –(38) y=a^2ln|x+sqrt(a^2+x^2)|+x  sqrt(a^2+x^2); –(39) y=e^(x^2)(x^2+2x+2); –(40) y=ln(arccos(1/sqrt(x))).

28 高阶导数 定义 : 设  在 (a,b) 上处处可微,  就定义了 (a,b) 上 的一个函数, 这个函数  叫做  的导函数 ; 若  也 有导数, 其导函数叫做  的二阶导函数, 记做  ;  (x) 叫做  在点 x 的二阶导数 ; 依此类推.  的 n 阶 导数记做  ^(n), D^n  或 d^n  /dx^n. 约定 :  ^(0)= . Leibniz 公式 : 设 u,v 有 n 阶导数, 则有公式 : 证明 : 对 n 做归纳法 : n=0 时成立. 然后由 n=k 成立 推出 n=k+1, 与二项式定理的证明类似。 #

29 高阶微分 定义 : 设  在 (a,b) 上处处可微,d^2  (x)=(d  (x))dx 叫做  的二阶微分. 一般 d^(n+1)  (x)=d(d^n  (x))=(d  ^(n)(x))dx=  ^(n)(x)dx^n 注 : 高阶微分没有形势不变性, 有关讨论参看教 材 页. 记号 F. D. Bruno 公式 : 设  和 g 都有 n 阶导数. 则 h=  ° g 的 n 阶导数满足下面的公式 :

30 习题二十 (I) 1. 证明 Leibniz 公式. 2. 证明 Bruno 公式。 3. 计算下列函数的 n 阶导数 : –(1) y=1/(1-x^2); (2)y=(1+x)/(1-x)^(1/3); (3)y=sin^2 x; –(4) y=x^n/(1-x); (5) y=sin^3 x; (6) y=e^x sin x; –(7) y=x^n/(x^2-1); (8) y=e^x(cos x+sin x); –(9) y=x^n/((x+1)^2(x+2)^2); (10) y=1/sqrt(1+x^2). 4. 证明 y=arcsin x 和 y=arccosx 满足 (1-x^2)y  - xy=0. 5. 证明 y=(x+sqrt(1+x^2))^m 满足 (1+x^2)y  +xy = m^2 y.

31 习题二十 (II) 6. 证明. 切比雪夫多项式 Tn(x)=1/2^(n-1)cos(n arccos x)) 满足 (1-x^2)y  -xy+n^2 y=0. 7. 设 y=  (x) 有反函数并且满足 y  +(y)^3=0. 证明  的反 函数 g 满足 g  =1, 并由此给出  的一个例子. 8. 求下列函数的指定阶数的微分, 其中 u,v 都有用到的 各阶导数 : –(1) y=u^2, 求 d^10y; (2) y=arctan(u/v), 求 d^2y; –(3) y=e^u, 求 d^4y; (4) y=ln u, 求 d^3y. 9. 设  在 x=0 点连续且 (  (2x)-  (x))/x  l (x  0). 证明  在 x=0 点可微, 且  (0)=l. 10. 证明 : (f(x)-b)/(x-a)  A(x  a) 当且仅当 (e^(f(x))- e^b)/(x-a)  Ae^b(x  a).

32 §3 区间上的可导函数 ( 中值定理 ) 有关函数一点行为的定义 导数对函数一点行为的刻划 中值定理的意义及其逻辑 中值定理证明及其简单推论 例子 Lagrange 中值定理的一些推论 三个不等式 参变量函数求导定理

33 导数对函数一点行为的刻划 定义 : 设 a 是  定义的内点. U 是 a 的邻域 –  在 a 点增 :  x  U, x  a, 则 (  (x)-  (a))  (x-a)>0; –  在 a 点减 :  x  U, x  a, 则 (  (x)-  (a))  (x-a)<0; –  在 a 点不减 :  x  U, 则 (  (x)-  (a))  (x-a)  0; –  在 a 点不增 :  x  U, x<a, 则 (  (x)-  (a))  (x-a)  0; –a 点是  的局部严格最大值点 :  x  U, x  a,  (x)<  (a); –a 点是  的局部严格最小值点 :  x  U, x  a,  (x)>  (a); –a 点是  的局部最大值点 :  x  U,  (x)  (a); –a 点是  的局部最小值点 :  x  U,  (x)  (a).

34 导数对函数一点行为的刻划  (a) 充分条件 : – 若  (a)>0, 则  在 a 点增 ; (Darboux 引理 ) – 若  (a)<0, 则  在 a 点减 ; (Darboux 引理 ) – 若  x  U, x  a,  (x)  (x-a)<0, 则 a 局部严格最大值点 ; – 若  x  U, x  a,  (x)  (x-a)>0, 则 a 局部严格最小值点 ; 必要条件 : 设  (a) 存在. – 若  在 a 点不减, 则  (a)  0; – 若  在 a 点不增, 则  (a)  0; – 若 a 是  的极值点, 则  (a)=0. (Fermat 引理 )

35 中值定理的意义及其逻辑 中值定理要讨论的问题 : 用导数得到函数值差 的表达式, 利用导数的性质研究值差以得到有 关函数的信息。 中值 (Lagrange) 定理 : 若  C[a,b], 且在 (a,b) 上点 点可微, 则  c  (a,b), 使得  (b)  (a)=  (c)(b  a). # 其证明是基于 Fermat 引理. 逻辑顺序 : Rolle 定理 (  (b)  (a),  c  (a,b), 使得  (c)=0)  Cauchy 中值 定理 ( ,g  C[a,b] 都在 (a,b) 上点点可微, 且  x  (a,b),g(x)  0, 则  c  (a,b), 使得 (  (b)  (a))/(g(b)- g(a))=  (c)/g(c))  Lagrange 中值定理. 附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点.

36 中值定理的证明及其简单推论 Rolle 定理的证明 :  在 (a,b) 上必有极值.# Cauchy 定理的证明 : h(x)=(g(b)-g(a))  (x)  (  (b)   (a))g(x), 则 h  C[a,b] 在 (a,b) 上点点可微, 且 h(a)=h(b)=g(b)  (a)  (b)g(a).# Lagrange 定理的证明 : 在 Cauchy 定理中取 g(x)=x 就可以了.# Darboux 定理 : 设  在 (a,b) 上可微. 则  ((a,b)) 是 区间. 因此  在 (a,b) 上的间断点只能是第二类间 断点. 证明 : (1) 证明零点定理 ; (2) 由 Lagrange 定理第 一类间断点必为连续点. #

37 例子 例 1. 设  (0)=0, 而当 x  0 时,  (x)=x^2 cos(1/x). 因 此  (0)=0, 而当 x  0 时,  (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x).  在 x=0 点的左右极限都不存在. 例 2.  (x)=2sqrt(|x|). 若 x  0,  (x)=sgn(x)/sqrt(|x|).  (0  ) ,  (0  )  ( 实际上, 也是  在 x=0 点左 右 “ 导数 ”). 例 3.  (x)=3x^(1/3). 若 x  0,  (x)=x^(  2/3).  (0  )   (0  )  ( 实际上, 也是  在 x=0 点的 “ 导数 ”). 在例 2-3 的情形, 称  在 x=0 点有   ( 左, 右 ) 导数.

38 Lagrange 中值定理的一些推论 1. 若  x  (a,b),  (x)=0, 则  是 (a,b) 上的常值函数. 2. 设  在 (a,b) 上可微. 则  在 (a,b) 上不减的充分必 要条件是  x  (a,b),  (x)  若  x  (a,b),  (x)>0, 则  在 (a,b) 上是严格增的. 4. 设  在 (a,b) 上可微. 则  在 (a,b) 上严格增的充分 必要条件是  x  (a,b),  (x)  0, 并且在 (a,b) 的子 区间上不为常数. 推论 4 的证明 : 必要性 : 由推论 3 得到  (x)  0, 严 格增给出后一部分. 充分性 :  (x)  0 给出不减, 在 (a,b) 的子区间上不为常数给出严格.#

39 三个不等式 Young 不等式 : 设 , . 则  x  0,x^  x+ . Young 不等式的变形 : a^  b^  a  +b . (x=a/b ） Hölder 不等式 : 设 u i, v i >0, i=1,…,n. 则 Minkovski 不等式 : 设 p>1, a i, b i >0, i=1,…,n. 则

40 参变量函数求导定理 定理 : 设  (t),  (t) 在 [a,b] 上可微且  t  [a,b],  (t)> 0. 则由 x=  (t) 和 y=  (t) 可得 [  a),  b)] 上的函数 y=  (x). 即  =    ^{-1}. 特别  (  (t))=  (t)/  (t). 这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提 供了工具. 证明 : 链式法则的推论.# 推论 : 参变量函数二阶导数的公式.  (  (t))=(  (t)  (t)-  (t)  (t))/(  (t))^3.

41 习题二十一 (I) 1. 设  (x)=x m (1-x) n, 其中 m, n 为正整数. 证明 :  c  (0,1) 使得 m/n=c/(1-c). 2. 证明 : 4ax 3 +3bx 2 +2cx=a+b+c 在 (0,1) 内至少有 一个根. 3. 证明 : e x = ax 2 +bx+c 的根不超过三个. 4. 设  C[a,b] 在 (a,b) 上有 n 阶导数, 并且在 [a,b] 上有 ( 按重数计 )n+1 个零点. 证明 :  (n) 在 [a,b] 上至 少有一个零点. 5. 证明 : 一个有 ( 按重数计 )n+1 个零点的次数不 超过 n 的多项式必为零多项式.

42 习题二十一 (II) 6. 设  在 (a,b) 上可微 ( 其中 a 可以是 ,b 可以是  ). 证明 : 如果  (a + )=  (b  ), 则  c  (a,b) 使得  (c) =0. 7. 设  在 (a,b) 上可微. 证明  的两个零点之间必有  的零点. 8. 证明 :Legendre( 勒让德 ) 多项式 P n (x)=1/(2^n n!)[(x^2-1)^n]^{(n)} 在 [-1,1] 内有 n 个零点. 9. 证明 : Chebyshev-Laguerre( 切比雪夫 - 拉盖尔 ) 多项式 L n (x)=e^x[(x^ne^(-x)]^{(n)} 有 n 个不同的 零点.

43 习题二十一 (III) 10. 证明 : Chebyshev-Hermite ( 切比雪夫 - 厄尔米特 ) 多项 式 L n (x)=(-1)^n/n!  e^(x^2/2)  [(e^(-x^2/2)]^{(n)} 有 n 个不 同的零点. 11. 证明 : (1) |sin x-sin y|  |x-y|; (2) |cos x-cos y|  |x-y|; (3) |arctan x-arctan y|  |x-y|; (4) |arccot x- arccot y|  |x-y|. 12. 设  C(a,b) 且在 (a,c)  (c,b) 上可导. 证明 : 如果, 则  (c)=A. 13. 设  在 (a,b) 上可导, 并且  在 (a,b) 单调. 证明  C(a,b). 14. 设  在 (a,  b) 上可导并且  有界. 证明  在 (a,  b  ) 上一致 连续.

44 习题二十一 (IV) 15. 设  在 (a,  ) 上可导且  (x)  (x  ). 证明  在 (a,  ) 上不一致连续. 16. 证明  (x)=xlnx 在 (0,  ) 上不一致连续. 而 g(x)=sqrt(x) ln x 在 (0,  ) 上一致连续. 17. 设  (x)  (0)= x  (  (x)), 其中 0 0),  (0)=0 ，对于 a>0,  (x) 在 (0,a) 上 不连续. 18. 定义  (x)=arctan((1+x)/(1-x)) (x  1),  (1)=0. 证明  在 x=1 点有极限, 但是  在 x=1 点的两个单侧导数都不存在. 请给出你的解释. 19. 设  C[a-h,  a+h] 在 (a-h,  a+h) 上可导 (h>0). 证明 :   (a+h)  (a-h)=[  (a+  h)  (a-  h)] h;   (a+h)  (a-h)  2  (a)=[  (a+  h)  (a-  h)] h 2.

45 习题二十一 (V) 20. 设  C[a,  b] 在 (a,  b) 上可导. 证明 : 如果  不是一次多 项式, 则  c  a  b  使得 |  (c)|>|  (b)  (a)|/(b  a). 21. 设  在 [a,  b] 上有二阶导数且  (b)  (a)=0. 证明 :  c  a  b  使得 |  (c)|>4|  (b)  (a)|/(b  a)^ 设  C[a,  b] 在 (a,  b) 上可导. 证明 : (1)  c  a  b  使得  c[  (b)  (a)]=(b 2  a 2 )  (c); (2) 若 a >0,  c  a  b  使得  (b)  (a)=c  (c) ln(b/a). 23. 设  C[a, b] 在 (a, b) 上可导 (ab>0). 证明 :  c  (a,b),

46 习题二十一 (VI) 24. 证明恒等式 :(1)  |x|  1,2arctan x+arcsin[2x/(1 +x 2 )]=  sgn(x);(2)  |x|  1/2,3arccosx  arcos(3x-4x 3 ) = . 25. 设  在 (a,  ) 上可导并且 f(x)  0 (x  +  ). 证 明 : f(x) /x  0 (x  +  ) 设 x=acos 3 t, y=a sin 3 t. (1) 计算 y(x); (2) 证明 : 切线为坐标轴所截线段有定常. 27. 对于曳物线 : x=a[ln (tan t/2)+cos t], y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明 : 切点到切线与 x 轴的交点 的距离为定值.

47 习题二十一 (VII) 28. 证明：双纽线 r 2 =a 2 cos 2  的向径与切线间的 夹角等于向径极角的两倍加  证明下列不等式： (1) 当 x  0 时, e x >1+x; (2) 当 x>0 时, x-x 2 /2 0 时, x-x 3 /6 0 时, (1+1/x) x <e<(1+1/x) x+1.

48 §4 不定式 不定式的含义 洛比塔法则 (L’Hôspital Rules)

49 不定式的含义 不定式 : 设当 x  a 时,  (x)  l, g(x) . – 对于和 : 若 l 与 中一个是 + , 一个是 , 则  (x)+g(x) 的极限是 不能由极限运算的算术性质确定的 ; – 对于乘积 : 若 l 与 中一个是 , 一个是 , 则  (x)  g(x) 的极限是不 能由极限运算的算术性质确定的 ; – 对于商 : 若 l 与 都是 , 或都是 , 则  (x)/g(x) 的极限是不能由极 限运算的算术性质确定的 ; – 广而言之, 凡其极限不能由构成的两 ( 多 ) 个函数的极限值直 接由规则确定的式子叫做不定式. 一般按极限值及其构成方 式分类. 常见的不定式 : +  型, 0  型,  型, 0/0 型, 0 0 型, 1  型,  0 型等. 上述这些常见不定式都可转化成  型, 0/0 型的讨论.

50 洛比塔法则 (L’Hôspital Rules) 这里只对 x  a - 讨论, 其他类型留做给学生自己 完成. 洛比塔法则 I. 设 ,g 在 ( ,a) 上可微,  (a - )=g(a - )=0, 而 g 在 a 附近不为 0. 若 (  /g)(a - ) 存在, 则 (  /g)(a - )= (  /g)(a - ). 证明 : 定义  (a)=g(a)=0. 余下只要应用 Cauchy 中 值定理就够了. # 洛比塔法则 II. 设 ,g 在 ( ,a) 上可微,g(a - )= . 若 (  /g)(a - ) 存在, 则 (  /g)(a - )= (  /g)(a - ).

51 洛比塔法则 II 的证明 洛比塔法则 II 的证明 : 这里只考虑 (  /g)(a - )=l 有 限的情形, 否则考虑 g/ . 任取  >0,  >0, 使得当 0<a  x<  时, |  (x)/g(x)  l|< . 由恒等式, 其中 a  <x 0 <x<a. 因此 这就得到了所要证明的结论. #

52 例题 1. x x  1 (x  0 + ); 2. (x-sin x)/x 3  1/6, (x  0); 3. (tan x-x)/ (x-sin x)  2, (x  0); 4. a>0, (ln x)/ x a  0, (x  +  ); 5. 1/x 2 -1/tan 2 x  2/3, (x  0); 6. x x^x-1  1, (x  0).   若            x 2   x 3

53 习题二十二 (I) 1. 推广上下极限的概念到函数的情形. 这里仅讨 论 x  a- 的情形其他情形留给学生自己去做. 假 设  >0,  在 (a- ,a) 上有定义. 定义  在 a  的上极 限为, 下极限为 证明 : (1) ; (2) 是 存在的充要条件 ; (3) 对于 (a ,a) 中以 a 为极限的 数列 {x n }, 若数列 {  (x n )} 有极限 l, 则在 l 在  在 a- 的上, 下极限之间.

54 习题二十二 (II) 2. 计算下列函数 x  0 时的极限 : (1) [x-ln(1+x)]/ x 2 ; (2) |x|ln|x|; (3) x k e 1/|x| ; (4) 1/x–1/ln(1+x); (5)1/x – 1/sin x; (6) x[a 1/x  b 1/x ] (a,b>0); (7) (tan x) sin x ; (8)(sin x/x) 1/x^2 ;(9)[e(1+x)  1/x ] 1/x ; (10)(tan x/x) 1/x^2 ; (11) (cos  x) 1/x^2 ; (12) [(1+|x| a )/(1+|x| b )] 1/ln|x| ; (13) [x 2 sin(1/x)]/sin x.

55 习题二十二 (III) 3. 计算下列函数 x  +  时的极限 : (1) x k /e x ; (2) [x –1 ln(1+x)] 1/x ;(3) (  /2  arctan x) 1/x ; (4) ln k x/x; (5) [e -2x (cos x+2sin x)+e x^2 sin 2 x]/[e -x (cos x+sin x)] (6) [tan(  x/(2x+1))] 1/x ; (7) (x-sin x)/(x+sin x); (8) [(1+x a )/(1+x b )] 1/ln x (a,b 为实数 ); (9) [1+x+sin x cos x]/[(x+sin x cos x)e sin x ]. 4. 设  在  a,+  ) 上有界且可微  证明  若 x  时,  (x)  l, 则 l=0.

56 习题二十二 (IV) 5. 设  在  a,+  ) 上有界且可微  证明  若 x  时,  (x)+  (x)  l. 证明 :  x)  l (x  ). 6. 由 Lagrange 中值定理, 证明下列结论 : (1) 若 ln(1+x)=x/(1+  x), 则  1/2  (x  0); (2) 若 e x  1= xe  x, 则  1/2 (x  0); (3) 若 arcsin x=x/sqrt(1   x  ),0<  <1, 则  1/sqrt(3)  (x  0). 7. 确定常数 a, b 使得当 x  0 时, (1)  (x)=(a+bcos x)sin x  x 为 x 的 5 阶无穷小 ; (2)  (x)=e x  (1  ax)/(1+bx) 为 x 的 3 阶无穷小.

57 §5 Taylor 公式

58   若             

59   若             

60 §6 用导数研究函数

61   若             

62   若             

63 §7 割线法和切线法 (Newton 方法 )

64   若             

65   若             

66   若             

67   若             

68

69 习题十八 1. 计算下列极限  x 2 x 3  若              

70  x 2 x 3  若              

71  x 2 x 3  若              

72  x 2 x 3  若              