投资学专题7： 金融衍生产品定价 复旦大学金融研究院 张宗新

outline 资产价格运动的随机过程 二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用 Black-Scholes 期权定价模型在衍生产品定价中的应用 Monte Carlo模拟在衍生产品定价中的应用

第一节 资产价格运动的随机过程 金融资产价格的运动随时间变化，形成一个随机过程。随机过程是用来描述随机变量随着时间变化的统计术语。观测到的价格是随机过程的一个实现，随机过程的理论是对观测到的价格进行分析和作出统计推断的基础。 资产价格波动的随机过程

一、Wiener过程或Brownian运动 1、维纳过程（Wiener Processes） 股价行为模型通常用维纳过程来表达。理解遵循维纳过程的变量z的行为，可以考虑在小时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为△t,定义 为在△t时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，△z必须满足两个基本性质： 性质1：△z与△t的关系满足方程式 其中为从标准正态分布N（0，1）中抽取的一个随机值。 性质2：对于任何两个不同时间间隔△t,△z的值相互独立。 2、广义维纳过程（Generalized Wiener Process） 变量x的广义维纳过程用dz定义如下： dx=adt+b dz 其中a和b为常数。理解方程较好的方法是分别考虑方程右边的两个组成部分。adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a。如果缺省bdz项，方程变为dx =adt dx/dt=a 即 x= x0+ at

维纳过程 内幕交易概率预测模型 示意图 《管理世界》2008.4

二、Ito（伊藤）引理 一般维纳过程的漂移参数和波动率参数都是不随时间变化的。如果进一步扩展模型，允许 和 是随机过程 的函数，那么我们就可以引出一个伊藤过程。 伊藤过程，是指如下随机过程： 其中， 是一个标准布朗运动， 、 是变量x和t的函数。

为表述伊藤引理，将资产的随机过程表述为如下方程： 也就是说，用漂移率 和波动率 的伊藤过程表示资产价格的动态。 在时间间隔为 后，资产价格的变化比率为： 可见， 也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 。

资产价格运动的随机过程 三、漂移参数 和波动率参数 的估计 三、漂移参数 和波动率参数 的估计 上述方程的几何布朗运动中有两个未知参数 和 可以用经验方法进行估计。假定我们有股价 在等时间间隔 上的个观测值，观测到的股价序列 ，其中 。 令 ，存在 ，其中 为第t个时间间隔上的连续复合收益率。根据Ito引理，并且假定股价 服从一个几何布朗运动，我们得到 服从均值为 ，方差为 的正态分布。

第二节二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用 一、二叉树模型（Binomial Tree Model） 二叉树期权定价模型假定，在每一期股票价格可以沿两个方向——向上或向下——中的任何一个方向变动。因此，可以将将时间T分为很多小的时间间隔 ,在一个时间间隔内证券价格价格只有两种运动可能：从开始的S上升到原来的u倍，即Su；或下降到原来的d倍，其中u>1，d<1(一般假定 )。也就是说，股价上升或下降分别用u和d表示，而在每一个 ,股票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为p, 那么下跌的概率为q=1- p。 S0 p 1-p uS0 dS0

二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用 二、二叉树期权定价模型 二项式期权定价模型(Binomial Option Pricing Model，简称BOPM)是对期权进行估价方法，它是通过统计中的二项分布，假定只有两种可能结果而推算出来的。 下面，我们可以分六步骤对看涨期权的二项式期权定价模型进行分析： 第一步：分析股价的未来可能运动形态;第二步：列出期权的价格分布;第三步：构建对冲投资组合;第四步：对保值比率进行求解;第五步：用净现值法（NPV）解出买入期权的价格;第六步，将单期扩展之多期。

假定不支付红利股票的的3个月期的美式看跌期权，股票价格15元，执行价格15元，无风险利率为3%，波动率为50%。即：S=15，X=15，r=0.03， =0.5，T=0.25。 为构造二叉树，假定到期期限分为4个阶段，每段长度 =0.25/4=0.0625。

二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用 三、二叉树模型在可转债定价中的应用 可转债的二叉树定价步骤如下： 第一步，先计算出对应股票的二叉树节点上的数值。利用股价的历史数据（一般利用过去3个月或者半年的股价数据）估计出股票的波动率 ，然后计算出二叉树的几个重要参数。 其中 ，t，T分别指的是可转债的初始和期末时刻， 为无风险利率，使用这些参数就可以推出股票的价格树图。 第二步，通过可转债的相关条件来递推价格树中各个节点的可转债的价格。

二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用 应用二叉树模型，Matlab程序对西钢转债进行拟合。

第三节 Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯提出了有史以来的第一个期权定价模型，即布莱克-斯科尔期权定价模型（Black-Scholes Options Pricing Model，BSOPM)。 布莱克－斯科尔斯推导出了一个确定期权价格的明确公式，即： 其中

二、B-S期权定价求解 由于BS公式是关于期权定价的连续时间公式，因此容易分析期权价格的敏感性，即可以利用BS公式求出的看涨期权的价格同看涨期权的内在价值进行比较分析，分析两者随着股票价格变化的差异。 看涨期权的价格和内在价值

BS公式求出的看涨-看跌期权价格 BS公式的EXCEL求解过程。在此，股票价格S为25元，执行价格X为25元，无风险利率为8%，股票的波动率为30%，期权的到期年限为0.5年。计算相应的看涨期权的价格。 运用B-S公式进行期权定价求解 当前股价 25 执行价格 无风险利率 8% 到期时间（年）T 0.5 股价波动率 30% d1 0.294627825 d2 0.082495791 N(d1) 0.615860834 N(d2) 0.532873834 看涨期权价格 2.597032043 S*N(-d1)-X*exp(-r*T)*N(d2) 看跌期权价格（利用平权） 1.616768021 C-S+X*exp(-r*T) 看跌期权价格（利用BS公式） X*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(d1) 股票价格 看涨期权价格 内在价值 2.597032043 10 1.29408E-05 12.5 0.001053997 15 0.018528597 17.5 0.129037806 20 0.49746469 22.5 1.297035624 25 27.5 4.341892958 2.5 30 6.411299266 5 32.5 8.684918903 7.5 35 11.07341867

Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 鞍钢权证的理论价格和实际价格

三、波动率与波动率微笑 1、历史波动率 对于理想的欧式期权而言，BS期权定价模型仅依赖于五个参数：股票价格、期权的执行价格、期权的到期时间、无风险利率和股票的价格波动率。在这些参数中，和由发行的金融合约的条款所定，和可从市场得到。唯一需要确定的参数就是波动率。 请注意，BS模型中波动率是指在 到 的未来时期内的标的资产的波动率。由于在现实金融市场上，证券价格的波动是一个随机过程，估计波动率并不是一件简单的事情。通常，有两种方法可以对波动率进行估计，即历史波动率(historical volatility)与隐含波动(imp volatility)。

（1）方差估计法 计算方式如下：先计算出标的资产价格S第i天的报酬ut ，即ui =ln(Si/Si-1)，利用此前一段时间（可选择3个月、半年）资产报酬数据，估计日报酬的标准差。即： 这里， 为 的算术平均。 的标准差相当于 的估计值，其中 为时间间隔长度（以年为计算单位）。

鞍钢股份的历史波动率

（2）GARCH(1,1)模型估计 鞍钢股份的波动性（GARCH估计）

2、隐含波动率 确定波动率的第二种方法是估计隐含波动率。隐含波动率是另外一种定义，假定： 为当前股票价格；K为执行价格；T为到期时间；r为无风险利率；V为期权当前的市场价格。 利用上述参数，通过数值方法求解下式，可以得到隐含波动率的值： 其中，时间从到期日起以天计，且：

华菱权证的历史波动和隐含波动

3、波动率微笑（Volatility Smiles） 应用期权市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向的变动规律： 一是“波动率微笑”，即隐含波动率会随着期权执行价格不同而不同。由于隐含波动率是执行价格和到期日的函数，特别地，当执行价格等于股票最初价格S0时，隐含波动率最小，当执行价格偏离0时，隐含波动率会增加，这种现象通常称为“波动率微笑”。 二是波动率期限结构（Volatility Term Structure），即隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史波动率的平均值靠近。波动率微笑的形状也受到期权到期时间的影响。一般而言，期权到期日越近，波动率“微笑”就越显著，到期日越长，不同价格的隐含波动率差异越小，接近于常数。

四、期权的衍生物及其风险对冲 1.德尔塔（ ） 在任何确定的时间内，衍生证券的价值是标的资产价格的函数。这个函数对标的资产价格变化的敏感度用希腊字母德尔塔（Delta， ）来描述。德尔塔（ ）是Black-Schols期权定价模型的一个重要衍生概念，在证券组合中对投资者具有重要意义。其公式表达为： C:\C_doc\教学\Matlab_金融试验\衍生市场 看涨期权对股票价格的敏感性和Delta策略

在Black-Schols期权定价模型中，德尔塔（ ）的决定十分简单：它就等于 。德尔塔特性如下： （1）认购权证的Delta一定为正值，认沽权证的Delta一定为负值。这正负号表示期权价格和标的资产价格之间的变动关系。正号表示同向变动，负号表示异向变动； （2）Delta数值的范围介于-1和+1之间。 （3）平价期权的Delta数值约为0.5。

Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 Delta中性组合 对于价格低于理论价值的权证,还可以按比例购买股票+认沽权证，构造Delta 中性组合,也就是买入波动率,在股价向任何一方向变动时，组合价值都将上升。 但是，如果波动率下降，则会影响到套期保值效果，隐含波动率变动会使得组合价值曲线发生位移，一旦权证的隐含波动率下降，即使股价发生了较大变动，组合价值仍会受到损失。

Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 2.伽马（ ） 仅在标的股票的价格只发生微小变动时，德尔塔对冲才是有效的，因为它只考虑了一阶导数。如果标的股票价格可能发生较大的变化，那么，对冲组合就要考虑二阶导数。于是，引入伽马（Gamma， ）的概念。 伽马度量的是衍生资产的凸性，伽马度量的是期权价格曲线上该点的二阶导数。对于不支付红利的欧式期权来说，存在：

X=30;sigma=0.3; r_f=0.05 价格=15-50 周期：12M C:\Program Files\MATLAB71\work\Delta_Gamma_option01

Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 3.西塔( ) 西塔( ,Theta)是期权定价中的另一个重要参数。西塔( )被定义为： 西塔度量的是衍生证券价值的变动方向。如果时间增加，期权曲线将向右移动。西塔正是度量的曲线的这种移动。

Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 4、维加（vega，） 当波动率变化一个单位时（通常为1%），衍生证券的价值变化称为维加（vega， ）。用公式表达为： 反映的是证券价格本身波动对衍生证券价格的影响。若构造的组合使 值等于零，则该组合的价值不受波动率变化的影响。按照BS期权定价公式，可以得到不支付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的 表达式：

Black-Scholes期权定价模型在衍生产品 5、罗（ ） 当利率变化一个单位时（通常为1%），衍生证券的价值变化称为罗（ ）。用公式表达为： 可见，反映的是衍生产品价格对利率变化的比率。按照BS期权定价公式，可以得到不支付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权的 表达式：

蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的应用 第四节 蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的应用 一、蒙特卡罗模拟方法介绍 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到权证价值期望值的数值方法，是一种应用十分广泛的金融衍生产品定价方法。 如果股价运动服从伊藤过程，则当然股价如果服从其他分布，只要给出具体的表达式，我们就可利用蒙特卡罗模拟法进行模拟。蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股价价格的随机过程。

蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的应用 蒙特卡罗模拟的实质是模拟标的变量的随机运动，预测其衍生产品的平均回报，并由此得到衍生品价格的一个概率解。 蒙特卡罗模拟的优点： （1）提供一个相当广泛和强大的期权定价技术： （2）得到广泛应用。正如Campell所指出的：“虽然在依赖于路径的的衍生证券定价的确方面存在一些近似的解析解，但最为有效的方法还是蒙特卡罗模拟。” 蒙特卡罗模拟的缺点： （1）只能用于欧式期权，期权不能提前执行。美式期权的提前执行性增加了期权定价的复杂性，而这必须用一个动态程序分析进行递归。因而尝试应用蒙特卡罗模拟技术来对美式期权定价，成为近年来者来领域的发展方向之一。 （2）为了达到一定的精度，必须进行大量的模拟运算。

蒙特卡罗模拟在衍生产品定价中的应用 二、金融衍生产品定价的Monte Carlo模拟 Boyle最早利用Monte Carlo方法进行期权定价。Monte Carlo模拟相关步骤为： 第1步：设定基础资产数据的生成过程。通常使用带漂移的随机游走模型，同时指定漂移项的大小和波动参数的大小，设定执行加价格K和期限T。 第2步：从正态分布中抽取长度为T的序列，该序列为误差项序列，即 。 第3步：构建观测值长度为T的基础资产序列。 第4步：分析基础资产在到期日T时的价格。对看涨期权而言，若到期日基础资产价格 ，则此次重复试验下，期权价值为0并到期作废。

蒙特卡洛模拟计算欧式期权价格 function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) MoterCarlo_01.M

鞍钢权证市场价格、BS理论价格、蒙特卡罗拟合图