3.3.2 简单的线性规划问 题 周邦文 x y o
2 新课探究 某工厂用 A 、 B 两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h ，每生产一件 乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h ，该厂每天最多可从配 件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 解：按甲、乙两种产品分别生产 x 、 y 件，由已知条 件可得二元一次不等式组
将上述不等式组表示成平面上的区域 y x o 若生产一件甲产品获利 2 万元，生 产一件乙产品获利 3 万元，采用那种生 产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为 z ，则 z ＝ 2x ＋ 3y 把 z ＝ 2x ＋ 3y 变形为 它表示斜率为 的直 线系， z 与这条直线的 截距有关。 如图可见，当直线经过区域上的点 M 时，截距最 大，即 z 最大。 M 甲、乙两种产品分别生产 x 、 y 件
二、基本概念 y x o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为 它是关于变量 x 、 y 的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解 （ x ， y ）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量 x 、 y 的一次不等式，称为线性约束条 件。 由所有可行解组成的 集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。 可行域 可行解 最优解
一、线性规划在实际中的应用： 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用， 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
二、例题 例 5 、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供 0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的脂肪， 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白质， 0.14kg 脂肪，花费 28 元；而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.14kg 蛋白质， 0.07kg 脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食 要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg ？ 分析：将已知数据列成表格 食物／ kg 碳水化合物／ kg 蛋白质 /kg 脂肪／ kg A B
解：设每天食用 xkg 食物 A ， ykg 食物 B ，总成本为 z ， 那么 目标函数为： z ＝ 28x ＋ 21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域 1 、找
把目标函数 z ＝ 28x ＋ 21y 变形为 x y o / 57 5/7 6/7 3/7 6/7 它表示斜率为 纵截 距随 z 变化的一组平行 直线 是直线在 y 轴上 的截距，当截距最 小时， z 的值最小。 M 如图可见，当直线 z ＝ 28x ＋ 21y 经过可行 域上的点 M 时，纵截距 最小，即 z 最小。 2 、画 3、移3、移
M 点是两条直线的交点，解方程组 得 M 点的坐标为： 所以 z min ＝ 28x ＋ 21y ＝ 16 由此可知，每天食用食物 A143g ，食物 B 约 571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为 16 元。 4、求4、求 5、答5、答
10 解线性规划问题的步骤： （ 1 ） 2 、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （ 2 ） 3 、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （ 3 ） 4 、求：通过解方程组求出最优解； （ 4 ） 5 、答：作出答案。 1 、找 找出线性约束条件、目标函数；
四. 课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1. 应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件， 确定线性目标函数。 2. 用图解法求得数学模型的解，即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最值的解.( 一般最优解 在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。） 3. 要根据实际意义将数学模型的解转化为实际 问题的解，即结合实际情况求得最优解。
二、练习 1 、 求 z ＝ 2x ＋ y 的最大值，使 x 、 y 满足约束条件： 2 、 求 z ＝ 3x ＋ 5y 的最小值，使 x 、 y 满足约束条件：
1. 解：作出平面区域 x y A B C o z ＝ 2x ＋ y 作出直线 y= － 2x ＋ z 的图像，可知 z 要求最大值，即直线经过 C 点时。 求得 C 点坐标为（ 2 ，－ 1 ），则 Z max =2x ＋ y ＝ 3
2. 解：作出平面区域 x y o A B C z ＝ 3x ＋ 5y 作出直线 3x ＋ 5y ＝ z 的 图像，可知直线经过 A 点时， Z 取最大值；直线经过 B 点 时， Z 取最小值。 求得 A （ 1.5 ， 2.5 ）， B （－ 2 ，－ 1 ），则 Zmax=17 ， Z min = － 11 。