選擇權之非線性風險 我們可以把選擇權的價值寫為一般函數式: 衍生性金融商品定價就是尋找 f 的值，惟除非多許多簡單化的假定，否則表達不出函數形式，一般需靠數字方法模擬。 選擇權定價公式中，一般簡化認定: 現貨價(S)為非線性關係，其餘變數為線性關係；

風險管理必需先了解函數 f 的變動。若小幅變動，可以用 Taylor 展開式趨近:

一階偏微稱 delta；二階偏微稱 gamma。故以直線估計，為 delta估計，以二項式估計，則是 delta 加 gamma Taylor 展開式無效的原因: 1. 風險因子巨大變動: 2. 高度非線性(如選擇權接近到期日，或其 他新興選擇權 exotic options) 3.交义偏微

例題 (1999 FRM Exam Q.65) 估計普通(vanilla)歐式選擇權的風險時，為什麽常以delta-gamma方式，而非用精確的方程式? A. 以Taylor 展開式展開選擇權的價格函數 時，delta及gamma為首兩項，其他項通 常不顯著 B. 只有delta風險及gamma風險可以避險 C. 價格函數不能直接計算，delta及gamma則可 D. (A)及(C)對，(B) 錯

例題 (1999 FRM Exam Q.88) 為什麽 delta方法不適用於衡量選擇權資產組合(portfolio)的風險 A. 缺乏資料去計算變異數-共變異數矩陣 B.選擇權一般為「短期」的衍生性金融商品 C.選擇權收益為非線性 D. B-S訂價模型不適用於真實世界

例題 (2001 FRM Exam Q.79) 一銀行賣出100,000股証劵的買權，收入300,000，該証劵的交易價 =50，執行價格 = 49，契約期三個月，標準差=20%，利率=5%，則該銀行應如何delta避險?(以千股為整數) A. 買入65,000股 B. 買入100,000股 C. 買入21,000股 D. 賣出 100,000股

選擇權的希臘字母 研究風險因子變動導致選擇權價值變動多少，稱為敏感度(sensitivity)分析 最重要的敏感度分析，即為價格對選擇權價值的一階偏微，稱為 delta。如買權的delta為 永遠為正並小過一

賣權的delta則為負數: Gamma (Γ)為二階偏微，即價格對△的一階偏微，可衡量△的「不穩定性」。買權和賣權的gamma相同(Φ為標準常態分配的pdf)

重要概念 Call delta: at-the-money △→ 0.5 in-the-money △→ 1 out-of-the-money △→ 0 Put delta: at-the-money △→ -0.5 in-the-money △→ 1 out-of-the-money △→ 0 在一般選擇權中，愈短期at-the-money的選擇權，非線性愈明顯

選擇權中的gamma類似債券的convexity 選擇權中的gamma類似債券的convexity.惟固定票面利率債券的convexity恆為正，選擇權的gamma則可正可負。正的gamma及convexity都有好處:資產價值下跌時下跌較慢，上升時則上升較快

正、負 gamma: long call: △> 0；Γ > 0 long put: △< 0；Γ > 0 short call: △< 0；Γ < 0 short put: △> 0；Γ < 0

選擇權價值因波動(volatility)的改變而變動，稱為 lambda(或稱 vega、kappa) ，即選擇權價值對波動的敏感度。歐式買權和賣權相同: 買(long)選擇權， lambda必為正 At-the-mony 時， lambda最大 剩餘的契約期愈短，Lambda愈小

選擇權價值對國內利率的敏感度，稱為rho。 買權: 賣權:

在固定執行價格下，利率增加導致資產有較高的成長率，使執行買權的機會增加，故增加買權的價值。在利率無限大的極端情形下，N(d2)=1，買權一定會被執行，從而使買權就等於資產本身 賣權的情形與上述的剛好相反

收益對選擇權價值的影响: 買權: 賣權: 收益增加導致資產的成長率下降，不利買權的價值；賣權則剛好相反

已過的時間(passage of time)對選擇權價值的影响稱為 theta (Θ)， 這亦稱為時間衰退 (time decay) 。與其他因素不同，選擇權剩下多少時間到期，是完全可預期的，故不算風險因子。一般而言， Θ對購入買權及賣權的影响皆為負，即選擇權的契約時間過得愈多，選擇權愈失去價值。

買權: 賣權

與Gamma (Γ)一樣， 如果以絕對值衡量，短契約期 at-the-money的theta (Θ)最大，因 當at-the-money選擇權的到期日愈來愈近，選擇權的價值就喪失得愈來愈多

回顧 GBM 假定只有現貨價格為單一風險因子，故選擇權函數可簡化成 f(S ,t) ，應用隨機微積分的 Ito’s lemma (忘了它吧!) 及Taylor展開式 ，可得

代入”Greeks” ，得: 右邊第一項為變動的趨勢，第二項為隨機因素 若希望構建一個由選擇權 f 與現貨 S 組成的投資組合，而完全消除來自 dz 的隨機風險，定義此投資組合:

使用前兩條(GBM 及 df)公式, 並簡化 此簡式很重要，不單消去 dz 項，使投資組合對隨機風險免疫 (immunized) ，更消去變動趨勢項μ，此解釋為何B-S定價方程式，沒有趨勢值

因為投資組合沒有風險，為避免套利行為，其報酬率必定為無風險利率 如果資產有收益(y，如紅利、股息) ，則上式調整為：

代入含有greeks 的 dΠ公式，符消去左邊的dΠ，得: 此即 Black-Scholes的偏微分方程式(partial differential equation, PDE) ，此方程式適用於任何其價值衍生自現貨價格的單一契約(期貨、選擇權 、遠期契約)及投資組合。例如，此方程式的解加上適當的期初條件，可直接導出歐式買權公式

根據此PDE，我們可得出各種「敏感度」之間的關係。例如，考慮一由各種衍生性金融商品組成的投資組合，各金融商品皆以同一資產為標的，若此投資組合已經delta避險，則此PDE中的△=0， 若 rf 不大，則大而正值的Γ，必導致Θ為負

換言之，一有delta避險的衍生性金融商品組合，正的gamma (Γ)導致其會受益於價格風險，則必定有負的theta(Θ，時間衰退 (time decay)) 例如買入straddle(跨坐？) ，此為delta中立並有大的gamma，其會受益於現貨價格 S 的大幅波動，但其買入的選擇權的價值，很快衰退

重要概念 Delta避險的資產組合，其 gamma的正負必定與theta的正負相反

例題 (2001 FRM Exam Q.123) 當一 in-the-money 的選擇權接近到期日時，下列 “Greeks” ，何者最具風險? A. Lambda (vega) B. Rho C. Gamma D. Delta

例題 (1998 FRM Exam Q.43) 若把風險定義為「潛在未預期的損失」，則下列 “Greeks” ，何者對買入(long)賣權，構成風險: A. delta，vega，rho B. vega，rho C. delta，vega，gamma，rho D. delta，vega，gamma，theta，rho

例題 (1998 FRM Exam Q.44) 若把風險定義為「潛在未預期的損失」，則下列 “Greeks” ，何者對賣出 (short)買權，構成風險: A. delta，vega，rho B. vega，rho C. delta，vega，gamma，rho D. delta，vega，gamma，theta，rho

例題 (1998 FRM Exam Q.45) 若把風險定義為「潛在未預期的損失」，則下列 “Greeks” ，何者對買入(long) straddle(跨坐)，構成風險: A. delta，vega，rho B. vega，rho C. delta，vega，gamma，rho D. delta，vega，gamma，theta，rho

例題 (1999 FRM Exam Q.39) 如果市場條件不變，當接近到期日時，下列何種選擇權會有加速的時間衰退(time decay)? A. in-the-money B. out-of-the-money C. at-the-money D. 以上皆非

例題 (1999 FRM Exam Q.38) 當距離到期日的時間相同時，下列有關選擇權的時間價值(time value)的陳述，何者為對? A. out-of-the-money較at-the-money有較高時 間價值 B. in-the-money較at-the-money有較高價值 C. at-the-money 比out-of-the-money和in- the-money，都較有時間價值 D. at-the-money選擇權沒有時間價值

例題 (1999 FRM Exam Q.56) 若市場其他條件皆相同，無收益的歐式買權及賣權有相同的: (1) Gamma；(2) Vega；(3) theta；(4) rho A. 只有(2) B. (1)和(2) C. 全部 D. (3)和(4)

例題 (1998 FRM Exam Q.36) 一投資者在兩天前，向一衍生性金融商品經記商買入一短期at-the-money的straddle交換契約，下列何種風險因素將使該投資者產生損失? 1. 利率delta風險；2. gamma風險；3. vega風險；4. theta風險；5. 契約對方的信用風險 A. (1)和(2) B. (1) 、(2) 、和(3) C. (1) 、(3) 、 (4) 、和 (5) D. (1) 、(2) 、(3) 、 (4) 、和 (5)

例題 (1998 FRM Exam Q.37) 一投資者在兩天前，向一衍生性金融商品經記商賣出一短期at-the-money的straddle交換契約，貼水先付，下列何種風險因素將使該投資者產生損失? 1. 利率delta風險；2. gamma風險；3. vega風險； 4. theta風險；5. 契約對方的信用風險 A. (1)和(2) B. (1) 、(2) 、和(3) C. (1) 、(3) 、 (4) 、和 (5) D. (1) 、(2) 、(3) 、 (4) 、和 (5)

例題 (2000 FRM Exam Q.76) 投資者如何佈處一負 vega、正 gama的投資? A. 買入短期選擇權；賣出長期選擇權 B. 買入長期選擇權；賣出短期選擇權 C. 買入及賣出長期選擇權 D.買入及賣出短期選擇權

動態避險 Dynamic hedging B-S 訂價模型主要貢献之一是：指出擁有買權等同於持有「一部份」標的資產，而此持有「部份」應隨時間及市場條件改變而動態調整

Delta 與 動態避險 假定選擇權的價值為現貨價格的函數 選擇權的價值為非線性 現貨價格增加，導致函數斜率(Delta)增加 要複製一購入買權，需對標的資產有較大的部位 反之，若現貨價格下降，則delta減少，所需標的資產部位較小

故動態避險的原則為：價格上升後，多持有(買)現貨資產；價格下跌後，少持有(賣)現貨資產 購買「賣權」的動態避險原則，與買權相同 Short「買權」及「賣權」的動態避險原則相同，但操作方向相反：價格上升後，賣得較多

重要含意: 1. 動態複製一買入選擇權(不管是買權抑 或賣權)，必定虧損 – 後知後覺. 2 重要含意: 1.動態複製一買入選擇權(不管是買權抑 或賣權)，必定虧損 – 後知後覺! 2. 若避險基本大規模利用此等自動交易 系统，則本身即會破壞市場的穩定(如 有人歸疚1987年大崩盤，是避險基本 大規模複製 long in put) 3. 傳统風險管理的損失限制(loss-limit)政 策，類似於選擇權的購買

前述複製策略成功與否，繫於連續GBM價格程序的假定。理論上，資產組合可以需要而不斷再平衡；惟實務上，價格常急烈上跳下跌，故無法連續平衡

選擇權收益的分配 選擇權收益是本質性的不對稱(asymmetric) ，此性質與相關的風險因子無關(它們多是對稱的, symmetric) ，而是選擇權本身的特性，在計算選擇權的風險時，此特性很重要

Long option: long gamma long right tail Short option: short gamma long left tail

選擇權的 VaR 假定標的資產的報酬率為常態分配，則該資產的風險值 VaR: α為對應的信賴水準臨介值 (例如95%的信賴水準， α =1.64)

選擇權的線性 VaR 選擇權的二項式 VaR

例題 (2001 FRM Exam Q.80) 下列何種投資部位，最具風險? A. 負 gamma，delta 中立 B. 正gamma，正delta C. 負 gamma，正delta D.正gamma， delta 中立

例題 (1997 FRM Exam Q.28) 考慮買入資產名目金額一百萬的買權風險:若該標的資產的VaR=7.8%，則一短期 at-the-money選擇權的VaR大約為: A. 如果考慮二階條件，少過 $39,000 B. 如果考慮二階條件，多過 $39,000 C. 如果考慮二階條件，少過 $78,000 D. 如果考慮二階條件，多過 $78,000

例題 (1998 FRM Exam Q.27) 一交易商持有原油選擇權，油價每波動一元，則 delta及gamma分別為 100,000及-50,000桶原油，假定原油價格每桶最多波動 $2，請用delta-gamma方法，計算其 VaR: A. $100,000 B. $200,000 C. $300,000 D. $400,000