凯里学院数学建模竞赛培训课件 第 1 讲 数学建模与数学建模竞赛 凯里学院理学院 潘东云 2010年5月15日

欢迎大家参加凯里学院数学建模竞赛培训！ 要做好以下几项： （1）认真听课，积极参加讨论。 认真钻研经典模型，自己动手做一些赛题。 （2）爱护教室与机房卫生，养成良好的卫生习惯。 （3）不迟到，不早退，严格要求自己。

欢迎大家参加凯里学院数学建模竞赛培训！ 今天主要介绍： 数学模型与数学建模竞赛。 2 层次分析法。 (1)层次分析法的基本原理 2 层次分析法。 (1)层次分析法的基本原理 (2)层次分析法的基本步骤 (3)应用实例:城市空气质量分析。

数学建模：数学与实际问题的桥梁 Mathematical Modeling 实际问题 数学 数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的, 作出必要的简化假设，根据对象的内在规律， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模的全过程 表述 现实对象的信息 数学模型 (归纳) 验证 求解 (演绎) 现实对象的解答 数学模型的解答 解释

例1 森林救火 问题 问题分析 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 例1 森林救火 问题 森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。 问题分析 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定. 存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小

问题分析 关键是对B(t)作出合理的简化假设. 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形 t B 分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt. B(t2) t2 t1

模型假设 1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度） 2）t1tt2,  降为-x (为队员的平均灭火速度） 3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径 r与 t 成正比 假设1）的解释 r B  面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.

模型建立 假设1） 假设2） b t1 t t2 假设3）4） 目标函数——总费用

模型建立 模型求解 结果解释 目标函数——总费用 其中 c1,c2,c3, t1,  ,为已知参数 求 x使 C(x)最小 b t1 t2 t 结果解释  / 是火势不继续蔓延的最少队员数

结果解释 模型应用 c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻, ~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度. c1, t1,    x c3 ,   x  c2  x 为什么? 模型应用 c1,c2,c3已知, t1可估计,  ,可设置一系列数值 由模型决定队员数量x

例2 汽车刹车距离 背景与问题 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 例2 汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 背景与问题 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

问题分析 常识：刹车距离与车速有关 10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米) >>车身的平均长度15英尺(=4.6米) “2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同 反应距离 司机状况 制动系统灵活性 反应时间 车速 常数 刹车距离 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… … 制动距离 常数 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。

模型假 设 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变; F d2= m v2/2 F  m 且F与车的质量m成正比

模 型建立 : 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 最小二乘法  k=0.06 车速 (英里/小时) (英尺/秒) 实际刹车距离（英尺） 计算刹车距离（英尺） 刹车时间 （秒） 20 29.3 42（44） 39.0 1.5 30 44.0 73.5（78） 76.6 1.8 40 58.7 116（124） 126.2 2.1 50 73.3 173（186） 187.8 2.5 60 88.0 248（268） 261.4 3.0 70 102.7 343（372） 347.1 3.6 80 117.3 464（506） 444.8 4.3 最小二乘法  k=0.06 计算刹车距离、刹车时间

模 型 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 车速（英里/小时） 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4 (英里/小时) 刹车时间 （秒） 20 1.5 30 1.8 40 2.1 50 2.5 60 3.0 70 3.6 80 4.3 “2秒准则”应修正为 “t 秒准则” 车速（英里/小时） 0~10 10~40 40~60 60~80 t（秒） 1 2 3 4

数学建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 模 型 准 备 形成一个 比较清晰 的‘问题’ 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 有时需查资料或到有关单位了解情况等。

数学建模的一般步骤 针对问题特点和建模目的 模 型 假 设 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 模 分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素， 尽量将问题均匀化、线性化。 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 模 型 构 成 发挥想像力 使用类比法 分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度 尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤 各种数学方法、软件和计算机技术 模型 求解 模型 分析 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 模型 检验 包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。 模型 分析 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 模型 检验 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性 模型应用

数学：科学的皇后与仆人 自然科学 （理学） 工程技术科学 　（工学） 思维科学 （哲学） 　数学？ 人文社会科学 其他科学

数学建模教学活动的起源 大学数学课程是学生掌握数学工具的主要课程、培养理性思维的重要载体和接受美感熏陶的一条途径 数学教育本质上是一种素质教育，大学数学教育的质量直接关系到一个国家大学人才培养的素质和能力 教育特别是大学教育应该及时反映并满足科技和社会发展的需要 一些西方国家的大学在二十世纪六、七十年代开始开设《数学模型》或《数学建模》课程 我国在八十年代初将《数学建模》引入课堂

  大学生数学建模竞赛 1 大学生数学建模竞赛的出现 1、  大学生数学建模竞赛的出现

1985年以前，美国只有一种大学生数学竞赛 （The William Lowell Putnammathematical Competition ) 不足：1、参赛者要有训练 2、许多学生对数学的实际应用有兴趣 3、过分强调纯粹性、形式方法，缺少应用内容 4、不用计算机还涉及到对数学的看法

有人认为，应用数学、计算数学、统计数学和纯粹数学一样是数学研究和数学课程教学的重要组成部分，它们是一个有机的整体。有人形象的把这四者 表为一四面体的四个顶点（见下页图）

P表示纯粹数学，A表示应用数学、C表示计算数学、S表示统计数学 如图所示 四面体表示数学整体 P A S C

数学建模竞赛不同于其它各种具有单个学科如：数学竞赛、物理竞赛、计算机程序设计竞赛等的竞赛，因为这些竞赛只涉及到一门学科、甚至一门课程的知识，而数学建模竞赛涉及到数学学科、计算机学科等其他许多学科的知识，仅数学学科就涉及到高等数学、线性代数、概率统计、计算方法、运筹学、图论、数学软件等方面的知识。

中 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM)  创新意识  团队精神  重在参与  公平竞争 欢迎参与全国高校规模最大的学生课外科技活动， 一次参赛，终身受益！

竞赛内容与形式 内容 形式 标准 宗旨 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题 答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文 形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛 可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等), 但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论） 标准 假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。 宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争

数学建模竞赛CUMCM近年题目 年份 A题 B题 C题 D题 2003 SARS的传播 露天矿生产的车辆安排 抢渡长江 2004 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理 饮酒驾车 公务员招聘 2005 长江水质的评价和预测 DVD在线租赁 雨量预报方法的评价 2006 出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价和疗效的预测 易拉罐形状和尺寸的最优设计 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 2007 中国人口增长预测 乘公交，看奥运 手机“套餐”优惠几何 体能测试时间安排 2008 2009 数码相机定位 制动器试验台的控制方法分析 高等教育收费标准探讨 眼科病床的合理安排 地面搜索 NBA赛程的分析与评价

CUMCM题目特点 题目来源: 实际研究课题的简化、改编；有实际背景问题的编撰；合适的社会热点（或兴趣）问题 题目背景尽量通俗易懂，涉及的专业知识不深 题目需要的数学知识一般不超过本科的三门主干课（非数学专业）内容及统计、优化、计算等基本方法；专科题目力求少用大学数学内容 解题所用的数学方法尽量多元化、综合化 可以查阅到一些参考材料，但是无法照搬现成文献 兼顾数据的处理与数据的收集

竞赛培养创新精神和综合素质 赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力 综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力 解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力 没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神

竞赛培养创新精神和综合素质 三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力 完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力 分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神

竞赛培养创新精神和综合素质 数学建模竞赛是大学阶段除毕业设计外难得的一次 “真刀真枪”的训练，相当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况 丰富、活跃了广大同学的课外生活 为优秀学生脱颖而出创造了条件

数学建模竞赛的赛后效果 竞赛三阶段: 赛前培训、三天竞赛、赛后继续 2004年的“饮酒驾车”赛题是让学生分析、估计司机饮用少量酒后多长时间驾车才符合交通规则 重庆某校师生与当地交警大队联系，由交警大队安排司机做试验，由师生分析：根据司机肇事时的血液酒精浓度推测他饮用了多少酒；根据司机肇事若干时间后的血液酒精浓度推测他肇事时的浓度 该成果参加第九届“挑战杯”全国大学生课外学术科技作品竞赛并获奖

数学建模竞赛的赛后效果 2006年赛题“出版社的资源配置”由高教社提供的素材形成 赛后高教社批准了与该题相关的研究项目，吸取竞赛优秀论文的创意和一些大学生参加，进行实用研究 “一次参赛，终生受益” 学生在学习专业课、毕业设计阶段及进入社会后的发展中表现出明显的优势，不少人免试读研，得到用人单位和研究生导师的普遍欢迎

2、怎样参加全国大学 生数学建模竞赛

大学生数学建模竞赛大体上可分为三个阶段： （1）赛前培训 （2）竞赛三天的拼搏 （3）赛后的继续

数学建模竞赛的准备（培训）内容 1）建模的基本概念和方法（数学建模、数学实验课程） 2）建模过程中常用的数学方法(微积分,代数,概率外)，主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。 只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。

数学建模竞赛准备的（培训）内容 3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，如 MATLAB ,MATHEMATICA, LINDO等。 4）历届赛题的研讨。 5）撰写数学建模论文的练习。 参考书 数学模型(第3版),姜启源等(高等教育出版社,2003年) 大学数学实验, 姜启源等(清华大学出版社, 2005年) 竞赛优秀论文,见<工程数学学报>(2001年起)及 <数学的实践与认识> (2001年前)

学生要想在数学建模竞赛中取得好成绩，除了具有以上数学知识外，还要有较好的计算机编程能力、网上查阅资料的能力及论文写作能力等，此外，他们还应有接触各种新知识的环境和喜好。因为数学建模的竞赛题远非只是一个数学题目，而更多是一个初看起来与数学没有联系的实际问题，它涉及到很多知识,有些还是当前尚未解决的问题，如：飞行管理问题、DNA排序问题等就是较有代表性的数学建模考试题目。通常数学建模题目只给出问题的描述和要达到的目的，参赛学生要做的事情是将问题用数学语言转化成数学问题，然后在数学的背景下使用计算机或数学软件来求解，最后再根据所得的解来解释和检验所给的实际问题。

与数学竞赛不同的是，数学建模赛题没有标准的正确答案，试卷的评分标准是看学生解决问题和创新的能力。因此要做好一个数学建模问题并不是一件容易的事情，需要学生很多的知识以及对所学各种知识的综合运用，对学生是一个挑战。

数学建模竞赛可以培养团队精神与合理表达自己思想和综合运用知识的能力等，所有这些对提高学生的素质都是很有帮助的，且非常符合当今提倡素质教育精神。此外，国家已经把数学建模竞赛作为教育部认可的少数国家级竞赛之一，这使得参加数学建模的高等学校和参赛人数在快速增多,各学校的领导也更加重视这一赛事, 我国还有很多省市常把每年一次的全国大学生数学建模竞赛结果作为衡量高校教学水平的一个重要指标,而在考研和毕业找工作方面,很多研究生导师或应聘单位也更愿意要从事过数学建模竞赛的学生。

我国从1992年起每年都举行一次全国大学生数学建模竞赛，它的具体参赛时间为每年9月下旬中的某三天，参赛时间长度为3昼夜，报名是以学校为单位报名的，准备参赛的学生可以关注理学院的网站了解报名事项。数学建模竞赛是按参赛队为单位来参赛的，每个参赛队由三个同学组成，且所有学过数学建模课程或了解数学建模的在校各年级的大学生都可以报名参赛。不过能在这项赛事中取得好成绩的学生往往是那些具有知识面较广、喜欢接受新鲜事物和挑战、自学能力强、 能吃苦、喜爱思考或在数学、计算机和文字表达方面至少有一方面突出的学生。

有关数学建模竞赛的信息和资料在如下网站上可以看到: http://www.comap.com/    (国际数模)  http://www.shumo.com/main/   (中国数学建模) http://www.mcm.edu.cn/   (全国大学生数学建模竞赛主页) http://www.mathbar.com/index.htm  (数学资源)

2010年凯里学院数学建模培训参赛计划 5月5日—14日 发通知，学生报名， 潘东云 5月5日 拟定活动计划方案 罗永超、潘东云 时间 内容 完成人 备注 5月5日—14日 发通知，学生报名， 潘东云 5月5日 拟定活动计划方案 罗永超、潘东云 5月15日 8：30——11：30 数学建模竞赛培训启动 第一次讲座 罗永超 竞赛动员会 实验楼13509 5月19日晚上 7：00-10：00 建模基础 洪震声 5月22日 数学建模及竞赛介绍,层次分析法 5月23日 线性规划 罗 江 5月29日 优化理论 5月30日 6月5日 常用数学建模软件LINDO及应用 数学实验室 6月6日 6月12日 6月13日 选拔赛，组队 确定参赛队员

Thank you for your attendance! 最后，祝大家 在数学建模活动中 不断提高综合素质， 在数学建模竞赛中 　　在数学建模活动中 　　　　　　不断提高综合素质， 　　在数学建模竞赛中 　　　　　　取得更好的成绩！ That’s all. Any Questions?