第四节 格林公式及其应用
一、区域连通性的分类 设 D 为平面区域, 如果 D 内任一闭曲线所围成 的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区域, 否 则称为复连通区域. 复连通区域单连通区域 D D
设空间区域 G, 如果 G 内任一闭曲面所围成的 区域全属于 G, 则称 G 是空间二维单连通域 ; 如果 G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通
二、格林公式 定理 1
边界曲线 L 的正向 : 当观察者沿边界行走时, 区 域 D 总在它的左边. 那就是说，对于平面单连通区域，边界曲线的逆时针方 向为正向；对于平面复连通区域，边界曲线的外圈，逆 时针方向为正向，边界曲线的里圈，顺时针方向为正向。
证明 (1) y x o a b D c d A B C E
同理可证 y x o d D c C E
证明 (2) D 两式相加得
G D F C E A B 证明 (3) 由 (2) 知
1 。分段光滑的闭曲线 L 是区域 D 的取正向 的边界曲线； 2 。函数 P(x,y) 及 Q(x,y) 在 D 的每一点上都具有一阶连续偏导数。 格林公式不要求区域 D 是单连通的。 注意格林公式的条件： 如果闭曲线 L 是区域 D 的取反向的边 界曲线，则有：
注意： 如果 L 不是闭曲线或函数 P(x,y),Q(x,y) 在区域 D 的个别点上一阶偏导数不连续，格林 公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线， 然后再作计算。 三、格林公式的简单应用 1. 在闭曲线上的对坐标的曲线积分和二重积分 可以相互转化，从而可在两者中选择较简便的 方法进行计算。 2. 可用曲线积分计算平面区域的面积
解
x y o L y x o
x y o
若区域 如图为 复连通域，试描述格 林公式中曲线积分中 L 的方向。 思考题
思考题解答 由两部分组成 外边界： 内边界：
计算曲线积分其中 L 为园周 L 的方向为逆时针方向 解： 作辅助园： 其边界曲线取为顺时针方向，记为 L1 ，则
第三节 格林公式及其应用（ 2 ）
G y x o 一、平面曲线积分与路径无关的 定义 B A 如果在区域 G 内有
二、平面曲线积分与路径无关的条 件 定理 2
在此条件下，如果在 G 内有 平面的曲线积分与路径无关，有 两个基本前提必须满足： 那么， 曲线积分与路径无关
三、二元函数的全微分求积 定理 3
要满足什么条件， 在 G 内才是某一函数的全微分？ 在此条件下，如果在 G 内有 那么， 是某一函数的全微分， 由此可见，它与平面曲线积分与路径无关应满足的是条件完 全一致的。 du = 即存在函数 u(x,y) ，使
可以证明由公式 确定的函数, 就满足 du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 证： 同理， ( 只需证明 )
具体计算 x y o 可采用如右图的路径： 这里起点可任意取， 但必须在单连通的开区域 G 内。 为计算方便起见，如 G 为全平 面，可取 =(0,0); 如 G 为 右半平面，可取 = （ 1 ， 0 ） 如 G 为上半平面，可取 =（0，1）=（0，1）
如果平面曲线积分与路 径无关的条件被满足，原 来给定的积分路径又比较 复杂，那么，可用右图所 示的路径进行替代
解
解
四、小结 与路径无关的四个等价命题 条件条件 等价命题等价命题