1 第三章 函数逼近 — 正交多项式

2 内容提要 正交多项式 正交函数族与正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式 Chebyshev 插值 第二类 Chebyshev 正交多项式 Laguerre 正交多项式 Hermite 正交多项式

3 正交函数族 正交函数 定义： 设 f(x), g(x)  C[a, b] ，  (x) 是 [a, b] 上的权函数， 若 则称 f(x) 与 g(x) 在 [a, b] 上 带权  (x) 正交

4 正交函数族 定义： 设函数  0 (x),  1 (x), ,  k (x),   C[a, b] ，  (x) 是 [a, b] 上的权函数，若 则称 {  k (x)} 是 [a, b] 上 带权  (x) 的正交函数族 正交函数族 若所有 A i =1 ，则称为 标准正交函数族

5 正交函数举例 例： 三角函数系 1 ， cos x ， sin x ， cos 2x ， sin 2x ， … 在 [- ,  ] 上是带权  (x)=1 的正交函数族 证： (m, n = 1, 2, 3, … ) (m, n = 0, 1, 2, … )

6 正交多项式 定义： 设  n (x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，  (x) 是 [a, b] 上的权函数，若 则称 为 [a, b] 上 带权  (x) 正交， 称  n (x) 为 n 次正交多项式。 正交多项式

7 性质 1 ： 设 为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式， H n 为所有次数不超过 n 的多项式组成的线性空间，则 构成 H n 的一组基 性质 2 ： 设 为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，则 对  p(x)  H n-1 ，有

8 正交多项式 性质 3 ： 设 为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，且 首项系数均为 1 ，则 其中 n = 0, 1, 2, … 证明：板书 这就是正交多项式的三项递推公式！所有首项系数为 1 的正交 多项式族都满足这个公式，该公式也给出了正交多项式的一个 计算方法。

9 正交多项式 性质 4 ： 设 为 [a, b] 上带权  (x) 正交多项式，则  n (x) 在 (a, b) 内有 n 个不同的零点 证明：板书

10 正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式 第二类 Chebyshev 多项式 Laguerre 多项式 Hermite 多项式 几类重要的正交多项式

11 Legendre 多项式 P n (x) 的首项 x n 的系数为： 在 [-1, 1] 上带权  (x)=1 的正交多项式称为 勒让德多项式 x  [-1, 1] ， n = 1, 2, … 记号： P 0, P 1, P 2,... 则 是 首项系数为 1 的勒让德多项式 令 勒让德（ Legendre ）多项式

12 Legendre 多项式 勒让德多项式的性质 (1) 正交性： (3) 递推公式： 其中 P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x ， n = 1, 2, … (4) P n (x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 (2) 奇偶性： P 2n (x) 只含偶次幂， P 2n+1 (x) 只含奇次幂，故

13 Legendre 多项式 ex31.m 勒让德多项式的表达式

14 Chebyshev 多项式 在 [-1, 1] 上带权  (x) 的正交多项式称为 切比雪夫多项式 x  [-1, 1] ， n = 0, 1, 2, … 切比雪夫多项式的表达式 令 x = cos  ，则 T n (x) = cos(n  ) ，展开后即得 切比雪夫（ Chebyshev ）多项式

15 Chebyshev 多项式 切比雪夫多项式的性质 (1) 正交性： (3) 递推公式： 其中 T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x ， n = 1, 2, … (2) 奇偶性： T 2n (x) 只含偶次幂， T 2n+1 (x) 只含奇次幂，故 cos(n+1)  +  cos(n-1)  =  cos  cosn  x = cos 

16 Chebyshev 多项式 (4) T n (x) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 : (k = 1, 2, …, n) (5) T n (x) 在 [-1, 1] 上有 n+1 个极值点 : (k = 0, 1, …, n) (6) T n (x) 的首项系数为 2 n-1 ，且 | T n (x) |  1

17 定理： 记 为所有首项系数为 1 的 n 次多项式组成的集 合，则对 有 首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式 (7) 令 则 为首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式。 且 证明略 即 在集合 中无穷范数最小。 等价描述：

18 首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式 ① 这里的无穷范数是指 C[-1, 1] 上的无穷范数。 ② 定理中的结论可推广为 “ 在所有次数不超过 n 的首项系数为 1 的多项式中， 的无穷范数最小 ” ③ 该结论可用于计算 n 次多项式在 [-1,1] 上的 n-1 次最佳一 致逼近多项式。 性质：设 f(x)  H n ，且首项系数为 a n  0 ，则 f(x) 在 [-1,1] 上 的 n-1 次最佳一致逼近多项式为 证明：留作练习 几点注记：

19 Chebyshev 多项式 例： 求 f(x)=2x 3 +x 2 +2x-1 在 [-1,1] 上的二次最佳一致逼 近多项式。 解： 设 p(x) 是 f(x) 在 [-1,1] 上的二次最佳一致逼近多项式，则 由前面的性质可知 思考： 如何计算 n 次多项式在 [a, b] 上的 n-1 次最佳一致逼近多项式？

20 Chebyshev 多项式 切比雪夫多项式的表达式 ex32.m

21 Chebyshev 零点插值 以 Chebyshev 多项式的零点作为插值节点进行插值 好处：所有插值多项式中, 总体插值误差最小 定理： 设 f(x)  C n+1 [-1, 1] ，插值节点 x 0, x 1, …, x n 为 T n+1 (x) 的 n+1 个零点，则 用 Chebyshev 多项式的零点插值

22 Chebyshev 零点插值 若 f(x)  C n+1 [a, b] ，怎么办？ 作变量替换 插值节点 (k = 0, 1, …, n) 插值误差

23 举例 例： ( 教材 64 页，例 4) 求 在 [0, 1 ] ，上的四 次 Chebyshev 插值多项式 L4(x) ，并估计误差。 解：板书 例： ( 教材 65 页，例 5 ，上机 ) 函数 ，插 值区间 [- 5, 5 ] ，试分别用等距节点和 Chebyshev 节点作 10 次多项式插值，画图比较两种插值的数值效果。 ex33.m

24 其他正交多项式 第二类 Chebyshev 多项式 Laguerre 多项式 Hermite 多项式 其他正交多项式

25 第二类 Chebyshev 第二类 Chebyshev 多项式 x  [-1, 1] ， n = 0, 1, 2, … 递推公式： 在 [-1, 1] 上带权 正交，即 其中 U 0 (x) = 1, U 1 (x) = 2x ， n = 1, 2, …

26 Laguerre 多项式 拉盖尔（ Laguerre ） 多项式 x  [0,  ] ， n = 0, 1, 2, … 递推公式： 其中 L 0 (x) = 1, L 1 (x) = 1- x ， n = 1, 2, … 在 [0,  ] 上带权 正交，即

27 Hermite 多项式 埃尔米特（ Hermite ）多项式 x  (- ,+  ) ， n = 0, 1, 2, … 递推公式： 其中 H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x ， n = 1, 2, … 在 (- ,+  ) 上带权 正交，即

28 作业 教材第 94 页： 7 ， 8 ， 11 补充题：证明下面的结论 性质：设 f(x)  H n ，且首项系数为 a n  0 ，则 f(x) 在 [-1,1] 上的 n-1 次最佳一致逼近多项式为 提示： 第 8 题可利用正交多项式的递推公式 (P. 58, 定理 4, 注 : 该定理只对首项系数为 1 时成立 )