9 分析的时代——微积分的进一步发展

17世纪由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具。此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引。尽管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西和魏尔斯特拉斯等人。从18世纪到19世纪上半叶的数学发展，可以说就是围绕这些天才大师展开的。经过这些数学家的努力，在微积分的基础上又产生了一些新的数学分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分发展、变分法、泛函分析等等，这些学科的的总称也常常叫做数学分析，有时被用作是微积分的同义语。可以说，17世纪到19世纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史。

9.1 来自物理学的问题——微分方程 当牛顿、莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。因此可以说，早在牛顿甚至牛顿以前的时代，微分方程就开始进入到数学家的研究视野中来了。

9.1.1 伯努利家族的贡献 摆是人们日常生活中司空见惯见惯的现象，如老式时钟的钟锤的摆动等；然而在数学家的眼里却是一个难得的课题：这就是沿着怎样的一条曲线，使得摆动的周期与振幅无关？惠更斯从几何上引进摆线解决了这个问题。出乎人意料的是由这个问题又引出了一个更为深刻的问题。根据惠更斯等人的研究成果，摆的近似周期 依赖于重力加速度g，故用摆的周期可以测量地球表面不同地点的重力。只要沿着地球的一条经线依次测量

出相当于纬度改变一度的长度，再利用某一理论和相应的g值，就可确定再地球的形状。事实上，牛顿根据观察到的摆周期随地球表面不同地点的变化推断出：地球在赤道上是鼓起的，地球的赤道半径超过极半径1/230。为了对牛顿的推断加以核实，许多科学家着手进行实测，可能是测量工具不太精确，出现两种截然不同的结论。然而此时的牛顿却更深入到天文学中的“三体问题”中去了。所谓三体问题是指在太阳和地球引力作用下月球的状态，这正是研究行星及其卫星在太阳引力和所有别的星体的相互吸引下的运动的开端。这个问题导致了牛顿对二阶微分方程级的探讨，不过，牛顿

并没有给出这些方程的解。 弹性问题也是促使微分方程迅速发展的一个重要课题，这一问题最早是在建筑中考虑房梁在外加荷载下所形成的形状而提出的。这类问题反映在数学中的形式是悬链线方程、振动弦的方程、两端固定的弹性振动方程等。 在解决这些问题的过程中，伯努利家族可以说是风光无限。这个家庭是数学与科学史上最著名的家族之一，自17世纪以来，产生了许多著名的数学家和科学家.其中雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli,1654—1705）和约翰·伯努利（John Bernoulli,1667—1745）兄弟最为著名。早先雅各布研究神学，约翰学医，但当

莱布尼茨的数学论文发表以后，他们都决意要当数学家而成为了莱布尼茨最早的学生。尽管这兄弟俩在学术问题上势不两立，经常争论得不可开交，但在莱布尼茨的影响下，他们都认识到微积分的巨大作用，并成功地将其应用于各种各样的问题。 1690年，雅各布·伯努利在考虑“求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动都取相等的时间，而不管摆所经历的弧长大小”这样的一个所谓的“等时问题”时，将其归结为求一个微分方程

的解，雅各布·伯努利认为这个微分等式两端的积分必相等，并给出解答 这是一条摆线。在给出这个问题解答的同一篇论文中，雅各布·伯努利提出了一个新的问题：一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点,求这个弦所形成的曲线.莱布尼茨称此曲线为悬链线。问题提出一年后，莱布尼茨、惠更斯和约翰·伯努利分别给出了解答。其中约翰的解答是这样的：首先将其归结为一个微分方程 ，其中S是由B到任意点A之间的

弧长，C则是依赖于弦在单位长度内的重量。从这个微分方程可以推导出我们现在写成 的解，对此约翰感大莫大的骄傲，他认为这是胜过自己哥哥的一个重要标志，因为他的哥哥尽管提出这个难题但却不能解决它。 在这两兄弟的相互竞赛中，在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性软绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所成形状的问题。在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法。特别是约翰·伯努利对这些方法作了完整的阐述，证明

了如何将一次齐次方程化为可以分离变量类型的方程，并将这种方法用到求正交轨线的方程上。这一方法实际上最早应归功于莱布尼茨。 至于著名的伯努利方程 则是 由雅各布·伯努利于1695年提出的，莱布尼茨利用变换 将其化为关于y和y’的线 性方程来处理，伯努利兄弟也给出了各自的解法，但本质上都是变量分离法。

9.1.2 欧拉 如果说17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分的话，18世纪则是微分方程形成自身独特理论体系的全新时代，而在这一时代尤以欧拉的工作最为杰出。 欧拉（L.Euler,1707—1783）生于瑞士的巴塞尔（Basel）。父亲保罗·欧拉是一位牧师，喜欢数学，所以欧拉从小就受到这方面的熏陶。但父亲却执意让他攻读神学，以便将来接他的班。幸运的是，欧拉并没有走父亲为他安排好的路。父亲曾在巴塞尔大学上过学，与

当时著名数学家雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟相识。由于这种关系，欧拉结识了约翰的两上儿子：擅长数学的尼古拉（Nicolaus Bernoulli,1695—1726）及丹尼尔兄弟二人。他俩经常给小欧拉讲生动的数学故事和有趣的数学知识，这些都使欧拉受益非浅。1720年，由于约翰举荐，13岁的欧拉成了巴塞尔大学的学生，而且约翰精心培育着聪明伶利的欧拉。当约翰发现课堂上的知识已满足不了欧拉的求知欲望时，就决定每周六下午单独给他辅导、答题和授课。约翰的心血没有白费，在他的严格训练下，欧拉终于成长起来。17岁成为巴塞尔有史以来最年轻的硕士，并成为约翰的助手

在约翰的指导下，欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路。1726年，19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的奖金。这标志着欧拉的羽毛已丰满，从此可以展翅飞翔。不久，在丹尼尔·伯努利的引荐下，他接替丹尼尔来俄罗斯彼得堡科学院任职。 欧拉的成长与他这段历史是分不开的。当然，欧拉的成才还有另一个重要因素，就是他那惊人的记忆力！他能背诵前一百个质数的十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗《Aeneil》，能背诵当时已有的全部数学公式。直到晚年，他还能复述自己年轻时的笔记

的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。 古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师之一。1736年，欧拉出版了《力学，或解析是叙述运动的理论》，在这里他最早明确地提出质点或粒子的概念，最早研究质点沿任意一曲线运动时的速度，并在有关速度与加速度问题上应用矢量的概念；同时，他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学，并把振动理论应用到音乐理论中去，1739年，出版了一部音乐理论著作。1738年，法国科学院设立了回答热本质问题征文的奖金，欧拉的《论火》

一文获奖。在这篇文章中，欧拉把热的本质看成是分子的振动。 欧拉研究问题最鲜明的特点是：他把数学研究之手深入到自然与社会的深层。他不仅是一位杰出的数学家，而且也是一位理论联系实际的巨匠、应用数学的大师。他喜欢研究具体的问题，而不像某些数学家那样，热衷于一般理论。正因为欧拉所研究的问题都是与当时的生产实际、社会需要和军事需要等是紧密相连，所以欧拉的创造才能才得到了充分发挥，取得了惊人的成就。欧拉在进行科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会做出了很需要的贡

献。如菲诺河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定，为学校编者写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度。另外，他还为科学院机关刊物撰写评论并长期主持委员会工作。他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，撰写科普文章，为气象部分提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析。1735年，欧拉着手解决一个天文学难题——计算慧星的轨迹（这个问题需经几个数学家的合作花费几个月的时间才能完成）。由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积

劳成疾，疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明。这样的灾难并没有使欧拉屈服，他仍然醉心于科学事业，忘我地工作。但由于俄国的统治集团长期的权力之争，日益影响到了欧拉的工作，使欧拉很苦闷。事也凑巧，普鲁士的国王腓特烈大帝（Frederick the Great,1740—1786年在位）得知欧拉的处境后，便邀请欧拉去柏林。尽管欧拉十分热爱自己的第二故乡彼得堡（在这里他工作生活了14年）科学院，但为了科学事业，他还是在1741年暂时离开了彼得堡科学院，到柏林科学院任职，任数学物理所所长。1759年成为柏林科学院的领导人。在柏林工作期间，他并没有忘记俄罗斯，他通过

书信来指导他在俄罗斯的学生，并把自己的科学著作寄到俄罗斯，对俄罗斯科学事业的发展起了很大的作用。 他在柏林工作期间，将数学成功地应用于其他科学技术领域，写出了几百篇论文。他一生中许多重大的成果都是这期间得到的。如：有巨大影响的《无穷小分析引论》、《微分学原理》，就是在这期间出版的。此外，他研究了天文学，并与达朗贝尔、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，发表了《行星和慧星的运动理论》、《月球运动理论》、《日蚀的计算》等著作。在欧拉时代还没有纯粹数学和应用数学之分，对他来说，整个物理世界正是数

学方法的用武之地。他形容了流体的运动性质，建立了理想流体运动的基本微分方程，发表了《流体运动原理》和《流理运动的一般原理》等论文，成为流体力学的创始人。他不但把数学应用于自然科学，而且还把某一学科所得到的成果应用于另一学科。比如，他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮夕理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论，出版了《航海科学》一书，并以一篇《论般舶的左右及前后摇晃》的论文，荣获巴黎科学院奖金。不仅如此，他还为普鲁士王国解决了大量社会实际问

题。1760年到1762年间，欧拉应亲王的邀请为夏洛特公主函授哲学、物理学、宇宙学、神学、伦理学、音乐等，这些通信充分体现了欧拉渊博的知识、极高的文学修养、哲学修养。后来这些通信整理成《致一位德国公主的信》，1768年分三卷出版，世界各国译本风靡，一时传为佳话。 自从1741年欧拉离开彼得堡以后，俄国的政局一直不好，政权几次更迭，最后落入叶卡捷林娜二世的手中，她吸取了以往的教训，开始致力于文治武功。她一面与伏尔泰、狄德罗等法国启蒙学者通信，一面又四方招聘有影响的科学家去彼得堡科学院任职。欧拉自然成了

她主要聘请的对象。1766年，年已花甲的欧拉应邀回到彼得堡，这次俄国为他准备了优越的工作条件。 这时欧拉的科学研究工作已经是硕果累累，思想也已经成熟。除了一些专题还需要继续研究外，他希望能在晚年对过去的成就做系统的总结，出版几部高质量的著作。然而，厄运再次向他袭来。由于俄罗斯气候严寒，以及他工作的劳累，欧拉的左眼又失明了，从此欧拉陷入伸手不见五指的黑暗之中。但欧拉是坚强的，他用口授、别人记录的方法坚持写作。他先集中精力撰写了《积分学原理》一书。在这部三卷本巨著中，欧拉系统地阐述了微积分

发明以来的所有积分学的成就，其中充满了欧拉精辟的见解。1768年，《积分学原理》第一卷在彼得堡出版。1770年第三卷出版。同年，他又口述写成《代数学完整引论》，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书。正当欧拉在黑暗中搏斗时，厄运又一次向他袭来。1771年，彼得堡一场大火，殃及欧拉的住宅，把欧拉包围在大火中。在这危急的时刻，是一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。欧拉虽然幸免于难，可他的藏收及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料补焚，他又双目失明，在这种情况下

他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧拉总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文400篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上。1774年，他把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表一本书《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中，从而创立了一个新的分支——变分法。另外，欧拉对天文学中的“三体问题”、月球运动及摄动问题进行了研究。后来，他解决了牛顿没有解决的月球运动问题，首创了月球绕地球运动的精确理论。为了更好地进行天文观测，他曾研究了光学、天文望远镜和显微镜

研究了光通过各种介质的现象和腾的分色效应，提出了复杂的特镜原理，发表过有关光学仪器的专著，对望远镜和显微镜的设计计算理论做出过开创性的贡献。在1771年他又发表了总结性著作《屈光学》。欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的彼得堡科学院学报。就科研成果方面来说，欧拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的。

历史上，能跟欧拉相比的人的确不多，也有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都有一个共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。由于欧拉出色的工作，后世的著名数学家都极度推崇欧拉。大数学家拉普拉斯曾经说过：“读读欧拉，这是我们一切人的老师。”被誉为数学王子的高斯也曾说过：

“对于欧拉工作的形容，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它。” 作为伯努力家族的学生，欧拉是非曲直不可能置身于这个家族关于微分方程解法的讨论之外的。在伯努利家族的影响下，从研究力学问题入手，开始了微分方程的研究，并给出了一系列有关全微分方程的理论。所谓全微分方程是指方程 中的 恰好是某个函数 z=f(x,y) 的微 分，欧拉称这样的方程为恰当方程。这样的方

程，显然只需将其积分即可求解。当一个一阶方程不是全微分方程时，往往可以将方程乘上一个称为积分因子的量，将它化为全微分的形式。虽然使用积分因子在一阶常微分方程的特殊问题中早已采用过了，但是真正领会这个概念并提供一套可行的办法是欧拉.他在1734年至1735年间撰写的一篇论文中,给出了微分方程是恰当方程的条件为 ,并由此确立 了可采用积分因子方法的方程的类属.他还证明:如果知道了任何一阶常微分方程的两个积分因子,那么令它们的比等于常,就是常微分方程的一个积分。

欧拉对于二阶微分方程的探索来自他的力学工作。例如早在1728年，他为普鲁士国王研究了空气阻力对投射体的影响。这个问题一般化，就是在有阻尼介质中的运动,由此可引出二阶方程.他接受并改进了英国人Benjamin Robin的工作，改进后的方法在炮兵学中有着广泛的应用。 在对二阶方程的研究中，欧拉考虑了这样一类微分方程。 它的微商形式为

他通过引进方程 ，引进新的变量t和v,这里的a是待定常数，则这两个方程可看作是x,y关于v的参数方程，这样就可以计算出 ，而且代入微商形式后就

欧拉的这种方法虽然只适用于一类二阶方程，但却具有重要的历史意义，因为它开始了二阶方程的系统研究。欧拉所引进的指数函数，在求解二阶方程以及更高阶方程中起着特别重要的作用。 在常微分方程的早期历史中，非线性的里卡蒂（J.F.Riccati,1676—1754）方程 引进了数学家的高度重视，因为这个方程可用来帮助求解二阶常微分方程。

里卡蒂考虑了曲率半径只依赖于纵坐标的曲线而得到 在这里，x与y是p的函数。作变量替换后，就可得到一阶方程 再假定q是x的幂函数，例如为 ,则可化为

于是，对于特殊的n,就可以利用常微分方程的分离变量法求解。这样，里卡蒂不仅处理了二阶微分方程，而且有了把二阶方程化为一阶方程的想法，而这种想法正是处理高阶常驻微分方程的主要方法。 欧拉在1760年研究了里卡蒂方程 证明了若已知一特殊积分v,则可作变换z=v+u-1，可将方程化成线性的；而且，若已知二个特殊积分，则求解原方程的问题就可化为求积分的问题了。另一位数学家泰勒在求解一阶二次方程时注意到，有一种解是不能从通解中给

积分常数以确定的值而得到的，这是关于微分方程的奇解的最早发现。此外莱布尼茨也曾观察到：一个解族的包络本身也是一个解。克莱罗与欧拉设法从微分方程本身求出奇解，即从： 与 中消去 ，他们也 知道奇解并不是一个特解。欧拉甚至还给出了一个鉴别奇解的判别法。对奇解与通解的联系首先作出系统研究的是拉格朗日。他提出了从通解中消去常数得到奇解的漂亮方法；更重要的是，他给出了奇解是积分曲线的包络的几何解释。

1734年12月,丹尼尔·伯努利给当时在彼得堡的欧拉写信,说他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁(钢质或木质的)的横向位移的问题，得到的微分方程为 其中k是常数，x是横梁上距自由端的距离，y是在x点的相对于横梁未弯曲位置的垂直位移。欧拉很快回信说，他自己也已发现了这个方程，并且经过研究发现这个方程了除了用级数外无法积分。

正是这一弹性问题促使欧拉开始考虑求解常系数一般线性方程的数学问题。他在1739年9月15日给约翰·伯努利的信中说自己已取得了成功。欧拉考虑了方程 A 这是一个常系数的齐次方程，他指出，这个方程的通解必定包含n个任意常数，而且是由n个特解分别乘以任意常数后相加而成的。作替换 其中r是常数，他还指出，得到r的方程 ，

这称为特征方程。当q是特征方程的一个实的单根时， 是原微分方程的一个特解；当q是特征方程的一个k重根时，则 对于非齐次的n阶性常微分方程，欧拉所采用的方法是将方程两端同乘以 后两边积分，再去确定a，从而将方程的阶降低。例如考虑方程

他将两端乘以 并两端积分得到 则左端必定是 的形式，其中 是适当的常数。对它进行微分并与原方程比较，得到 ，因而有 。解之求出 ，则原方程化为 从而，将二阶的微分方程转化为一阶方程。

在欧拉的相关结论的基础上，法国数学家达朗贝尔将其方法加以整理，给出了求非齐次线性方程的通解的一般方法；另一位数学家拉格朗日则又得出了通过变易常数求变系数常微分方程特解的方法。这些方法是现今求微分方程的有效方法。 此外，欧拉还是微分方程近似解法的创始人。他提出的“欧拉析线法”不仅解决了常微分方程解的存在性问题的证明，而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一。1750年欧拉还在莱布尼茨工作的基础之上，给出了我们现在通常所有的微分方程的级数解法：他假定解的形式为

将y以及它的各阶导数（或微商）代入微分方程，利用所得级数中x的各次幂的系数必须等于0这个条件，确定出 与系数A，B，C，…。例如在研究振动薄膜的问题时对于所出现的Bessel方程 他给出的解是

9.1.3 拉普拉斯和他的摄动法 18世纪最令科学家特别数学家与天文学家感兴趣的问题莫过于n体问题，这在一定程度上可看作是牛顿研究过拓体问题的推广。围绕这一问题的研究主要有两个方向：一是探索人们可以导出什么样的运动方程；二是利用这些初始资料找出其在今后一段时期内的近似解，这被子称为摄动法。对于第一类问题，拉格朗日在他的名著——获奖论文《论三休问题》中给出了一些特殊的数值解，下面我们重点介绍第二个方向的研究情况。

两个球形的物体，在它们的引力相互作用下，是沿圆锥曲线运动的，这种运动称为非摄动的；而对于这种运动的任何偏离，不管是位置的还是速度的，都被称为摄动的运动。如果两个球体所处的介质对运动具有阻力，或者这两个物体不再是球形的，或者除了这两个物体外还牵涉到更多的物体，那么这些物体的运动轨道将不再是圆锥曲线了。在未使用望远镜时，这种摄动成现象成为一大数学问题，而达朗贝尔、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯都作出了贡献，其中尤以拉普拉斯的工作最为杰出。

拉普拉斯（1749—1827），法国著名的数学家、力学家和天文学家。1749年出生于法国诺曼底的皮奥蒙镇，16岁时进入开恩大学学习数学，在那里他曾完成了一篇关于有限差分的论文，受到了一些人的肯定。毕业后他给达朗贝尔写了一封长信，向他阐述了力学的一般原理，这引起了达朗贝尔的重视。在达朗贝尔的推荐下，拉普拉斯成为巴黎军事学校的数学教授。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4000多页，其中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体论》和《概率分析理论》。1796年，他发表《宇宙体系论》。在该书附录里，他独立提出太阳系

起源的星云学说，被后人称之为康德—拉普拉斯星云学说。1799年出版了巨著《天体力学》的头两卷，主要论述行星运动、行星形状和潮汐。1802年出版第三卷，论摄动理论。1805年出版第四卷，论木星四颗卫星的运动及三体问题的特殊解。1825年出版第五卷，补充前几卷的内容。由于这部巨著的出版，拉普拉斯被誉为法国的牛顿。据说，当拿破仑看到这部书时，问拉普拉斯，为何在他的书中一句也不提上帝。拉普拉斯明确地回答：“陛下，我不需要那个假设”。在这部著作中，他给出了太阳系力学问题的“完全的”分析解，得到了行星运动问题的近似解和计算摄动的所谓的积分常数

学变值法（又称元素变值或参数变值法）。为了避免对其深奥的数学理论与方法的叙述，对此我们不再作深入的介绍。必须指出的是，尽管拉普拉斯创造了许多新的数学方法，但他从来不关心数学，只是在物理学研究中碰到数学问题时，他才去研究它。 18世纪也是偏微分方程作为一门新的数学学科产生的年代。事实上，直到1765年偏微分程只在解决物理问题中出现。在达朗贝尔1747年弦振动的工作以前，偏微分方程是作为条件方程给出的，并且只是求它的特解，达朗贝尔的工作使数学家们开始认识到特解与通解之间的差别。关于偏微分方程的第一篇纯数学论文

是由欧拉于1765年发表的，开始考虑通解问题。总体来说，18世纪偏微分方程研究的主要成就是提示了它们对于弹性力学、水力学和万有引力问题的重要性；除了拉格朗日在一阶方程方面的工作外，普遍的方法没有发展起来，偏微分方程解的理论还有待形成。

9.1.4 19世纪几位大师的工作 19世纪是微分方程严格理论的奠定时期。18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题，使数学家逐渐招架不住了，于是转向对解的存在性问题的思考，即给定一个微分方程，它在给定的初始条件和边界条件下是否有解？这个问题的解决不仅可以使数学家们避免对一些根本无解的方程作无谓的探索，而且直接影响着微分方程基础理论的建立。

第一个考虑微分方程解的存在性问题的是柯西，他成功地给出了两个方法：第一个是假定f(x,y)和fy在区间 和 所确立的矩形内部对x,y的所有实数都是连续的条件下，证明了方程y’=f(x,y)有且只有一个适合初始条件 的解y=f(x)。1875年德国数学家利普希茨（Rudolph Lipschitz,1832—1903）把柯西的条件作了适当的减弱，提出了现在所谓的利普希茨条件，而这一存在定理就叫做柯西—利普希茨定理。柯西建立微分方程解的存在性的第二个方法是控制函数或优势函数的方法，这比第一个方法的应用更为广泛。柯西的工作为常微分方程解析理论的建立奠定了基础。

确立常微分方程解的存在性的第三个方法是由法国数学家皮卡（Emile Picard,1856—1941）于1890年给出的，这个方法通常称为逐次逼近法。微分方程初值问题解的存在性的证明，有力地推动了人们对各种方程的求解探索。 1833年力学教授施图姆（Charles Sturm,1803—1855）和他的朋友，法兰西学院的数学教授刘维尔（Joseph Liouville,1809—1882）决定着手研究二阶常微分方程的一般性问题，他们首先考虑的是二阶常微人方程的边界问题，给出了一般的二阶方程在给定的条件下具有非零解的条件，以及

这些解与特征值之间的关系，这在近代物理及技术中有很广泛的应用，并构成了微人方程研究的一个新方向。此外刘维尔在1841年研究了里卡蒂方程 得出结论：里卡蒂方程的解一般地不能由初等函数给出，这等于宣告：从17世纪起人们所走的那条寻找微分方程的初等解的道路，前途极为有限。

19世纪末，法国数学家庞加莱（Henri Poincare,1854—1912）为处于十字路口的微分方程研究开辟了前所未有的宽广道路。庞加莱是从两上方向入手的：一是扩充微分方程解的范围，不管是否是初等函数，只要满足微人方程，都加以考虑。这就使得微分方程的可解范围大为扩充，微分方程从而形成了特殊函数的丰富来源，微分方程与函数论之间也建立起了密切的联系，从而产生了微分方程解析理论。庞加莱的第二个方向是在不引进新的函数的情况下研究微分方程的定性理论。1881—1886年期间，庞加莱接连发表了题为《由微分方程所确定的积分曲线》的四篇论文，标志着微分方程定性理论的正式建立。

进入20世纪以后，数学家的兴趣主要是在非线性方程方面，它的应用已从天文学转移到通迅、服务机构、自动控制系统和电子学等领域，它的研究重点也已从定性研究转移到定量研究上来了。

9.2 变分法 9.2.1 “几何学中的海伦” 1696年，约翰在解决了其哥哥雅各布提出的悬线问题后，在《教师学报》上提出了一个著名的数学问题——最速降线问题，即要求一条从定点到不在其垂直下方的一点的曲线，在不考虑摩擦和空气阻力的情况下，使得质点沿着这条曲线从定点下滑到另一点所用的时间最短。如图9—4，O，P不在同一条竖直线上。在连接这两个点的所有曲线中，怎样找出一和曲线，使得一个质点在重力作用下无磨擦地沿着它从O点滑到P点所需的时间最少？

在图9-4中，我们只画出了从O到P点的三条曲线即直线、旋轮线和圆的一段（事实上，从O点到P点的曲线有无数多条）。这个问题是说，当三个钢珠分别从O点沿着这三条光滑的曲线同时滚下时，沿哪一条路径滑行最先到达P点。直觉上，沿直线走所过的路径最短，时间可能短一些；而沿旋轮线或圆弧走，虽然路长一些，但由于前一段获得的速度较大，惯性作用，在后一段也可能以较大的速度先到达P点，不过弧线太弯了，路途就要变长，即使是速度快，也需要较长的时间。到底是哪一条曲线好呢》这个问题相当于选择怎样的被积函数F（X），使得下列表示下降雨量时间的积分

取得最小值，这里的g是重力加速度。这个问题在当时困难得可怕。因为它不同于普通的极大极小值问题，它是要求出一个未知函数（曲线）来满足条件。尽管当时几乎所有优秀的数学家都来研究它，但六个月过去了，仍丝毫没有进展。1696年12月，数学家们又在更大范围内征求这个问题的解答。

1697年1月29日，当牛顿从朋友那里听到这个消息后，利用当天晚饭后的空余时间，漂亮地解决了这个问题，并将这个结果寄给皇家学会。当时有关微积分发明的优先权问题使英伦三岛与欧洲大陆的数学家们正争论不休克，为了防止论战进一步升级，他隐匿了自己的姓名。不过据说当伯努利兄弟看到这个解答时，还惊叫道：“啊，我认出了狮子用它的巨爪了。” 事实上，在1697年的上半年，除了牛顿外，伯努利兄弟、莱布尼茨和洛必达等人一起都得到了这个问题的正确解答，即一条连接O点和P点上的凹的旋轮线。所有的这些解答发

表在1697年5月号的《教师学报》上。 那么，旋轮线是怎样的一条曲线呢？ 如图9-5，在半径为a的圆轮的边缘上安置一盏电灯P，当圆轮沿着一条定直线旋转时，固定在轮缘上的灯光画出的就是旋轮线，它的曲线方程为 这条被称为“几何学中的海伦”的曲线现在已不神秘，几乎在任何一本高等数学的著作中都可找到。

事实上，最早注意到这个曲线的是伽利略，他曾建议用来作为建筑桥拱的曲线。不久，他又求得此线一拱下的面积为，并发现了作该曲线的切线的方法。1658年，设计伦敦圣保罗教堂的伟大建筑师雷恩找到了计算旋轮线长度的方法，得到旋轮线一拱的弧长为8a. 对旋轮线的研究最为深入的是惠更斯。1673年，在《钟表的振动》一书中。他仔细地研究了旋轮线，发现旋轮线的渐屈线仍然是一条旋轮线，并与原旋轮线同样大小。这个意义在于：沿着旋轮线弧摆动的摆锤，不论其振幅大小，做一次完全摆动所用的时间是完全相同的，因此旋轮线也称为摆线或等时曲线。

当伯努利兄弟发现旋轮线也是最速降问题的解时，十分惊奇，他们由衷地说：“我们的确佩服惠更斯，因为是他第一个发现一个重质点，不论其起点如何，总以相同的时间描出一条旋轮线。但是，当我们说正是这同一条旋轮线——惠更斯的等时曲线——就是我们正在寻找的最速降线时，你们将感到更加惊奇。”国为旋轮线有着如此美好的物理、数学特性，难怪数学家们赞美她为“几何中的海伦”呢！ 若仅为上述所言，旋轮线还不足以如此名扬千古。更重要的是，它是引起产生一门与微分方程同等重要的新数学分支——变分法的主要因素之一。导致变分法产生的另一个因素是

所谓等周问题，即在给定的所有封闭平面曲线中，求一条曲线，使它所围的面积最大。这个问题可以追溯到古希腊，据说古腓尼基的狄多公主在丈夫被人害后，带着自己的财产，在一些贵族的伴随下，逃到北非地中海沿岸的利比亚。当地人害怕她在此休养生息后再成霸业，但又不愿过分为难她，故他们允许这位公主购置一块可用一张牛皮围起来的土地。精明的公主把牛皮割成非常细小的线，将这些线依托海岸围成一个半围，这正是围出最大面积的正确方法。

这两类问题可以归结为一种想法，即求函数y=f(x)，使得 达到极值，这就是所谓的变分法问题。

9.2.2 欧拉和拉格朗日的工作 变分法的问世，使得微积分这一重要数学分支的作用又一次得到验证，许多世界一流的数学家纷纷投身到这一领域的研究之中。 在这些大师中，最领会伯努利方法真谛的还是欧拉。作为伯努利家族的嫡伟弟子，欧拉对于变分法的研究可谓情有独钟。1728年，在约翰的建议下，欧拉开始研究测地线问题，即求曲面上两点间长度最短的路径，如果曲面是平面的话，所涉及的积分是

其答案当然是一段直线。这个时期人们最感兴趣的是测地线问题与地球表面上的最短路径有关。在约翰的指导下，欧拉利用测地线密切平面与曲面正交的有关性质成功地解决了这个问题。6年后，他又推广了最速降线问题，使得极小化的量不是时间而是别的一些量，并且考虑了质点在阻尼介质中运动的情形。

然而，欧拉并没有以此为满足，而是深入下去寻找这类问题的更一般方法。他简化了雅各布的方法，即用有限和代替问题中的积分，用差商代替被积函数中的导数，这样就把积分化为由弧y(x)的有限个坐标构成的一个数值函数，然后变动其中的一个或几个坐标，计算出微分方程。这个方程一般情形下是一个非线性的二阶常微分方程，同时它也是极大化或极小化所必须满足的必要条件。欧拉萨市这一方法直至今天仍然是变分法的基本方法。

利用这一方法，欧拉陆续解决一些包含特殊边界条件的更难的问题。例如在1742年，丹尼尔·伯努利的一封信提出了这样一个问题：一根两端受一压力作用的弹性杆，在其弯曲后所取曲线的沿线率的平方达到极小情况下，求该杆变曲的形壮。欧拉经过一番努力，不仅推导出杆的形状取椭圆的形式，而且还给出了不同类型端点条件的解，这些成果发表在他于1744年出版的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》一书中。这本书的出版，标起着变分法作为一个新的数学分支诞生了，同时也给欧拉带来了声誉——被看作是当时活着的最伟大的数学家。

对这一问题的解决做出杰出贡献的还有法国著名数学家、力学家及天文学家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange,1736—1813）。拉格朗日出生于意大利，早在少年时就因看到了哈雷介绍牛顿有关微积分的文章而对分析学产生了浓厚的兴趣。为此他经常与欧拉书信来往，探讨数学难题“等周问题”。当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法的理论基础。1755年，19岁的他就已成为都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会的工作，并在协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、

概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家 1764年，他利用万有引力解释月球平动问题获得法轩巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地用微分方程理论和近似解法解决了科学院所提出的一个复杂的六体问题——“木星的四个卫星的运动问题”而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：“欧洲最大的国王”之宫廷内应有“欧洲最大的数学家”，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。期间他写了继牛顿后又一重要力学著作《分析力学》（1788）。书内

以变分法原理及分析的方法，使力学分析化，从而建立起了完整和谐的力学体系。他在序言中宣称：力学已成分析的一个分支。 1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六的邀请定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授，直至1813年逝世。拉格朗日不但对方程论的研究有重要贡献，而且对代数学的发展作出了十分重要的工作。他在生前提交给柏林科学院的两篇著名论文：《关于解数值方程》（1767）及《关于方程的代数解法的研究》（1771）中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方

程化作低一次的方程——“辅助方程或预解式”——来求解。虽然这并不适用于五次方程，但他有关方程求解条件的研究已蕴含了数论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论的先驱。 另外，他在数论方面的研究也是成果斐然。费马的提出的许多问题都被他一一解答，如：一个正整数是不多于四个平方数之和的问题；求方程 （A为一非平方数）之全部整数解的问题等。他还证明了∏之无理性。这些研究成果都极大地丰富了数论的内容。此外，他还还写了两部分析巨著《解析函数论》（1797）及《函数计算讲义》（1801），总

结了那一时期自己的一系列研究工作。在《解析函数论》及他收入此书的一篇论文（1772）中，他曾经试图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃牛顿以来一直令人困惑的无穷小量方法，尝试为微积分奠定理论基础。他还把函数f(x)的导数定义为f(x+h)的泰勒展开式中的h项之系数，并由此为出发点建立全部分析学。可是他并未考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念。事实上，回避极限的概念，并无法使微积分代数化、严密化。不过，他采用新的微分符号，以幂级数表示函数的处理手法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数研究的起点，而且，他还在微分方程理论

中作出奇解为积分曲线族的包络的几何解释，提出线性代换的特征值概念等。 数学界近百多年来的许多成就都可直接或间接地追溯到拉格朗日的工作。为此他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。 欧拉关于“等周问题”的研究引起了拉格朗日的注意。但他放弃了伯努利兄弟和欧拉所采用的繁琐的几何论证，完全采用纯分析的方法，从而免去了不少的限制条件。1775年，他发表论文《论确定不定积分公式的极大和极小的一个新方法》，给出了适用于一类范围很广的问题的一个系统又统一的方法。这类问题可

表示为使积分 极大化或极小化，其中y(x)是待定的。拉格朗日引进了通过端点（ ）和（ ）的新曲线，并将这些新的曲线表示为 ，这里的是由拉格朗日引进的一个特殊符号，用来表示整个曲线y(x)变分。显然，在上述积分的被积函数中引进一条新的曲线必然会改变J的值，他将J的增量记为 ，即

拉格朗日将f看作是三个变量的函数，但因为x是不变的，所以对一个双变量函数应用泰勒定理将其展开得 其中 叫做J的一次变分； 叫做J的二次变分；依次类推。接着，拉格朗日论证了：对于极大或极小化函数y(x)， J

一定等于0，进而进一步得出 y的系数必须 为0, , 这一结果就是现在众所周知的变分法基本引理，而这个方程为欧拉微分方程。此外，拉格郎日还首次推导出具有变动端点问题的极小化曲线必须满足的端点条件。后来，他将其关于变分法的论文的内容编进了他的名著《分析力学》之中。

9.2.3 来自物理学的推动 正当变分问题的解取得突破性进展的时候，物理学给这一课题的研究又直接提供了一个新的推动，这就是最小作用原理。 9.2.3 来自物理学的推动 正当变分问题的解取得突破性进展的时候，物理学给这一课题的研究又直接提供了一个新的推动，这就是最小作用原理。 早在古希腊时代，自然哲学家们就有这样一种信念：大自然是以最简捷的可能途径行动的，“自然界不做多余的事情”，这一观念在中世纪为人们普遍接受。17世纪费马在对光学研究中提出了一个最小时间原理：光取费时最小的路径传播。他曾怀疑过光的折射定律的正确性，但他很快发现，由他的原理可以推导出

光的折射定律，这样他不仅解除了这种怀疑，而且更加确信他的原理的正确性。1744年，莫佩蒂（Maupertuis,1698—1759）从费马的最小时间原理出发，提出了更为一般的最小作用原理：自然界中的任何改变都是主要使“作用”最小，而所谓“作用”是指质量、速度的乘积关于路径的积分即 。他宣称，这一原理是自然界的普遍规律和上帝存在的第一个科学证明。显然，莫佩蒂极力提倡这个原理还有着不可低估的宗教倾向，这与欧拉的思想不谋而合。在欧拉给莫佩蒂的通信中就表明了这样的观点：上帝已经按照某种这样的基本原理构造

了宇宙，而这种原理的存在又证实了上帝的安排。他曾将最小作用原理作为一个精确的动力学定理作了详细的阐述，但他仅讲座了单个质点沿平面曲线的运动问题。 拉格朗日可以说是第一个用具体形式将最小作用原理表示出来的人。这种具体形式是指，对于动力学中单个质点的运动，质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积的积分是一个极大值或极小值，即对于这人质点所取的实际路径而言， 必须是极大或极小的。他还断言对于质点组而言，这个原理也是正确的，甚至对于广义质量也是如此。

利用最小作用原理和变分法的方法，拉格朗日得到了他的著名的运动方程 这个方程以及其他的一些结论与牛顿第二运动定律是等价的。从数学的观点来看，拉格朗日关于最小作用原理的工作赋予变分法以重大的价值。

9.2.4 变分法的进一步发展 无论欧拉还是拉格朗日，他们都意识到，要使积分 取得极大或极小解，欧拉微分方程 9.2.4 变分法的进一步发展 无论欧拉还是拉格朗日，他们都意识到，要使积分 取得极大或极小解，欧拉微分方程 只是其应满足的一个必要条件。他们用微分方程来求解，然后凭借直观或物理背景来决定这个解是否提供一个极大或极小，这就有点像在普通微积分中使y=f(x)取极大或极小值。

欧拉和拉格朗日留给后人的问题是：欧拉微分方程的解必须满足什么样的附加条件才能真正使一个依赖于y(x)的积分取得极大或极小？另外两位法国数学拉普拉斯和勒让德（Adrien Marie Legendre,1752—1833）首先开始了对这个问题的探索。拉普拉斯没有成功，而勒让德则是从普通微积分的相关结论中寻找启示的。在普通微积分中对于使 的x值， 的符号决定着f(x)是否取得极大或极小值。故他在二次变分 为突破口，得出结论：对于满足欧拉方程并且通过 和 的曲线y(x)，只要沿y(x)的每一点处

，则J取极大；而 时J取极小，但后来他又发现关于 的这一条件仅仅是使y(x)成为极大或极小曲线的一个必要条件。寻求积分 在勒让德的工作以后大约50年期间，数学家们进一步探索了一次和二次变分，但都没有得到决定性的结果。1837年雅可比试图通过强化勒让德条件使之成为充分条件，然而他所得到的一些充分条件都是不正确的；不过他的工作使人们清楚地看到期，变分法的进展不能仅

以通常的微积分的极大和极小理论为指导。 魏尔斯特拉斯在1879年证明了有关弱变分的一个充分条件，并通过引进“场”的概念提出了有关强化变分的充分条件，这个条件后来由希尔伯特于1900年给出了证明。 在应用方面，拉格朗日用最小原理对动力学规律的描述，启示着这一概念应该可以应用到物理学的其他分支上去。19世纪初期 ,许多数学家都致力于这一工作。泊松、柯西等人成功地运用变分法解决过许多有关弹性问题，而其中最突出的是哈密顿，他从最小作用原理出发，发表了一系列论文建立了光学的数学理论，他所提出的原理更具有一般性，他的工作不仅推动了变分法的进一步研究，而且也推动了常微分方程组和一阶偏微分方程组的进一步研究。

9.3 分析基础的严密化 数学科学要求它自身必须具有严密和逻辑性，这一点早在欧几里得《几何原本》问世以后就已经成为人们的共识。18世纪数学分析的发展，可以说已经达到了空前灿烂的程度，人们运用这一强有力的武器攻克了一个个难题。然而，这一门学科还没有建立起自己严密的理论基础，最突出的是它仍然便用着古希腊学都早在2000多年前就已经提出的无穷小概念。虽然在运用微积分方法的过程中，数学家们出于各种要求对无穷小的概念作出了许多解

释，但它的本质地始终未能得到澄清。人们还在人为地排斥“无限”和“连续”的概念，使得无穷小在数学上一直是一个比较含糊的概念，这就导致了微积分理论缺乏严密的理论基础。 19世纪初，数学家开始转向数学分析基础的建设。最早对无穷小概念进行审慎研究的先驱是波尔查诺（Bozlano,1781—1848）。波尔查诺是捷克数学家，1800年毕业于布拉格大学哲学院后，又进入神学院学习，同时攻读数学，尤其对数学中的严格证明具有浓厚的兴趣。1804年取得数学博士学位，同时开始了教师生涯。

波尔查诺最重要的数学工作是关于微积分基本概念的研究。1817年，他在论文“纯粹的分析证明”中首先给出了连续函数的定义：如果函数f(x)对于一个区间的任意x值，只要 x 的绝对值充分小，差f(x+ x)-f(x)的绝对值就变得小于任意结定的小正数，那么就称f(x)在该区间上连续。他的这一个定义第一次清楚地表明，连续性概念的基础存在于极限概念之中。在1834年出版的著作《函数论》中，波尔查诺还使用有即差的比的极限来阐述导数的概念：将f(x)对于x的任一值的导数 定义为当趋近于0时比值 所无限接近或

任意接近的那个值。与18世纪数学家不同的是，波尔查诺指出，dy/dx不应该理解为dy和dx的比，也不应该理解为0除以0的商，而是相当于描述函数的一个记号。 在这方面有突出贡献的应首推数学家柯西（Augustin Louis Cauchy,1789—1857）。柯西是十九世纪前半世纪的法国著名数学家。他幼年时在父亲的教导下学习数学，拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西进入理工大学，毕业后成为土木工程师，1816年成为理工大学教授。后来又到巴黎大学任教授，一直到逝世。柯西的贡献遍及数学的各个领域，他撰写了约800

种涉及几乎所有数学分支的书籍与论文。特别是在级数、微分方程、数论、复变函数、行列式、群论、天文、光学、弹性力学等方面都留下了大量的论文。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的定理，这些都是很重要的。他的全集达26卷，仅次于欧拉，居第二位。因为在数学上的杰出成就，柯西还成为法因科学院院士。

1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义，将微积分理论完整而严密地奠基于极限的基础之上，为微积分的严密化作出了重要的贡献。 柯西在阐述极限概念时，首先分析了直观认识的不足，指出，所谓“当x向着x1运动时，函数f(x)趋近于一个定值”，对于遍历数轴上一段区间的连续变量x来说，是无法说清它是如何按该区间所有数值的大小顺序，陆续地“赵近于”固定值x1的。这是因为直线上的点构成

稠密集，不存在“一个点之后的下一个点”的说法。只是直线的直观印象使人们认为它上面的点之间是一个接一个的有先后顺序的。他指出，仅仅依靠直观是不能正确地提示事物的本质的，芝诺有关运动的悖论已经充分说明了这一点。他认为，要成功地说明数学的概念，就必须或者可能是删除一切引用连续运动的直观印象，建立起静态的极限定义。为此，柯西用描述性的语言给出了极限的定义：“当一个变量逐次所即的值无即趋于一个定值，最终使变量的值和该值之差要多小有多小，则这个定值就称为所有其他值的极限值。”特别地，柯西将无穷小量看作以0为极限的变量，从而澄清了对无穷小量“似0非0”模糊认识，把它从物理和几何的原型中抽象为一个纯数学概念。

柯西为连续下的定义和波尔蓝天诺的定义基本上是一致的，他也像波尔查诺一样，将函数增量与自变量之比定义为导数 。不过，他比查尔波诺的高明之处在于把dx定义为一有限量，而把dy定义为 ，这就将牛顿的导数和莱布尼茨的微分统一起来。他还给出了微积分基本定理的第一个严格证明。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。

应该指出的是，尽管柯西使用极限概念对微积分的基本概念作了理论说明，但他的极限定义仍然使用了许多描述性的语言。现今所谓的柯西定义或 方法实际上是半个世纪后经过魏尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来，因此极限理论也就不可能完全完成起来。虽然这样，我们还是可以说，微积分学的基本概念正是由于柯西而得到了严格的论述，柯西是严格微积分学的奠基者。 柯西以后，分析学的逻辑基础发展史上的重大事件是实数理论的建立，这主要应归功于魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等人。

魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass 1815—1897）可以说是柯西以后对极限理论贡献最大的数学家之一。他生于德国威斯特法伦小村落奥斯坦非，曾入波恩大学学习商业和法律，但是他坚持自学数学。1839年，师从古德曼学习数学。不久，在明斯特作中学教师。坚持利用业余时间研究数学，取得了许多重要数学成果。根据魏尔斯特拉斯的学术成就，哥尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年成为柏林大学的助理教授，1864年成为正教授。魏尔斯特拉斯除了自已的研究工作外，还培养了大批著名数学家，为十九世纪数学的发展做出了重要贡献。

魏尔斯特拉斯在担任中学教师期间，除了教数学、物理之外，还教德语、作文、地理，他对数学始终有浓厚的兴趣，白天有繁重的教学任务，他只好利用晚间，废寝忘食地钻研数学。一天晚上，魏尔斯特拉斯进行一项重大问题的突破工作，竟不知道东方已晓，直到校长到寝室来查看他为什么没上八点钟的课时，他才猛然醒悟，请求校长原谅他缺了课，因为他不希望不久这项重大发现将会使学术界震惊。 魏尔斯特拉斯是将严格的论证引入分析学的一位大师。作为一个反例，他发现处处不可微的连续函数

其中0<b<1, ,a是一个奇数。这个反例使数学界为之一惊，因为人们过去总以为连续函数只可能在个别点处不可微，1860年，魏尔斯特拉斯用递增有界数列来定义无理数。1892年，巴赫门在魏尔斯特拉斯工作基础上，提出“区间套原理“，用来建立实数理论。 魏尔斯特拉斯就是根据实数理论为微积分的严密化作出重要贡献的。他首先把一个变量解释为一个字母，它能代表允许值集合中的任意一个数，所谓连续变量是指这样一个变量：如果 是其允许值集合中的任意一个数， 是任意一个小正数，则该变量在区间

内一定还能取到其他的值。接着指出，所谓函数在 处连续，是指如果给定一个正数 ，都存在一个正数 ，使得对于区间 内的抽有x的值，都有 这就是现代数学分析中所谓极限的“ 定义” . 德国数学家戴德金（Wilhelm Richard Dedekind,1831—1916）就学于著名的哥丁根大学，是高斯的得意门生，他关于欧拉积分的博士论文就是在高斯的亲自指导下完成的。戴德金的数学成就主要是在代数理论方面。1872年，戴德金开始研究实数理论。他提出用“分划”来定义无理数：用任何一种方法将有理数分为两类，使得第一类中的每一个数都小于第二类中

的每一个数。用 分别表示这两类数，则 就表示相应的分划。在某些分划中，或者 有最大数，或者 有最小数，这种分划就确定了一个有理数；而当 无最大数， 也无最小数时，与之相应的就是一个无理数。这样，每一个分划就可以唯一确定一个有理数或者一个无理数。他的代表作是《连续性与无理性》和《数的意义》。 康托尔（Georg Cantor,1845—1918）也是德国数学家，曾是魏尔斯特拉斯等著名数学家的学生。受老师的影响，他也由数论转向严格的分析理论的研究。他使用“有理基本序列”来

定义无理数。所谓有理基本序列，是指具有下述性质的有理数序列 对于任意的正数 ，只要m,n充分大，就有 。康托尔的无理数理论于1872年发表于德国的《数学纪事》。同一年，海涅发表论文，对康托尔的理论有所推进。在这篇文章中海涅提出覆盖定理的基本思想，1895年为波莱尔所完善，现称为“海涅—波莱尔定理”，或“有限覆盖定理”。 集合论的创立应该归功于康托尔。他是从研究收敛的傅时叶级数的不连续点出发转而深入研究无穷点集的。从1874年起他发表了一系列论文，阐述他关于无穷集合的观点和理论。

他首先总结了前人研究无穷集合的历史经验，抓住一一对应这一基本法则和无穷集合区别于有穷集合具有相同的“势”（后来他又称之为“基数”）这是有限集元素个数的推广。他把所有与正数数集等价的集合是可数的，而实数集是不可数的。这就是说，超越数要比代数数“多得多”！后来，他还证明了连他自己也“简直不能相信”的奇怪结论：一条直线上的点竟然和整个n维空间 上的点“一样多”！在1879年到1884年这一段时间里，他发表了以《关于无穷的线性点集》为题的第列论文，系统地建立了无穷集合的超限基数与超限序列数理论。康托尔创立集合论的成功之处就在于，他敢于承认有限和无限的本质区别，排除一切传统的、直观的世俗偏见，利用一一对应这一有效的工具，对无穷集合的特性进行了深入的、纯理性的分析。

由上述可知，有了实数的三大派理论：魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”，戴德金的“分划”，康托尔、海涅的“基本序列”，加上集合论和柯西、魏尔斯特拉斯的极限论，使数学分析结束了300多年的混乱局面，建立在牢固的逻辑基础上。其逻辑上的严密性，有如欧几里得几何学一样令人惊叹；其形式上的严谨性，实非古希腊人所能梦想。关于微积分学的发展，毕达哥拉斯的名言是惊人的贴切：万物皆数！

本章问题研究： （1）阅读有关材料，阐述从17世纪到19世纪上半叶这一段时期内，除了本章介绍的微分方程、变分法和数学分析的严密化以外，在微积分的基础上发展起来的其他数学分支的主生、发展简况。 （2）伯努利家族除了在数学分析方面所做的工作以外，还有哪些数学成就？请查阅有关资料进行整理，完成一份综述报告。 （3）试结合本章所述内容，阐述数学问题的提出与科学技术的发展有着十分紧密的联系。

（4）结合本章所述内容及有关围绕牛顿和莱布尼茨微积分优先权的争论，阐述数学争鸣对于数学科学发展的影响。 （5）微积分的理论基础对于微积分的进一步展有什么样的作用？试举例予以说明。 （6）从本章介绍的这些数学家那里，我们可以学到哪些东西？