§5.3 常系数线性微分方程组 Coefficients Linear ODEs

§5.3 Coefficients Linear ODEs 1 常系数齐线性微分方程组 的基解矩阵的结构，这里 A 是 常数矩阵。 2 通过代数的方法，寻求 (5.33) 的一个基解矩阵。 (5.33) 3 拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。 本节主要内容 /Main Contents/

§5.3 Coefficients Linear ODEs 矩阵指数 expA 的定义和性质 无穷矩阵级数 如果每个 收敛，则收敛。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 判断无穷矩阵级数 收敛的法则： 而级数 收敛， 则收敛。 同理，可给出 在区间 I 上的一致收敛的定义， 和函数等类似的结果。

§5.3 Coefficients Linear ODEs (5.34) 定义 1 矩阵指数 E 为 n 阶单位矩阵, 是矩阵 A 的 m 次幂。 exp A 是一个确定的矩阵。 对于一切正整数 k ， 而 收敛， 则收敛。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 对于一切正整数 k ，当 (c 是某一正常数 ) 时，有 而数值级数 是收敛的， (5.35) 在 t 的任何有限区间上是一致收敛的。 定义 2 矩阵指数函数 因而 (5.35) 在 t 的任何有限区间上是一致收敛的。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 性质 性质 1 如果矩阵 A ， B 是可交换的，即 AB=BA ，则 (5.36) 证 由于级数 绝对收敛，由绝对收敛级数的乘法定理，得 另一方面，由二项式定理及 AB=BA ，

§5.3 Coefficients Linear ODEs 由绝对收敛级数的乘法定理，得 另一方面，由二项式定理及 AB=BA ，

§5.3 Coefficients Linear ODEs 性质 2 对于任何矩阵 A ， 存在，且 (5.39) 证 A 与 - A 是可交换的，故在 (5.36) 中，令 B = - A 得

§5.3 Coefficients Linear ODEs 事实上 性质 3 如果 T 是非奇异矩阵，则

§5.3 Coefficients Linear ODEs 定理 9 是 (5.33) 证明 是 (5.33) 的解矩阵，又因为 因此, 是 (5.33) 的标准基解矩阵。 证毕 (5.41) 矩阵 的标准基解矩阵。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例 1 如果 A 是一个对角矩阵 试求出 的基解矩阵。 ( 其中未写出的元素均为零 ) 解方程组可以写成 分别积分

§5.3 Coefficients Linear ODEs 据定理 9 ，这就是基解矩阵。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例 2 试求 的基解矩阵。 解 以验证后面的两个矩阵是可交换的，得到

§5.3 Coefficients Linear ODEs 但是 因此，基解矩阵就是

§5.3 Coefficients Linear ODEs 其中常数 和向量 c 是待定的。 因为 (5.44) 基解矩阵的计算公式 (5.33) (5.43) 若 (5.33 ）有 的解， 反过来， 和向量 c 满足方程组 (5.44)

§5.3 Coefficients Linear ODEs 和 c 满足方程 则 是 (5.33) 的非零解 (5.44) 是 A 的特征值， c 是 A 的属于 的特征向量。 特征方程 是 (5.33) 的非零解 是 A 的特征值， c 是 A 的属于 的特征向量。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例 3 求解 解

§5.3 Coefficients Linear ODEs

1 如果 是简单特征根， 2 如果是特征方程的 k 重根 ( 即 具有因子, 而没有因子 则称 是 k 重特征根。 是特征方程的单根，则称 )，)，

§5.3 Coefficients Linear ODEs 它们对应的特征值分别为 ( 不必各不相同 ) ，那么 是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵。 (5.33) 定理 10 如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量 求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之一

§5.3 Coefficients Linear ODEs 每一个向量函数 是线性无关的, 所以 证明 都是 (5.33) 的一个解, 基解矩阵。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 注1注1 它们对应的特征向量分别为 那么 是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵。 推论如果矩阵 A 具有 n 个互不相同的特征值 注2注2 标准基解阵的表示 标准基解阵一定为实矩阵。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 注3注3 若实系数线性方程组 (5.33) 有复值解 ，则其实部 与 虚部 都是（ 5.33 ）的解.

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例 5 试求解 解 1 求 A 的特征值和特征向量

§5.3 Coefficients Linear ODEs 对于任意常数是对应于 类似的，可以求出对应于 的特征向量为其中 的特征向量， 2 求实基解矩阵

§5.3 Coefficients Linear ODEs 就是一个基解矩阵。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 1 计算特征值，特征向量； 求实基解矩阵的步骤 ( 利用定理 10) 2 求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）； 3* 写出方程的通解。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 作业 P.236, 第 4(a), (b) 题。 课堂练习 试求解

§5.3 Coefficients Linear ODEs 求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之二 假设 A 是一个 矩阵，其不同特征值 它们的重数分别为 那么，对于每一个重特征值, 线性方程组 (5.48) 的解全体构成 n 维欧几里得空间的一个 子空间 且 n 维欧几里得空间 维

§5.3 Coefficients Linear ODEs 对于 n 维欧几里得空间的每一个向量 u ，存在唯一的 使得 (5.49) 互不相同， 对应的特征向量 A 有一个 重特征值 (5.48) 的解全体就构成 n 维欧几里得空间，不必分解。 向量 分别为

§5.3 Coefficients Linear ODEs 且 满足 (5.51) 则存在唯一的 (5.50) 是 (5.33) 的满足 的解， 设 是 n 维向量 使得 (5.48) 由此可推得

§5.3 Coefficients Linear ODEs

(5.52) 满足 (5.48) (5.33) 的满足 的解：

§5.3 Coefficients Linear ODEs

当 A 只有一个特征根时，无需将特征向量分解为 (5.50) 。 这时对于任何 u 都有 (5.53)

§5.3 Coefficients Linear ODEs 解 1 求 A 的特征值 例 4 试求解 2 代入公式，求初值问题的解

§5.3 Coefficients Linear ODEs

3 求 A 的标准基解矩阵

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例5例5 试求满足初始条件 的解 并求 expAt 。 解 1 求 A 的特征值

§5.3 Coefficients Linear ODEs 或 其中为任意常数。子空间 是由向量 所生成的。 2 确定 的分解

§5.3 Coefficients Linear ODEs 其中是任意常数。子空间是由向量 所张成的。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 解之得到

§5.3 Coefficients Linear ODEs 根据公式 (5.52) ， 3 求满足初始条件 的解为

§5.3 Coefficients Linear ODEs

4 求出 exp At 依次令 得到三个线性无关的解。以这三个解作为列，得 5 求通解 x(t)=(exp At)c 作业 P.236, 第 4(c), 5(b) 题。

§5.3 Coefficients Linear ODEs 求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之三 利用若当标准型计算基解矩阵 Axp(At) 根据线性代数知识, 对每一个 n 阶矩阵 A, 存在 n 阶 非奇异矩阵 P, 使得 其中

§5.3 Coefficients Linear ODEs 为若当标准型. 假设若当块 则 是阶的 有如下分解式

§5.3 Coefficients Linear ODEs 第一个矩阵具有 形式, 第二个矩阵是幂铃矩阵, 由于矩阵 和任何矩阵可以交换, 因此有

§5.3 Coefficients Linear ODEs 由此得到它的初等函数有限和的形式, 即

§5.3 Coefficients Linear ODEs

根据分块对角矩阵的运算可得到 因此基解矩阵为

§5.3 Coefficients Linear ODEs 求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之四 利用递推法计算基解矩阵 结论 其中 是下列初值问题的解

§5.3 Coefficients Linear ODEs

为标准基本解矩阵

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例 6 求 的标准基本解矩阵 expAt 。 解 1 求 A 的特征值

§5.3 Coefficients Linear ODEs 2 解方程组 3 确定

§5.3 Coefficients Linear ODEs

例 7 求 的标准基本解矩阵 expAt 。 解 1 求 A 的特征值

§5.3 Coefficients Linear ODEs 2 解方程组 3 确定

§5.3 Coefficients Linear ODEs

关于常系数非齐次线性方程组 A 常矩阵， f (t) 为连续的向量函数。 常数变易法公式设 (5.60) 有解如

§5.3 Coefficients Linear ODEs 方程 (5.60) 的满足 的解：

§5.3 Coefficients Linear ODEs 例 8 试求方程 解 齐次方程的基解矩阵 满足初始条件 的解。

§5.3 Coefficients Linear ODEs

作业 P.236 ，第 6(a) 题。