4.4 最佳化問題

4.4 最佳化問題 學習目標 求解實際生活的最佳化問題。 第四章　導數的應用 P.4-28

解最佳化問題 微積分最常見的應用之一就是決定最佳值 (極小值或極大值)，在研讀解最佳化問題的一般方法之前，先考慮下例。 第四章 導數的應用 第四章　導數的應用 P.4-28

範例 1　求最大體積 某製造商想設計一個無蓋的方盒，底部為正方形且外表總面積為108 平方吋 (見圖 4.32)。試問使盒子具有最大體積的尺寸為何？ 第四章　導數的應用 P.4-28 圖4.32

範例 1 求最大體積 （解） 因為底部為正方形，則體積為 V ＝ x2h 主要方程式 範例 1　求最大體積 （解） 因為底部為正方形，則體積為 V ＝ x2h 主要方程式 此方程式稱為主要方程式 (primary equation)，因為它列出即將最佳化變量的公式。且方盒的表面積為 S ＝ (底面積) ＋ (四個面的面積) 108 ＝ x2 ＋ 4xh 次要方程式 第四章　導數的應用 P.4-28

範例 1 求最大體積 （解） 因為 V 要為最佳化，最好將 V 以只含單一變數的函數來表達，所以在次要方程式求解以 x 表示的 h，即 範例 1　求最大體積 （解） 因為 V 要為最佳化，最好將 V 以只含單一變數的函數來表達，所以在次要方程式求解以 x 表示的 h，即 再代入主要方程式 第四章　導數的應用 P.4-28

範例 1　求最大體積 （解） 在求可得 V 之極大值的 x 值之前，先要決定體積函數的可行定義域，也就是在本題中有意義的 x 值為何？因為 x 必須為非負值，又底面積 (A ＝ x2) 最大為 108，所以可行定義域為 以本章前三節的方法，得知體積函數在 x ＝ 6 吋與 h ＝ 3 吋時有絕對極大值 (在區間 上)。 第四章　導數的應用 P.4-28

檢查站 1 在範例 1 ，當　　　　　時，畫出　　　　　 。驗算體積函數在 x ＝ 6 時有絕對極大值，並求其最大的體積。 第四章　導數的應用 P.4-28

代數技巧 範例 1 的計算過程可參考本章代數複習範例1(c)。 第四章　導數的應用 P.4-28

解最佳化問題 遇到範例 1 這類的問題時，請確定了解問題再著手，常有些學生因太急於解題，隨便代個公式而遭遇困難。 譬如在範例 1 中，表面積為 108 平方吋的無蓋方盒其實有無限多種，該思考何種形狀的盒子可得最大的體積，是高的、矮胖的或是較立方體的盒子 (見圖4.33)？有時可先計算一些形狀的體積，以便對最佳化尺寸應為多少有較好的概念。 第四章　導數的應用 P.4-28~4-29

解最佳化問題 第四章　導數的應用 P.4-29 圖4.33

解最佳化問題 在求解範例 1 時有幾個步驟：首先是畫個草圖並辨認出已知量與未知量，第二步則對欲最佳化的變量找出主要方程式，然後以次要方程式來改寫主要方程式為單變數的函數，最後利用微積分技巧來求得最佳值。 第四章　導數的應用 P.4-29

解最佳化問題 摘要如下。 第四章　導數的應用 P.4-29

學習提示 當執行步驟 5 時請記得，連續函數 f 在閉區間中的極大值或極小值僅可能發生在臨界數或兩端點，這些點的最大函數值即為所求的極大值，最小函數值即為所求極小值。 第四章　導數的應用 P.4-29

範例 2　求最小距離 求在圖形 y ＝ 4 － x2 上最靠近 (0, 2) 的點。 第四章　導數的應用 P.4-29

範例 2 求最小距離 （解） 1. 由圖 4.34 可知在圖形上有兩點與 (0, 2) 的距離最短。 第四章 導數的應用 範例 2　求最小距離 （解） 1. 由圖 4.34 可知在圖形上有兩點與 (0, 2) 的距離最短。 第四章　導數的應用 P.4-29~4-30 圖4.34

範例 2 求最小距離 （解） 2. 欲求最小距離 d，因此主要方程式為 主要方程式 範例 2　求最小距離 （解） 2. 欲求最小距離 d，因此主要方程式為 　　　 主要方程式 3.利用次要方程式 y ＝ 4 － x2，可將主要方程式改寫為單變數函數。 當根號內的式子最小時， d 也最小， 所以問題化簡為求f(x) ＝ x4 － 3x2 ＋ 4 的極小值。 第四章　導數的應用 P.4-30 圖4.33

範例 2 求最小距離 （解） 4. f 的可行定義域為整個實數線。 5. 為了求 f(x) 的極小值，首先求 f 的臨界數。 範例 2　求最小距離 （解） 4. f 的可行定義域為整個實數線。 5. 為了求 f(x) 的極小值，首先求 f 的臨界數。 依據一階導數檢定法可得在 x ＝ 0 處有相對極大，在 和 處同時有相對極小值。所以圖形 y ＝ 4 － x2 最靠近 (0, 2) 的點為 第四章　導數的應用 P.4-30

檢查站 2 求在圖形 y ＝ 4 － x2 上最靠近 (0, 3) 的點。 第四章　導數的應用 P.4-30

代數技巧 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例1(b)。 第四章　導數的應用 P.4-30

範例 3　求最小面積 一矩形紙將保留 24 平方吋的打字區，頁面上下須有 吋寬的空白，左右兩邊須有 1 吋寬的空白。試問怎樣尺寸的頁面可使得紙張用量最少？ 第四章　導數的應用 P.4-30

範例 3　求最小面積 （解） 1. 紙張的格式如圖 4.35。 第四章　導數的應用 P.4-30 圖4.35

範例 3 求最小面積 （解） 2. 令 A 為紙張最小化時的面積，則主要方程式為 A ＝ (x ＋ 3) (y ＋ 2) 主要方程式 範例 3　求最小面積 （解） 2. 令 A 為紙張最小化時的面積，則主要方程式為 A ＝ (x ＋ 3) (y ＋ 2) 主要方程式 3. 空白邊緣內的打字區為 24 ＝ xy 次要方程式 解此式可得 y 為 第四章　導數的應用 P.4-30

範例 3　求最小面積 （解） 代入主要方程式可得 第四章　導數的應用 P.4-30~4.31

範例 3 求最小面積 （解） 4. 因為 x 須為正數，所以可行定義域為 x > 0。 5. 為了找最小面積，先找 A 的臨界數。 範例 3　求最小面積 （解） 4. 因為 x 須為正數，所以可行定義域為 x > 0。 5. 為了找最小面積，先找 A 的臨界數。 第四章　導數的應用 P.4-31

範例 3　求最小面積 （解） 因為 x ＝ －6 不在可行定義域內，所以只須考慮 x ＝ 6。再依據一階導數檢定法可得在 x ＝ 6 處， A 有相對極小值，所以頁面的大小應為 第四章　導數的應用 P.4-31

檢查站 3 一矩形紙將保留 54 平方吋的打字區，頁面上下須有 吋寬的空白，左右兩邊須有 1 吋寬的空白。試問怎樣尺寸的頁面可使得紙張用量最少？ 第四章　導數的應用 P.4-31

解最佳化問題 雖然本節的三個例子相當簡單，但是其主要方程式其實很複雜，而現實世界所牽涉的方程式更比這三個例子更繁雜。別忘了，本節的學習目的就是利用微積分來解決看似困難的方程式。 另外，畫出主要方程式的圖形也有助於解題。譬如，圖 4.36 為範例 1 到 3 主要方程式的圖形。 第四章　導數的應用 P.4-31

解最佳化問題 第四章　導數的應用 P.4-31 圖4.36

總結 (4.4 節) 寫出最佳化問題的主要方程式的意義，參考範例 1、2 與 3。 寫出函數可行定義域的意義，參考範例 1、2 與 3。 寫出最佳化問題的次要方程式的意義，參考範例 1、2 與 3。 寫出解最佳化問題的準則，參考範例 2 和 3。 描述如何在現實生活的實例應用最佳化的解法，來求得紙張用量最小的尺寸 (範例 3)。 第四章　導數的應用 P.4-32