计算流体力学 (Computational Fluid Dynamics) 袁礼 计算数学所 6月1日起，每周二，五， 9:00-12:00 思源楼708(周二)，计算数学所报告厅(周五)

课程基本情况 学分： 学时: 36 课程性质：专业课 先修课程：《流体力学》、《数理方程》、《数值分析》 学分： 学时: 36 课程性质：专业课 先修课程：《流体力学》、《数理方程》、《数值分析》 课程教材：《计算流体力学》,傅德薰、马延文编，高等教育出版社，2002 参考书目： 《一维流体力学差分方法》, 水鸿寿著,国防工业出版社，1998 《Computational Methods for Fluid Dynamics》, Ferziger and Peric, Springer, 2002 考核形式：平时作业+上机实践 +书面及口头报告

主要授课内容 （一）计算流体力学简介 （二）流体力学方程、模型方程、定解条件 （三）偏微分方程的数值离散方法 模型偏微分方程离散的基础知识，包括离散化方法，差分格式的构造，稳定性分析，模型方程的差分逼近，有限体积法。 （四）高精度差分和数值解的行为分析 （五）代数方程求解 （六）双曲型守恒律及可压缩流的高分辨率格式 Godunov格式, TVD格式, MUSCL格式，NND格式，群速度控制法，WENO格式, Jacobina矩阵的对角化，流通量分裂, Roe格式, 多维问题的离散 （七）不可压缩流的数值方法 人工压缩性法，投影法，SIMPLE方法。 （八）网格生成技术 结构网格的微分方程方法及多块网格、自适应网格和非结构网格介绍。 （九）湍流的数值模拟方法 湍流模型NS方程的差分法，直接数值模拟和大涡模拟简介。

（一）计算流体力学简介 利用数值方法通过计算机求解描述流体流动的数学方程，获得空间和时间离散位置处的数值解，揭示流动的物理规律和研究流动的物理特性的学科。 数学方程: 质量、动量、能量、组分和其他标量的微分(或微分-积分)方程组 形成于20世纪60年代，一直在迅速发展。 在数值方法、计算技术、科学和工程需求发展的推动下，现在发展得更快：应用范围不断扩大，深入到所有与流动有关的领域；从业人员不断增加

计算流体力学的应用范围 航空航天、汽车设计、船舶、环境、生物制药、化学处理、石油天然气、发电系统、电子半导体、涡轮机械、制冷、材料、冶金、能源、聚合物加工、玻璃加工、体育、环境等领域。

应用图例

计算流体力学的要素 数学模型 离散方法 计算网格(也有无网格方法，但尚未成熟) 求解方法 计算结果的后处理 Verification & Validation

数值计算的局限性 总是离散近似解 依赖于模型 离散误差 迭代误差 舍入误差

计算流体力学的发展 高精度、多分辨、高效方法 湍流的直接数值模拟，大涡模拟 化学反应流、多物理问题 自由界面流、多相流、流固相互作用 高温辐射流、磁流体力学 微尺度流 复杂流体 软件需求大，求解问题的复杂程度提高和应用领域扩大 工程分析、设计优化工具

（二）流体力学方程、模型方程、定解条件 2.1 方程的意义 流体运动遵循质量守恒、动量方程和能量守恒 上述三大定律应用于任意流体元： 任意流体元的总量

流体元总量的变化率 控制体固定， 且应用于质量守恒 应用于动量守恒： 应用于能量守恒：

2.2 任意惯性坐标系下的N-S方程 Viscous stress tensor for Newtonian fluid: Implying Stokes hypothesis: and bulk viscosity=0

2.3 直角坐标系下N-S方程 椭圆型或椭圆-双曲型(定常)，双曲-抛物型(非定常) 补充热力学特性和输运特性 数值求解：网格特别密，高分辨解难求 2.3.1 N-S方程的无量纲化： 目的: (1) 与理论和实验的比较 (2) 减小计算误差

2.3.2 Euler 方程 无粘性、热传导、质量扩散 定常：椭圆型，椭圆-双曲混合型，双曲型 非定常：双曲型 数值求解：中等难度

2.3.3 不可压缩粘性流N-S方程 不可压的定义 椭圆型 数值方法不同于可压缩流的方法

2.4 模型方程 2.4.1 线性对流方程(单波方程)： 特征线 C： 解： 波形保持不变

2.4 模型方程（续） 2.4.2 热传导方程： 扰动波以无限速度传播

2.4 模型方程（续） 2.4.3. 线性Burgers方程： 扰动波以有限速度传播，但波形不能保持

2.4 模型方程（续） 2.4.4 非线性Burgers方程： N-S方程的模型 当μ很小时，分辨大梯度解要求极多的网格数和极小的时间步长！

2.5双曲型方程组的初边值问题 2.5.1. 双曲型的定义 非线性守恒律组： 双曲，椭圆，混合型 全部为实特征值且对应有线性无关的特征相向量→双曲型 A=RΛ L 所有特征值都是复数→椭圆型 特征值既有实数又有复数→混合型

2.5.2 特征方程 考虑一维非定常等熵流的方程：

2.5.3 边界条件 考虑一维Euler方程： 提适定边界条件的依据是影响域与依赖域 应提边界条件的个数等于指向计算域的特征方向的数目 对应于每一个指向区域内的特征线，给出一个边界条件 对应于每一个指向区域外的特征线，补充一个相应的特征关系式。 无反射边界条件只适用于“开边界”

2.6 非线性双曲恒律组的弱解和熵条件 弱解：如果 u(x,t)是含有限条间断线的分片连续可微函数，对任何无穷可微的试验函数φ(x,t) 熵条件：可允许的弱解需满足的条件。如 几何熵条件：

2.7 Euler方程的Riemann问题 初始时刻的值在 x<0 和 x>0 处为常数分布，求满足一维 Euler方程和间断条件的解 加内能状态方程可以导出(p1,v1)-(p2,v2)之间的关系（Hugoniot关系式） 先算接触间断的速度和压力，具体计算过程详见水鸿寿《一维流体力学差分方法》 很多实际例子：激波管，材料碰撞。 检验数值方法，Godunov方法的基础。

理想气体Riemann解的5种类型 1 左行激波+接触间断+右行激波 2 左行稀疏波+接触间断+右行激波 3 左行激波+接触间断+右行稀疏波 4 左行稀疏波+接触间断+右行稀疏波 5 左行稀疏波+真空区+右行稀疏波

(一,二)讲内容阅读提示 傅德薰《计算流体力学》，一二章 水鸿寿《一维流体力学数值方法》一二章部分 《Computational Methods for Fluid Dynamics》, Ferziger and Peric, Springer 1.2-1.6

作业1 守恒形式的一维Euler方程