第五十八讲 吉林大学远程教育 主讲： 杨荣 副教授
例 7 解方程 经过整理，分离变量后积分，求得上式的通解为 解 此方程是齐次方程，通过作变换 y= ux ，将它化为可分离变 量方程 将 代入原方程，得到
解 将所给方程两端对 x 求导，得 这是一个一阶线性方程，直接利用求线性方程通解公式，可得 例 8 设连续函数 y (x) 满足方程 求此函数 y (x). 即 又从所给方程知 y(0) ＝ 1 ，则得 C ＝ 1 ，故所求函数为
解 将原方程化为 这是一个一阶线性方程，直接利用其求通解公式，可得 例 9 求微分方程 y lnxdy ＋ (y － lnx)dx = 0 满足条件 的特解。 由 ，解出 ，所以方程的特解是
分析 所给方程不含未知函数导数，不是微分方程，由于含有变上 限积分，常称为积分方程。为了求得 f (x) ，通常的方法是利用微分法将 方程中的变上限积分形式转化掉，变成微分方程，然后通过解微分方程 求得 f (x) 。 例 10 已知 f (x) 在 [0, ＋ ∞) 上连续，且满足 求 f (x). 解 对所给方程两边关于 x 求导，得 这是可分离变量方程（也是一阶齐次线性方程），为了和习惯上方程表 示方法一致，记 y ＝ f (x) ，即有
分离变量后积分，得 所以 ，即得通解为 故所求 f (x) 为 由原方程得初始条件 f (0) ＝ ln2 ，代入得
注：此方程的初始条件并没有明显给出，隐含在方程中，需要自 己把它找出来，这也是解微分方程值得学习的技巧。 分析 两族曲线在交点处的切线都相互垂直，则称这两族曲线中的 一组曲线是另一族曲线的正交曲线。求已给曲线族的正交曲线的步骤 是： 例 11 求与抛物线族 x ＝ C y 2 正交的曲线族。 解 对方程 x = C y 2 两边关于 x 求导，得 1. 求出已给曲线族满足的微分方程 ； 2. 由正交条件，在方程中把 换成 ，得正交曲线族满足的微 分方程 ； 3. 解微分方程 ，即得所求正交曲线族。
消去 C 得所给曲线族满足的微分方程 解此微分方程得所求正交曲线族为 例 12 已知曲线过点 (1 ， 1) ，且其上任一点 P(x, y) 处的切线交 y 轴 于 Q ，以 PQ 为直径的圆经过点 F (0 ， 1) ，求此曲线方程。 可见与所给抛物线族正交的曲线族是关于坐标轴对称的椭圆族。 将 换成 ，得所求正交曲线族满足的微分方程 解 设所求曲线方程为 y ＝ f (x) ，则过点 P(x, y) 的切线方程为 令 X ＝ 0 ，得切线与 y 轴交点 Q 的坐标 。设 M 是中点，则 M 坐 标为 。由 ，得微分方程
这是一阶非齐次线性方程，由通解公式得 即方程的通解 初始条件为 y(1) ＝ 1 ，令 z ＝ y 2 ，则方程变为 代入初始条件 y(1) ＝ 1 ，得 C ＝ 0 。于是所求曲线方程是
解 设在 t 时刻物体的温度为 u ，则由题意建立微分方程 例 13 假定加热后的物体在空气中的冷却速度与问物体和空气的温 度差成正比，设比例系数为 k ，物体加热后的温度是 100 ℃，空气温度是 20 ℃，试求物体温度关于时间的函数。 初始条件为 t ＝ 0 ， u ＝ 100 ，这是可分离变量方程，变量分离后积分得 将初始条件代入，得 C ＝ 80 ，于是所求物体温度和时间的函数关系为