假设检验

引 言 统计假设——通过实际观察或理论分析对总体分布形式 或对总体分布形式中的某些参数作出某种 假设。 引 言 统计假设——通过实际观察或理论分析对总体分布形式 或对总体分布形式中的某些参数作出某种 假设。 假设检验——根据问题的要求提出假设，构造适当的统 计量，按照样本提供的信息，以及一定的 规则，对假设的正确性进行判断。 基本原则——小概率事件在一次试验中是不可能发生的。

基本概念 引例：已知某班《应用数学》的期末考试成绩服从 正态分布。根据平时的学习情况及试卷的难易程度，估 计平均成绩为75分，考试后随机抽样5位同学的试卷， 得平均成绩为72分，试问所估计的75分是否正确？ “全班平均成绩是75分”，这就是一个假设 根据样本均值为72分，和已有的定理结论，对EX=75 是否正确作出判断，这就是检验，对总体均值的检验。 表达：原假设：H0：EX=75；备择假设： H1：EX≠75 判断结果：接受原假设，或拒绝原假设。

基本思想 参数的假设检验：已知总体的分布类型，对分布函数或 密度函数中的某些参数提出假设，并检验。 基本原则——小概率事件在一次试验中是不可能发生的。 思想：如果原假设成立，那么某个分布已知的统计 量在某个区域内取值的概率应该较小，如果样本的观 测数值落在这个小概率区域内，则原假设不正确，所以， 拒绝原假设；否则，接受原假设。 拒绝域 检验水平

引例问题 原假设 H0：EX=75；H1：EX≠75 假定原假设正确，则X~N（75，2），于是T统计量 拒绝域 检验水平 可得 临界值 如果样本的观测值 则拒绝H0

基本步骤 1、提出原假设，确定备择假设； 2、构造分布已知的合适的统计量； 3、由给定的检验水平，求出在H0成立的条件下的 临界值（上侧分位数，或双侧分位数）； 4、计算统计量的样本观测值，如果落在拒绝域内， 则拒绝原假设，否则，接受原假设。

两 种 错 误 第一类错误（弃真错误）——原假设H0为真，而检验 结果为拒绝H0；记其概率为，即 P{拒绝H0|H0为真}=  检验水平 希望：犯两类错误的概率越小越好，但样本容量一定 的前提下，不可能同时降低和。 原则：保护原假设，即限制的前提下，使尽可能的小。 注意：“接受H0”，并不意味着H0一定为真；“拒绝H0” 也不意味着H0一定不真。

单个正态总体方差已知的均值检验 U检验 问题：总体 X~N（，2），2已知 假设 H0：=0；H1：≠0 双边检验 由 确定拒绝域 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设

例1 由经验知某零件的重量X~N（，2），=15， =0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 （单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已 知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？ （=0.05） 解 由题意可知：零件重量X~N（，2），且技术 革新前后的方差不变2=0.052，要求对均值进行 检验，采用U检验法。 假设 H0：=15； H1： ≠15 构造U统计量，得U的0.05双侧分位数为

例1 由经验知某零件的重量X~N（，2），=15， =0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 （单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已 知方差不变，试统计推断，平均重量是否仍为15克？ （=0.05） 解 而样本均值为 故U统计量的观测值为 因为4.9>1.96 ，即观测值落在拒绝域内 所以拒绝原假设。

计算机实现步骤 1、输入样本数据，存入C1列 2、选择菜单Stat>Basic Statistics>1-Sample Z 3、在Variables栏中，键入C1，在Sigma栏中键入 0.05，在Test Mean栏中键入15，打开Options 选项，在Confidence level栏中键入95，在 Alternative中选择not equal，点击每个对话框 中的OK即可。 显示结果中的“P”称为尾概率，表示

显示结果 （1）因为 所以拒绝原假设 结果分析 （2）因为 所以拒绝原假设 （3）因为 所以拒绝原假设

单 边 检 验 H0：=0；H1：0 拒绝域为 或 H0：=0；H1：0 拒绝域为

例2 由经验知某零件的重量X~N（，2），=15， =0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 （单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已 知方差不变，试统计推断，技术革新后，零件的平 均重量是否降低？（=0.05） 解 由题意可知：零件重量X~N（，2），且技术 革新前后的方差不变2=0.052，要求对均值进行 检验，采用U检验法。 假设 H0：=15； H1： 15 单侧检验 构造U统计量，得U的0.05上侧分位数为

例2 由经验知某零件的重量X~N（，2），=15， =0.05；技术革新后，抽出6个零件，测得重量为 （单位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已 知方差不变，试统计推断，技术革新后，零件的平 均重量是否降低？（=0.05） 解 而样本均值为 故U统计量的观测值为 因为 ，即观测值落在拒绝域内 所以拒绝原假设，即可认为平均重量是降低了。

计算机实现步骤 1、输入样本数据，存入C1列 2、选择菜单Stat>Basic Statistics>1-Sample Z 3、在Variables栏中，键入C1，在Sigma栏中键入 0.05，在Test Mean栏中键入15，打开Options 选项，在Confidence level栏中键入95，在 Alternative中选择less than，点击每个对话框 中的OK即可。

显示结果 （1）因为 所以拒绝原假设 结果分析 （2）因为 所以拒绝原假设 （3）因为 所以拒绝原假设

单个正态总体方差未知的均值检验 T检验 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 双边检验 由 确定拒绝域 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设

例3 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 由题意可知：化肥重量X~N（，2），0=100 方差未知，要求对均值进行检验，采用T检验法。 假设 H0：=100； H1： ≠100 构造T统计量，得T的0.1双侧分位数为

例3 化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量服从正态 分布，额定重量为100公斤。某日开工后，为了确定包 装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平 均重量为99.978，均方差为1.212，能否认为这天的包 装机工作正常？（=0.1） 解 而样本均值、均方差为 故T统计量的观测值为 因为0.0545<1.86 ，即观测值落在接受域内 所以接受原假设，即可认为这天的包装机工作正常。

例3的计算机实现步骤 1、计算T统计量的观测值 MTB > let k1=(99.978-100)*sqrt(9)/1.212 MTB > InvCDF 0.95 k2; SUBC> T 8. 3、显示k1,k2，分析结果 MTB>Print k1 k2 否则，拒绝原假设。 如果 ，则接受原假设；

P142例5的计算机实现步骤 1、输入样本数据，存入C2列 2、选择菜单Stat>Basic Statistics>1-Sample T 3、在Variables栏中，键入C2，在Test Mean栏中 键入750，打开Options选项，在Confidence level 栏中键入95，在Alternative中选择not equal，点击 每个对话框中的OK即可。

显示结果 （1）因为 所以接受原假设 结果分析 （2）因为 所以接受原假设 （3）因为 所以接受原假设

单边检验 H0：=0；H1：0 拒绝域为 或 H0：=0；H1：0 拒绝域为

假设检验

单个正态总体方差已知的均值检验 U检验 问题：总体 X~N（，2），2已知 假设 H0：=0；H1：≠0 双边检验 由 确定拒绝域 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设

单 边 检 验 H0：=0；H1：0 拒绝域为 或 H0：=0；H1：0 拒绝域为

单个正态总体方差未知的均值检验 T检验 问题：总体 X~N（，2），2未知 假设 H0：=0；H1：≠0 双边检验 由 确定拒绝域 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设

单边检验 H0：=0；H1：0 拒绝域为 或 H0：=0；H1：0 拒绝域为

单个正态总体均值已知的方差检验 2检验 问题：总体 X~N（，2），已知 假设 构造2统计量 由 确定临界值 拒绝域 如果统计量的观测值 或 则拒绝原假设；否则接受原假设

一个正态总体均值未知的方差检验 2检验 问题：设总体 X~N（，2），未知 假设 双边检验 构造2统计量 由 确定临界值 如果统计量的观测值 或 则拒绝原假设；否则接受原假设

例4 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态 分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水 测得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287， 4.683，据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的 方差仍为0.1082（=0.05）？ 解 这是一个均值未知，正态总体的方差检验， 用2检验法 假设 由=0.05，得临界值

例4 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态 分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水 测得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287， 4.683，据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的 方差仍为0.1082（=0.05）？ 解 2统计量的观测值为17.8543 因为 所以拒绝原假设 即可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是0.1082

？ 例4的计算机实现步骤 1、输入样本数据，存入C1列 2、计算样本的均方差，存入k1 MTB>stdev c1 k1 MTB > let k2=4*k1**2/0.108**2 4、确定临界值 2的 上 侧分位数 2的 上 0.975 MTB > invcdf 0.025 c4; SUBC> chisquare 4. MTB > invcdf 0.975 c5; 0.025

17.8543 临界值 观测值 拒绝原假设

作业 P160-P161 3、4、5、7、13 预习试验二