搭配頁數 91 國小時學過，三角形中若有 一個內角是直角（ 90° ），這樣 的三角形就是直角三角形，其中 直角所對的邊稱為斜邊，其餘兩 個邊稱為股。如圖 2-11 ，我們平 常使用的三角板，都有一個角是 直角，因此都是直角三角形。

搭配頁數 91 動畫

搭配頁數 91 相傳古希臘數學家畢達哥拉斯 （ Pythagoras ，約西元前 569 年 ﹣西元前 489 年） 在一次宴會中，一直注視著地上相同的等腰直 角三角形黑白磚，心想：「一定有某種奇妙的 關係存在於這黑白地磚中。」「哇！真巧！大 正方形面積等於兩個小正方形面積相加！」想 到這裡，他興奮地跳了起來，⋯⋯。你看得出 來畢達哥拉斯的發現嗎？ ( 謎之音 ……)

搭配頁數 92 原來畢達哥拉斯看到等腰直角三角形中，以 兩股為邊長的兩個正方形面積和等於以斜邊為邊 長的正方形面積。 如果不是等腰的直角三角形，這種關係仍然成 立嗎？

搭配頁數 92 圖中每個小方格的邊長都是 1 ，且直角三角 形 ABC 的兩股分別為 2 與 3 。 (1) 正方形甲與正方形乙的面積分別為何？

搭配頁數 92 (2) 丙是一個正方形，其面積為何？ (3) 比較正方形甲與正方形乙的面積和是否等於正 方形丙的面積？ 從上面的探索活動可以發現：不是等腰的 直角三角形時，以兩股為邊長的兩個正方形面 積和也等於以斜邊為邊長的正方形面積。 又不知道邊長謎之音 ?

搭配頁數 93 進一步說明，比較左右兩個邊長均為 a ＋ b 的 正方形，如圖 2-12 、 2-13 。 圖 2-12 、 2-13 中，甲、乙、丙三個正方 形的邊長，分別為直角三角形的三邊長。當兩 邊同時拿掉四個相同的直角三角形後，即可得

搭配頁數 93 正方形甲的面積 c2c2 ＋ ＋ 正方形乙的面積 a2a2 b2b2 ＝ 正方形丙的面積 ＝ 因此在直角三角形中可得到： 以兩股為邊長的兩個正方形面積和等於以斜邊 為邊長的正方形面積。

搭配頁數 93 任意一個直角三角形， 其兩股長的平方和等於斜邊長的平方， 即 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 。 計算時可整理關係式變成 :

搭配頁數 93 中國古時稱直角三角形的斜邊為「弦」， 直角的兩邊稱為「勾」和「股」，因此畢氏 定理也稱為勾股定理或勾股弦定理。 西元前二世紀，古希臘學者阿波羅多羅斯 （ Apollodorus ）在《希臘編年史》中提到： 畢達哥拉斯的門徒為了慶祝發現畢氏定理， 於是宰了一百頭牛，祭祀神話中掌管文學、 藝術、科學等的繆思（ Muses ）女神，以酬謝 神的啟示，這就是著名的百牛大祭，所以也 有人將畢氏定理稱為百牛定理。

搭配頁數 94 接下來，將應用畢氏定理計算直角三角形的邊長。 已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。 (1) (2) (1)

搭配頁數 94 (2)

搭配頁數 94 已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。 (1) (2)

搭配頁數 95 已知下列各直角三角形一股與斜邊的長，求另一 股的長。 (1) (2)

搭配頁數 如右圖，直角三角形的斜 邊長為 10 ，一股長為 7 ，求 另一股的長。 2. 求右圖中 x 的值。

搭配頁數 95 從上述幾個題目，我們可以歸納出幾個常見的 直角三角形三個邊長比例關係 ( 或稱勾股數 ):

搭配頁數 求長方形的對角線長。 2. 求長方形的另一邊長。

搭配頁數 求長方形的對角線長。 2. 求長方形的另一邊長。

搭配頁數 98 如右圖，翰翰把長 2.5 公尺的梯子放在離牆腳 0.7 公尺處。 (1) 梯頂離地面多少公尺？ (2) 如果翰翰覺得梯子架得太高了，想 要降低 0.4 公尺，則應將梯腳放在離 牆腳幾公尺處？ (1) sol: 設梯頂離地面 x 公尺 例題 4 暫時跳過

搭配頁數 98 sol: 原本梯頂離地面 2.4 公尺， 降低 0.4 公尺後，梯頂離地面 2.4 － 0.4 ＝ 2 （公尺）。 設此時梯腳離牆腳 y 公尺， (2) 如果翰翰覺得梯子架得太高了，想 要降低 0.4 公尺，則應將梯腳放在離 牆腳幾公尺處 ?( 謎之音 : 0.4 公尺 ???)

搭配頁數 98 實驗室有一個直圓柱體的杯子，上方杯蓋中 央有一小孔，將一支長 20 公分的玻棒從中 央小孔插入杯中，杯子底圓半徑 5 公分，高 度 12 公分。如右圖所示，玻棒露出杯口外 的長度為多少公分？（不考慮玻棒的粗細）

搭配頁數 99 右圖為一個長方體， AB ＝ 8 公分， AD ＝ 6 公分， DH ＝ 4 公分，則： (1)GE 的長是多少公分？ (2)AE 的長是多少公分？ sol: 因為 HG 和 HE 垂直，所以 △ GHE 為直角 三角形，

搭配頁數 99 (2) 因為 AG 和 GE 垂直，所以 △ AGE 為直角三角形，

搭配頁數 99 右圖為邊長 4 公分的正方體，則： (1)EH 是否垂直 HG ？ (2)EG 的長是多少公分？ (3)AE 是否垂直 EG ？ (4)AG 的長是多少公分？

搭配頁數 97 所以 延伸應用 : 若直角△ ABC 的兩股長為 a 、 b ， 斜邊長為 c ，斜邊上的高為 h ， 則△ ABC 的面積 = = c×h＝a×bc×h＝a×b 因此斜邊上的高 h 直角三角形斜邊上的高＝ 兩股乘積 斜邊

搭配頁數 97 如右圖，直角三角形的三邊長分別為 5 ， 12 ， 13 ， 求斜邊上的高 h 。

搭配頁數 97 (1) AC 的長 (2) AD 的長 如右圖，直角 △ ABC 中， AD 為斜邊上的高， 且 AB ＝ 24 ， BC ＝ 30 ，求：