第七章 函数逼近 用简单的函数 p(x) 近似地代替函数 f (x) ，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数 f (x) 称为 被逼近的函数， p (x) 称为逼近函数，两者之差 称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题

函数逼近问题的一般提法： 对于函数类 A 中给定的函数 f (x) ，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类 B(  A) 中寻找一个函数 p (x) ，使 p (x) 与 f (x) 之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： ( 一 ) 一致逼近 以函数 f (x) 和 p (x) 的最大误差 作为度量误差 f (x) － p (x) 的 “ 大小 ” 的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近

对于任意给定的一个小正数  >0 ，如果存在函数 p (x) ，使不等式 成立，则称该函数 p (x) 在区间 [a, b] 上一致逼近或均匀逼近 于函数 f (x) 。 ( 二 ) 平方逼近： 采用 作为度量误差的 “ 大小 ” 的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。

§1 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1 ， cosx ， sinx ， cos2x ， sin2x ， … ， connx ， sinnx ， … 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间 [- ,  ] 上的积分都等于 0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在 [- ,  ] 上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。

若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为： 那么这个函数系在 [- ,  ] 上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的 ( 规范的 )

1 ．权函数 定义 7.1 设  (x) 定义在有限或无限区间 [a, b] 上， 如果具有下列性质： (1)  (x) ≥0 ，对任意 x  [a, b] ， (2) 积分 存在， (n = 0, 1, 2, …) ， (3) 对非负的连续函数 g (x) 若 则在 (a, b) 上 g (x)  0 称  (x) 为 [a, b] 上的权函数

2 ．内积 定义 7.2 设 f (x) ， g (x)  C [a, b] ，  (x) 是 [a, b] 上的权函数， 则称 为 f (x) 与 g (x) 在 [a, b] 上以  (x) 为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0 ，且 (f, f )=0  f = 0 ； (2) (f, g) = (g, f ) ； (3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g) + (f 2, g) ； (4) 对任意实数 k ， (kf, g) = k (f, g ) 。

3 ．正交性 定义 7.3 设 f (x) ， g(x)  C [a, b] 若 则称 f (x) 与 g (x) 在 [a, b] 上带权  (x) 正交。 定义 7.4 设在 [a, b] 上给定函数系，若满足条件 则称函数系 {  k (x)} 是 [a, b] 上带权  (x) 的正交函数系，

若定义 7.4 中的函数系为多项式函数系，则称为以  (x) 为权的在 [a, b] 上的正交多项式系。并称 p n (x) 是 [a, b] 上 带权  (x) 的 n 次正交多项式。 特别地，当 A k  1 时，则称该函数系为标准正交函数系。

二、常用的正交多项式 1 ．切比雪夫 (чебыщев) 多项式 定义 7.5 称多项式 为 n 次的切比雪夫多项式 ( 第一类 ) 。

切比雪夫多项式的性质： (1) 正交性： 由 { T n (x)} 所组成的序列 { T n (x)} 是在区间 [-1, 1] 上带权 的正交多项式序列。且

(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： (3) 奇偶性： 切比雪夫多项式 T n (x) ，当 n 为奇数时为奇函数； n 为偶数时为偶函数。

(4) T n (x) 在区间 [-1, 1] 上有 n 个不同的零点 (5) T n (x) 在 [-1, 1] 上有 n + 1 个不同的极值点 使 T n (x) 轮流取得最大值 1 和最小值 -1 。

(6) 切比雪夫多项式的极值性质 T n (x) 的最高次项系数为 2 n-1 (n = 1, 2, …) 。 定理 7.1 在 -1≤x ≤1 上，在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 H n (x) 中 与零的偏差最小，且其偏差为 即，对于任何 ， 有

2 ．勒让德 (Legendre) 多项式 定义 7.6 多项式 称为 n 次勒让德多项式。 勒让德多项式的性质： (1) 正交性 勒让德多项式序列 {p n (x)} 是在 [-1, 1] 上带权  (x) = 1 的正交多项式序列。

(2) 递推关系 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：

(3) 奇偶性： 当 n 为偶数时， p n (x) 为偶函数； 当 n 为奇数时， p n (x) 为奇函数。 (4) p n (x) 的 n 个零点都是实的、相异的，且全 部在区间 [-1, 1] 内部。

3 ．其它常用的正交多项式 (1) 第二类切比雪夫多项式 定义 7.7 称 为第二类切比雪夫多项式。

① {u n (x)} 是在区间 [-1, 1] 上带权函数 的正交多项式序列。 ② 相邻的三项具有递推关系式：

(2) 拉盖尔 (Laguerre) 多项式 定义 7.8 称多项式 为拉盖尔多项式。

① {L n (x)} 是在区间 [0, +∞] 上带权  (x) = e -x 的正交多项式序列。 ② 相邻的三项具有递推关系式：

(3) 埃尔米特 (Hermite) 多项式 定义 7.9 称多项式 为埃尔米特多项式。

的正交多项式序列。 ① {H n (x)} 是在区间 (- , +  ) 上带权函数 ② 相邻的三项具有递推关系式：

§2 最佳一致逼近 一、最佳一致逼近的概念 定义 7.10 设函数 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数，对于 任意给定的  >0 ，如果存在多项式 p (x) ，使不等式 成立，则称多项式 p (x) 在区间 [a, b] 上一致逼近 ( 或均匀逼近 ) 于函数 f (x) 。

维尔斯特拉斯定理 若 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数，则对于任意  >0 ， 总存在多项式 p (x) ，使对一切 a ≤x ≤b 有

§ 3 最佳平方逼近 1 ．函数系的线性关系 定义 7.11 若函数 ，在区间 [a, b] 上连续， 如果关系式 当且仅当 时才成立，则称 函数在 [a, b] 上是线性无关的，否则称线性相关。

设 是 [a, b] 上线性无关的连续函数 a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则 并称 是生成集合的一个基底。 的全体是 C[a, b] 的一个子集，记为

定理 7.3 连续函数在 [a, b] 上线性无关的充分必要条件是它们 的克莱姆 (Gram) 行列式 G n  0 ，其中

2 ．广义多项式 设函数系 { ， …} 线性无关， 则其有限项的线性组合 称为广义多项式。

二、函数的最佳平方逼近 定义 7.12 对于给定的函数 ，若 n 次多项式 满足关系式 则称 S * (x) 为 f (x) 在区间 [a, b] 上的 n 次最佳平方逼近多项式。

定义 7.13 对于给定的函数 如果存在 使 则称 S * (x) 为 f (x) 在区间 [a, b] 上的最佳平方逼近函数。

求最佳平方逼近函数 的问题 可归结为求它的系数 使多元函数 取得极小值。 I (a 0, a 1, … ， a n ) 是关于 a 0, a 1, … ， a n 的二次函数， 利用多元函数取得极值的必要条件，

(k = 0, 1, 2, …, n) 得方程组 最小二乘！

如采用函数内积记号 方程组可以简写为

写成矩阵形式为 法方程组 ！

由于  0,  1, …,  n 线性无关，故 G n  0 ，于是上述方程组 存在唯一解 。 从而肯定了函数 f (x) 在  中如果存在最佳平方逼近函数，则必是

三 利用正交多项式进行最小二乘拟合 将 选为带权 的正交多项式系