數位訊號處理 第8章 FIR數位濾波器設計

大綱 8.1 FIR濾波器規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.4 總結與參考文獻 8.1.1 絕對規格 8.1.2 相對規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.2.1 脈衝響應 8.2.2 頻率響應 8.2.3 零點-極點分佈 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.3.1 窗口設計技巧 8.3.2 窗口函數 8.3.3 設計範例 8.4 總結與參考文獻

FIR數位濾波器設計步驟 實現FIR數位濾波器設計的三個步驟： 規格：依據應用決定濾波器規格。 逼近法：運用到目前為止所學的差分方程式、系統函數H(z)或是脈衝響應h[n]等型式敘述濾波器，並使此描述式展現的系統功能可逼近所給的規格。 實現：根據濾波器描述式，使用硬體或電腦軟體來實現此濾波器。

典型的數位低通濾波器規格(1) 一典型的低通濾波器的規格示意圖。 1 通帶漣波 過渡帶 阻帶漣波  π  Rp As 分貝

典型的數位低通濾波器規格(2) 一典型的低通濾波器的絕對規格參數： 頻帶範圍[0，Ωp]稱為通帶(passband) ，而δ1是理想通帶響應可接受的容忍度(或漣波)。 頻帶範圍[Ωs，π]稱為阻帶(stopband)，而δ2是所對應的容忍度(或漣波)。 頻帶範圍[Ωp， Ωs]稱為過渡帶(transition band)，且此過渡帶中對於強度響應沒有限制。

典型的數位低通濾波器規格(3) 一典型的低通濾波器的相對規格參數： 絕對規格中 等於(1+δ1)，因此絕對與相對兩種規格中的參數關係為 Rp是單位為dB之通帶漣波。 As是單位為dB之阻帶衰減(attenuation)。 絕對規格中 等於(1+δ1)，因此絕對與相對兩種規格中的參數關係為 (8.1) (8.2)

範例8-1 在某一濾波器的規格中通帶漣波是0.25 dB，而阻帶衰減是50 dB，決定δ1及δ2 。 利用(8.1)式可得到 利用(8.2)式可得到

範例8-2 給定通帶容忍度δ1 = 0.05及阻帶容忍度δ2 = 0.003，決定通帶漣波Rp及阻帶衰減 As。 從(8.1)式可得通帶漣波 從(8.2)式可得阻帶衰減

大綱 8.1 FIR濾波器規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.4 總結與參考文獻 8.1.1 絕對規格 8.1.2 相對規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.2.1 脈衝響應 8.2.2 頻率響應 8.2.3 零點-極點分佈 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.3.1 窗口設計技巧 8.3.2 窗口函數 8.3.3 設計範例 8.4 總結與參考文獻

線性相位FIR濾波器之脈衝響應(1) 脈衝響應長度(或區間)為M，或稱號(M1)階的FIR濾波器頻率響應為 固定相位延遲的線性相位可表示為 其中α是一個固定的相位延遲，而h[n]必須是對稱的；其脈衝響應為： 因此h[n]對稱於α，所以α是對稱的指標。 (8.6)

線性相位FIR濾波器之脈衝響應(2) 脈衝響應有兩種可能的對稱型式： M是奇數：此情況下α=(M -1)/2是一個整數。 h[n] M是奇數 (M 1)/2 M 1 n h[n] M是偶數 M/2  1 M/2 M 1 n

線性相位FIR濾波器之脈衝響應(3) 非固定相位延遲的線性相位FIR濾波器之相位響應 滿足條件 這是一條不通過原點的直線，而α不是一個固定的相位延遲，但 是固定的，稱為群體延遲(group delay) ，因此α稱為一固定群體延遲(constant group delay)，一個群體的頻率是以固定的比例延遲，其中一些頻率可能得到較多的延遲而其它頻率則延遲較少。

線性相位FIR濾波器之脈衝響應(4) 針對此種型式的線性相位，其脈衝響應為 上式說明脈衝響應h[n]是反對稱，對稱指標是 。 其脈衝響應有兩種型式： M是奇數：此情況下α=(M 1)/2是一個整數。注意h[α]取樣在α= (M 1)/2處必須等於零，也就是說 h[(M 1)/2] = 0。 M是偶數：此情況下α= (M 1)/2不是一個整數。

線性相位FIR濾波器之脈衝響應(5) 固定群體延遲線性相位FIR濾波器之脈衝響應。 M是奇數 h[n]是反對稱 h[(M 1)/2] = 0 (M 1)/2 M 1 n M是偶數 h[n] M/2  1 M/2 M 1 n

線性相位FIR濾波器之頻率響應(1) 線性相位FIR濾波器脈衝響應有對稱與反對稱兩種情況，而其長度M有奇數與偶數兩種情況，因此線性相位FIR濾波器有四種型式。因此，可以將H() 寫成 其中Hr()是振幅響應(amplitude response)函數而不是強度響應(magnitude response)函數。振幅響應是一個實數函數，但不像強度響應它是正數，振幅響應可能是正數也可能是負數。相位響應結合強度響應是一個非連續函數，然而相位響應結合振幅響應是一個連續線性函數。 (8.10)

範例8-3 令脈衝響應為 ，計算頻率響應並繪圖。 頻率響應函數為 從上式可得強度和相位響應為 令脈衝響應為 ，計算頻率響應並繪圖。 頻率響應函數為 從上式可得強度和相位響應為 相位響應是片段線性(piecewise linear)

範例8-3(續) 振幅響應及其相對應的相位響應為 此種情況下相位響應是真正線性(truly linear)。

範例8-3(續) 強度響應(magnitude response) 振幅響應(amplitude response) |H()| Hr()   片段線性相位響應 (piecewise linear phase response) 片段線性相位響應 (piecewise linear phase response) 線性相位響應(linear phase response) 線性相位響應(linear phase response) H () H ()   單位是

線性相位FIR濾波器型式I 線性相位FIR濾波器型式I ：脈衝響應偶對稱，奇數M 。 此情況下 β= 0、 α= (M 1)/2是一整數以及h[n] = h[M  1n], 0  n  M1 ，其頻率響應為 其中從h[n]所得到的序列a[n]為 振幅響應為 (8.11) (8.12) (8.13)

線性相位FIR濾波器型式II (1) 線性相位FIR濾波器型式II：脈衝響應偶對稱，偶數M。 其中 (8.14) (8.15) 此情況下，β = 0、h[n] = h[M1n], 0  n  M1，但α= (M 1)/2不是整數，其頻率響應為 其中 (8.14) (8.15)

線性相位FIR濾波器型式II (2) 因此振幅響應為 (8.16) 不管任何b[n]或h[n]，在 =π時可以得到 故此型式(即h[n]偶對稱，偶數M)不能用在高通或帶止濾波器。 (8.16) (8.17)

線性相位FIR濾波器型式III (1) 線性相位FIR濾波器型式III ：脈衝響應奇對稱，奇數M。 此情況下，β=π/2、α= (M 1)/2是一個整數、h[n] = h[M  1 n], 0  n  M 1而且h[(M 1)/2] = 0，其頻率響應為 其中 (8.18) (8.19)

線性相位FIR濾波器型式III (2) 因此振幅響應為 不管任何c[n]或h[n]，在Ω = 0和Ω =π處 Hr(Ω) = 0且e jπ/2 = j代表jHr(Ω)是純虛數，因此這種的濾波器不適合用來設計低通濾波器或高通濾波器。但是此型式卻可用來近似理想的數位Hilbert轉換器和微分器。 (8.20)

線性相位FIR濾波器型式IV (1) 線性相位FIR濾波器型式IV ：脈衝響應奇對稱，偶數M。 此型式類似型式II，β=π/2，其頻率響應為 其中 振幅響應為 在Ω = 0處， Hr(0) = 0 且ejΩ/2 = j ，因此這種型式也適合用來設計Hilbert轉換器和微分器。 (8.21) (8.22) (8.23)

線性相位FIR濾波器之零點分佈(1) 令h[n], 0  n  M 1是長度(或區間)為M的濾波器脈衝響應，其系統函數為 有(M  1)個在原點z = 0 的極點和(M  1)個落在z-平面任何地方的零點。 對線性相位FIR濾波器而言，由於h[n]的對稱限制使得這些零點擁有以下對稱性。 假如線性相位的H(z)有一個零點在 ，那麼此H(z)必定有一零點在 。 (8.24)

線性相位FIR濾波器之零點分佈(2) 因此一個常看到的零點星狀圖(zero constellation)是 、 、 和 四個一組的方式分佈。 、 和 四個一組的方式分佈。 1/ z1* z1 Im z1* 1/ z1 Re

線性相位FIR濾波器之零點分佈(3) 依據前述零點分佈特性，幾個特例分析如下： 這些對稱性可以用來實現具有線性相位區域的串聯形式。 當r = 1或1/r = 1時，零點是在單位圓上並且以ejθ和e jθ是成對的方式出現。 當θ= 0或θ=π時，零點是在實數軸上並且以r和1/r成對的方式出現。 當r = 1且θ= 0或θ=π時，零點位於z = 1或z = 1處。 這些對稱性可以用來實現具有線性相位區域的串聯形式。

範例8-4 線性相位FIR濾波器型式I： ，決定振幅響應Hr(Ω)和H(z) 的零點位置。 其M = 7為奇數且h[n]對稱於α=(7-1)/2=3。 其振幅響應為

範例8-4 (續) 線性相位FIR濾波器型式I： M = 7 偶對稱 2個z = 1 的零點 脈衝響應(impulse response) Type-I振幅響應(amplitude response) 偶對稱 h[n] Hr() 單位是 n  係數a[n] 零點星狀圖(pole-zero plot) 虛部 a[n] 2個z = 1 的零點 n 實部

範例8-5 其M = 8為偶數且h[n]對稱於α=(8-1)/2=3.5。 線性相位FIR濾波器型式II： ，決定振幅響應Hr(Ω)和H(z) 的零點位置。 其M = 8為偶數且h[n]對稱於α=(8-1)/2=3.5。 其振幅響應為

範例8-5 (續) 線性相位FIR濾波器型式II： M = 8 偶對稱 7個z = 0 的極點 脈衝響應(impulse response) Type-II振幅響應(amplitude response) 偶對稱 h[n] Hr() 單位是 n  係數b[n] 零點星狀圖(pole-zero plot) 虛部 7個z = 0 的極點 b[n] n 實部

範例8-6 ，決定振幅響應Hr(Ω)和H(z) 的零點位置。 其M = 7為奇數且h[n]對稱於α=(7-1)/2=3。 其振幅響應為 線性相位FIR濾波器型式III： ，決定振幅響應Hr(Ω)和H(z) 的零點位置。 其M = 7為奇數且h[n]對稱於α=(7-1)/2=3。 其振幅響應為

範例8-6 (續) 線性相位FIR濾波器型式III： M = 7 奇對稱 6個z = 0 的極點 脈衝響應(impulse response) Type-III振幅響應(amplitude response) h[n] 奇對稱 Hr() 單位是 n  係數c[n] 零點星狀圖(pole-zero plot) c[n] 虛部 6個z = 0 的極點 n 實部

範例8-7 ，決定振幅響應Hr(Ω)和H(z) 的零點位置。 其M = 8為偶數且h[n]對稱於α=(8-1)/2=3.5 其振幅響應為 線性相位FIR濾波器型式IV： ，決定振幅響應Hr(Ω)和H(z) 的零點位置。 其M = 8為偶數且h[n]對稱於α=(8-1)/2=3.5 其振幅響應為

範例8-7 (續) 線性相位FIR濾波器型式IV： M = 8 奇對稱 7個z = 0 的極點 脈衝響應(impulse response) Type-IV振幅響應(amplitude response) 奇對稱 h[n] Hr() 單位是 n  係數d[n] 零點星狀圖(pole-zero plot) 虛部 7個z = 0 的極點 d[n] n 實部

四種線性相位FIR濾波器的性質 類型 I II III IV h[n]的長度M 奇數 偶數  /2 h[n]的對稱性 偶對稱 奇對稱 /2 h[n]的對稱性 偶對稱 奇對稱 Hr(Ω)以Ω=0的對稱性 Hr(0) 任意 Hr(π) 可適用的濾波器類型 LPF，HPF， BPF，BSF等 LPF，BPF 微分器，Hilbert轉換器 微分器，Hilbert轉換器，HPF

大綱 8.1 FIR濾波器規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.4 總結與參考文獻 8.1.1 絕對規格 8.1.2 相對規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.2.1 脈衝響應 8.2.2 頻率響應 8.2.3 零點-極點分佈 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.3.1 窗口設計技巧 8.3.2 窗口函數 8.3.3 設計範例 8.4 總結與參考文獻

窗口技巧設計FIR濾波器之概念 窗口技巧設計FIR濾波器隱含的基本構想是選擇一個適當的理想頻率選擇濾波器(通常是一個非因果無限區間的脈衝響應系統) ，然後截掉(或窗口化)它的部份脈衝響應得到一個線性相位且是因果的FIR濾波器。 因此本方法所強調的是選擇一個適合的理想濾波器和一個適合的窗口化函數(windowing function) 。 以下主要是以設計FIR低通濾波器說明窗口技巧設計技巧。

窗口技巧設計FIR低通濾波器 (1) 窗口技巧設計FIR低通濾波器的三個步驟： 設定一理想的低通濾波器之頻率響應為 其中c為截止頻率，α為取樣延遲 ，阻帶上的響應為零， c <  。 (8.25)

窗口技巧設計FIR低通濾波器(2) 2. 此理想濾波器之頻率響應經過離散時間傅立葉轉換逆運算，可得到理想的低通濾波器之脈衝響應為 2. 此理想濾波器之頻率響應經過離散時間傅立葉轉換逆運算，可得到理想的低通濾波器之脈衝響應為 而hd[n]是對稱於α的序列 。 (8.26)

窗口技巧設計FIR低通濾波器(3) 考量一個長度為M的因果線性相位的FIR濾波器，其脈衝響應h[n]必須符合以下條件： (8.27) 此脈衝響應h[n]可由hd[n]和一個窗口函數w[n]相乘得到 其中窗口函數定義為 (8.27) (8.28) (8.29)

窗口技巧設計FIR低通濾波器之頻域分析(1) 在頻域中因果FIR濾波器響應H()是由Hd()和窗口響應w()的週期旋積運算得到。 ⊛ (8.31) 過渡帶寬 漣波 ⊛ 週期旋積 漣波 主瓣 旁瓣 主瓣寬

窗口技巧設計FIR低通濾波器之頻域分析(2) 觀察前述一個典型的窗口化響應示意圖，可得到以下論點： 由於窗口序列w(n)長度有限並且等於M，它的響應W()有一寬度與1/M成比例的主瓣(main lobe)，同時有高度較小的旁瓣(side lobe)。 窗口化產生的響應H()可視為一個理想響應Hd()的瑕疵版本。 W()之主瓣在Hd()產生一個過渡帶，過渡帶的寬度與1/M成比例，主瓣愈寬，過渡帶的寬度也愈寬。 W()之旁瓣在Hd() 通帶和阻帶內產生形狀類似的漣波。

窗口類型 接下來討論以下幾種窗口函數： 矩形窗口 Bartlett窗口 Hanning窗口 Hamming窗口 Blackman窗口 Kaiser窗口

矩形窗口(1) 矩形窗口是最簡單的窗口函數，但效能最差，其函數定義為 頻率響應函數為 其中Wr(Ω)是振幅響應。 (8.32) (8.33)

≃ 矩形窗口(2) 最後以矩形窗口完成設計之濾波器的振幅響應Hr()可以使用積分窗口振幅響應近似表示為 積分振幅響應之定義與使用請參閱參考文獻【課本編號：3 , 9 】。

矩形窗口(3) M = 51的矩形窗口函數以及其振幅響應。 矩形窗口 : M = 51 w[n] n 振幅響應(amplitude response) 振幅響應(amplitude response) 分貝 Wr()   單位是

矩形窗口(4) 以M = 51的矩形窗口函數設計FIR低通濾波器。 約21 dB的阻帶衰減 理想脈衝響應(ideal impulse response) 矩形窗口 : M = 51 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 約21 dB的阻帶衰減 分貝 h[n] hd[n]w[n] =h[n] 1.8/M  n 單位是

矩形窗口(5) 矩形窗口設計方式存有兩個問題： 實用上21 dB的最小阻帶衰減是不夠的。 矩形窗口直接截斷無限長度的hd(n)導致Gibbs現象。假如增加M，每一個旁瓣的寬度將減小，但每一旁瓣下的面積將維持不變，因此旁瓣的相對振幅將維持不變，且最小阻帶衰減將維持在21 dB，這表示所有靠近通帶邊緣的漣波會高起。

矩形窗口之Gibbs 現象 使用(8.27)式之積分振幅響應表示實際濾波器之振幅響應說明Gibbs 現象，Gibbs 現象來自於矩形窗口具有一個從0到1(或從1到0)的突然轉換。 M = 7 M = 21 積分振幅響應 積分振幅響應   M = 51 積分振幅響應 M = 101 積分振幅響應 單位是  

Bartlett窗口(1) 矩形窗口具有一個從0到1(或從1到0)的突然轉換造成Gibbs 現象，Bartlett提出一個轉換較為和緩的三角形窗口，其序列給定為

Bartlett窗口(2) M = 51的Bartlett窗口函數以及其振幅響應。 Bartlett(三角形)窗口 : M = 51 w[n] n 分貝 Wr()   單位是

Bartlett窗口(3) 以M = 51的Bartlett窗口函數設計FIR低通濾波器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Bartlett(三角形)窗口 : M = 51 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  單位 n

Hanning窗口(1) 以提昇餘弦函數定義的Hanning窗口函數：

Hanning窗口(2) M = 51的Hanning窗口函數以及其振幅響應。 Hanning窗口 : M = 51 w[n] n 振幅響應(amplitude response) 振幅響應(amplitude response) 分貝 Wr()   單位是

Hanning窗口(3) 以M = 51的Hanning窗口函數設計FIR低通濾波器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Hanning窗口 : M = 51 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  n 單位是

Hamming窗口(1) Hamming窗口類似於Hanning窗口但是有小量的不連續，此窗口函數給定為

Hamming窗口(2) M = 51的Hamming窗口函數以及其振幅響應。 小量不連續 Hamming窗口 : M = 51 w[n] 振幅響應(amplitude response) 振幅響應(amplitude response) 分貝 Wr() 單位是  

Hamming窗口(3) 以M = 51的Hamming窗口函數設計FIR低通濾波器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Hamming窗口 : M = 51 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  n 單位是

Blackman窗口(1) Blackman窗口類似Hamming窗口與Hanning窗口，但是多了一個二次諧波項且給定為

Blackman窗口(2) M = 51的Blackman窗口函數以及其振幅響應。 Blackman窗口 : M = 51 w[n] n 振幅響應(amplitude response) 振幅響應(amplitude response) 分貝 Wr()   單位是

Blackman窗口(3) 以M = 51的Blackman窗口函數設計FIR低通濾波器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Blackman窗口 : M = 51 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  n 單位是

Kaiser窗口(1) Kaiser窗口函數定義為 其中 是修正型零階Bessel函數，而β是一個由M所決定的參數，且可以被選擇來產生不同的過渡帶寬度和接近最佳的阻帶衰減。 Kaiser窗口是最有用且最佳化窗口中的一種，針對所給定的阻帶衰減能夠提供一個大的主瓣的觀點來看它是最佳的(具有最陡的過渡帶)。

Kaiser窗口(2) Kaiser窗口對相同的M可以提供不同的過渡帶寬度，此性質是其它窗口所缺乏的。例如 β=5.658時，過渡帶寬度等於7.8π/M且最小阻帶衰減等於60dB。 β=4.538時，過渡帶寬度等於5.8π/M且最小阻帶衰減等於50dB。

Kaiser窗口(3) Kaiser窗口設計方程式： (8.40) (8.41) 正規化過渡帶寬度為 f = (s  p)/2 。 濾波器階數 參數 (8.40) (8.41)

Kaiser窗口(4) M = 51 且β=5.658的Kaiser窗口函數以及其振幅響應。 Kaiser窗口 : M = 51 w[n] 振幅響應(amplitude response) 振幅響應(amplitude response) 分貝 Wr()   單位是

Kaiser窗口(5) 以M = 51且β=5.658的Kaiser窗口函數設計FIR低通濾波器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Kaiser窗口 : M = 51 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  n 單位是

常用的窗口函數特徵表 下表列述常用的窗口函數設計濾波器之過渡帶寬度的近似值與正確值。其中過渡帶寬度和阻帶衰減是往下增加的，因此Hamming窗口函數似乎是許多應用的最佳選擇。 表8.1 常用的窗口函數特徵總覽 窗口名稱 過渡帶寬度 最小阻帶衰減 近似值 正確值 矩形 4/M 1.8/M 21 dB Bartlett 8/M 6.1/M 25 dB Hanning 6.2/M 44 dB Hamming 6.6/M 53 dB Blackman 12/M 11/M 74 dB

範例8-8 設計一個數位FIR低通濾波器，其規格如下： 從表8.1中可知， Hamming窗口與Blackman窗口可以提供至少50 dB的阻帶衰減，在此選用Hamming窗口函數，因為Hamming窗口可以提供較小的過渡帶，即濾波器階數較小。 濾波器階數估算： M > 6.6/(s p) = 66 選取M = 67，依據先前窗口設計技巧可得到脈衝響應。 本範例參考文獻[1, 2]

範例8-8(續) 檢視所設計的濾波器的強度響應，其阻帶衰減是52 dB，通帶漣波是0.0394 dB。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Hamming窗口 : M = 67 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  n 單位是

範例8-9 設計一個數位FIR帶通濾波器，其規格如下： 阻帶的下邊界： 通帶的下邊界： 通帶的上邊界： 阻帶的上邊界： 0.8 0.2 0.65 0.35 1 / dB 60 本範例參考文獻[1, 2]

範例8-9(續) 帶通濾波器有兩個過渡帶，在窗口設計中這二個頻帶寬必須相同， Kaiser窗口與Blackman窗口可以提供至少60 dB的阻帶衰減，在此選用Blackman窗口函數。 濾波器階數估算：M > 11/(1p 1s) = 74.3 選取M = 75，依據先前窗口設計技巧，首先要計算脈衝響應，其中理想帶通濾波器的脈衝響應可以從兩個相同相位響應的理想低通強度響應獲得，說明如下圖。 理想帶通濾波器的脈衝響應 hd_BP[n] = hd_LP1[n] hd_LP2[n]  c1 c2 ＋ － 理想低通1 理想低通2 理想帶通

範例8-9(續) 檢視所設計的濾波器的強度響應，其阻帶衰減是75 dB。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Blackman窗口 : M=75 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n]  n 單位是

範例8-10 給定一個理想的FIR帶止濾波器的頻率響應： 請使用Kaiser窗口函數設計一個M=45且60dB阻帶衰減的帶止濾波器。 本範例參考文獻[1, 2]

範例8-10(續) 依據先前窗口設計技巧，首先要計算脈衝響應，其中理想帶止濾波器的脈衝響應可以從兩個相同相位響應的理想低通與高通之強度響應獲得，說明如下圖。  c1 c2 ＋ 理想高通 理想低通 理想帶止 理想帶通濾波器的脈衝響應： hd_BS[n] = hd_HP[n] + hd_LP[n] 註：對Hd()做反離散時間傅利葉轉換亦可得到理想脈衝響應。

範例8-10(續) 設計規格中並沒有提供過度帶寬度，由Kaiser的設計方程式(8.29)得知 以M = 45與 = 5.6533設計之強度響應如下圖所示，其最小阻帶衰減小於60dB，所以必須增加β來使衰減增加到60dB，β增加0.3為5.9533。 強度響應(magnitude response) 分貝  單位是

範例8-10(續) M = 45且β= 5.9533的Kaiser窗口函數設計之FIR帶止濾波器。 最小阻帶衰減已達60dB hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Kaiser窗口 : M = 45 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) 分貝 h[n] 最小阻帶衰減已達60dB  n 單位是

範例8-11 使用一個M=21的Hamming窗口設計一個數位FIR微分器，畫出時域和頻域響應的圖形。 給定一個理想的數位微分器之頻率響應為 本範例參考文獻[1, 2]

範例8-11(續) 因M為奇數，因此是一個形式III的線性相位FIR濾波器。然而形式III的Hr(π)=0，所以不是全頻帶的微分器。 具有線性相位的數位微分器之理想脈衝響應為 因M為奇數，因此是一個形式III的線性相位FIR濾波器。然而形式III的Hr(π)=0，所以不是全頻帶的微分器。

範例8-11(續) 以M = 21的Hamming窗口函數所設計之數位FIR微分器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Hamming窗口 : M = 21 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) h[n]  n 單位是

範例8-12 經過反離散時間傅利葉轉換後可得到理想脈衝響應： 使用一個Hanning窗口函數設計一個M = 25的數位Hilbert轉換器。

範例8-12(續) M = 25的Hanning窗口函數設計之數位FIR Hilbert轉換器。 hd[n] 理想脈衝響應(ideal impulse response) Hanning窗口 : M = 25 hd[n] w[n] n n 實際脈衝響應(actual impulse response) 強度響應(magnitude response) h[n] Hr  n 單位是

大綱 8.1 FIR濾波器規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.4 總結與參考文獻 8.1.1 絕對規格 8.1.2 相對規格 8.2 線性相位FIR濾波器特性分析 8.2.1 脈衝響應 8.2.2 頻率響應 8.2.3 零點-極點分佈 8.3 窗口技巧設計FIR濾波器 8.3.1 窗口設計技巧 8.3.2 窗口函數 8.3.3 設計範例 8.4 總結與參考文獻

總結 本章先從一些與設計哲學及設計規格有關的基礎議題開始，這些都可應 用到FIR和IIR濾波器的設計上 。 介紹各種常用的窗口函數。 以範例說明如何使用窗口技巧設計給定規格的FIR濾波器。

參考文獻 V. K. Ingle and J. G. Proakis, Digital Signal Processing using MATLAB, Thomson Learning, Inc. 2007. 余兆棠、陳順智 譯，數位信號處理-使用MATLAB，滄海，2000年12月。 陳后金 編著， 數位信號處理，新文京，2005年6月 。 董紹平、王洋、陳世耕 編著，數位訊號處理基礎，儒林，1993年1月。 具再熙 編著，數位訊號處理基礎_使用Matlab，儒林，2007年3月二版。 85