2 材力2-1 内容 Chp.2 拉压 1. 概念 2. 轴力 轴力图 3. 应力 要求 准确判断拉压杆； 熟练截面法； 掌握应力计算 1. 概念 2. 轴力 轴力图 3. 应力 要求 准确判断拉压杆； 熟练截面法； 掌握应力计算 练习 轴力2，应力1 作业 2 -1（b）， 2 ，3，5

上节回顾 材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件

材料力学的基本概念 1.内力—— 指某个截面内分布内力 2.应力——正应力σ，切应力τ 3.应变——线应变ε，切应变γ 上节回顾 的三个主矢分量和三个主矩分量： 轴力FN ，剪力FQ (Fy ,Fz） 扭矩T ，弯矩M (My ,Mz) 2.应力——正应力σ，切应力τ 3.应变——线应变ε，切应变γ

内力 上节回顾 轴力FN ，剪力FQ (Fy ,Fz） 扭矩T ，弯矩M (My ,Mz) z z 剪力 弯矩 扭矩 FQz Mz FN x y z x y 剪力 弯矩 扭矩 FQz FN FQy Mz T My 剪力 弯矩 轴力

上节回顾 注意事项 计算约束力时， 可将平衡对象视为刚体； 计算其他问题时 则应将研究对象视为变形体。

请判断下列 简化在什么情形 下是正确的，什 么情形下是不正 确的： B C A B C A 120kN 2m 4m 20kN/m 2m 4m

上节回顾 应力—分布内力在一点的集度 F1 F2

正应力s （法向应力） 应力的定义 切应力τ （切向应力） ΔFQ DFR F1 F2 ΔFN ΔA

应力就是单位面积上的内力 工程构件，大多数情形下，内力并 非均匀分布，通常“ 破坏”或“ 失效”往 往从内力集度最大处开始，因此，有必 要区别并定义应力概念。

注意事项 计算应力时应注意 既要算正应力，也要算切应力； 应弄清是那一点的应力； 还要弄清是那一个面上的应力； 应力的单位是MPa. 上节回顾 注意事项 计算应力时应注意 既要算正应力，也要算切应力； 应弄清是那一点的应力； 还要弄清是那一个面上的应力； 应力的单位是MPa.

§1.7 位移 变形 应变 一、位移displacement 线位移—— 一点空间位置的改变 单位：m , mm 角位移—— 一面方位的改变 §1.7 位移 变形 应变 一、位移displacement 线位移—— 一点空间位置的改变 单位：m , mm 角位移—— 一面方位的改变 单位：rad

二、变形 deformation 尺寸改变 形状改变 变形引起位移

三、应变strain 线应变 (linear strain) ε —— 切应变 (shearing strain) γ —— 一点在某方向上尺寸改变程度的描述。 切应变 (shearing strain) γ —— 过一点两互相垂直截面的角度改变。

σ x dx dx u u +du τ τ β α γ=α+β 直角改变量 微元体(单元体)element

注释 线应变 ε —— 与点的位置有关； 与 x 的方向有关； 伸长变形为正； 无量纲。 切应变 γ —— 与垂直两边的方位有关；

注释 γ=α+β 直角改变量 应力与应变的对应关系 正应力  ——线应变 ε 切应力τ ——切应变 γ τ τ σ x dx u +du

§1.8 杆件变形的基本形式 1. 轴向拉伸和压缩 axial tension or compression 拉伸 压缩

2. 剪切shear F

3. 扭转torsion 联轴器 轴

4. 平面弯曲plane bending

第二章 轴向拉伸和压缩 §2.1 概述 轴向载荷(axial load)——载荷作用线位于杆轴上 F F2 F3 F2 2F F3 F1 第二章 轴向拉伸和压缩 §2.1 概述 轴向载荷(axial load)——载荷作用线位于杆轴上 F1 F F2 F3 F1 F2 F3 2F

轴向拉伸(axial tension)（压缩compression） 受力特点——外力全部为轴向载荷 F1 F2 F3 2F 轴向拉伸(axial tension)（压缩compression） 受力特点——外力全部为轴向载荷 变形特点——轴向伸长或缩短　

例 压杆 拉杆

例 拉杆 压杆

100kN 200kN 2 1 例

拉杆和压杆模型 拉杆 F F 压杆 F F

拉杆和压杆模型 F1 F2 F3 统称： 拉压杆

§2.2 轴力 轴力图 ∑Fx = 0 , FN－F1+F2 = 0 ∴ FN = F1－F2 F2 F1 F3 m F2 F1 FN m §2.2 轴力 轴力图 一、轴力FN (axial force)—— 拉压杆的内力 F1 F2 F3 m F1 F2 m FN 截断，取半，画内力，平衡 —— 截面法步骤 ∑Fx = 0 , FN－F1+F2 = 0 ∴ FN = F1－F2

FN = F3 FN= F1 - F2=F3 取左半和取右半计算内力，结果是一样的。 因此，可选择简单的一侧计算轴力。 F2 F1 F3 m

轴力axial force 求法——截面法method of section 步骤：截开，取半，画内力，平衡 定义——内力主矢的法向分量 求法——截面法method of section 步骤：截开，取半，画内力，平衡 大小= 截面任一侧所有外力的代数和 正负号——拉伸为正（离开截面为正） 注意正负号不是由坐标轴的方向决定的 单位—— N , kN m F1 F2 F3 F1 F2 m F3 m FN FN

二、轴力图axial force diagram 2 1 3 F1 F4 F3 F2 问题：如何描述不同截面的轴力既简单又直观？ 方法：1. 临用时逐个截面计算； 2. 写方程式； 3. 画几何图线—— 轴力图 横坐标——杆的轴线 纵坐标——轴力数值

例1 作图示杆的轴力图 B截面的轴力=? 3kN 4kN 2kN 3kN FN 解：1.各段轴力计算： 例1 作图示杆的轴力图 1 2 3 3kN 2kN 4kN 3kN A B C D 1 FN (kN) 2 3 解：1.各段轴力计算： FN1 = -2 kN, FN2 = -2+3 =1 kN, FN3 = -3 kN 2.作轴力图 B截面的轴力=?

例2 作图示杆的轴力图 20kN 10kN FN 解：1.各段轴力计算： FN1 = 10 kN, FN2 =－10 kN, 例2 作图示杆的轴力图 10kN 20kN D A B C 1 2 3 10 FN (kN) 10 20 解：1.各段轴力计算： FN1 = 10 kN, FN2 =－10 kN, FN3 =－20 kN 2.作轴力图

轴力图要求 20kN 10kN FN 1. 与杆平行对齐画 2. 标明内力的性质（ FN） 3. 正确画出内力沿轴线的变化规律 A B C D 10 FN (kN) 10 20 1. 与杆平行对齐画 2. 标明内力的性质（ FN） 3. 正确画出内力沿轴线的变化规律 4. 标明内力的正负号 5. 注明特殊截面的内力数值（极值） 6. 标明内力单位

例题3 已知：A1=3 ㎝2 , A2=4 ㎝2 , l1= l2= 50m , F=12 kN , γ = 0.028 N/㎝3 C B F l1 l2 12.98 FN(kN) 已知：A1=3 ㎝2 , A2=4 ㎝2 , l1= l2= 50m , F=12 kN , γ = 0.028 N/㎝3 求：作轴力图（考虑自重） 解：⑴ 计算轴力 F FN2 l1 x2－l1 2 x2 2 12.42 AB段: FN1 = F ＋γA1x1 （0≤x1≤l1） 1 x1 F FN1 1 x1 BC段： FN2 =F ＋ γ A1l1 ＋γ A2（x2－l1） （l1≤x2≤l1＋l2） 12 ⑵ 绘轴力图

§2.3 拉压杆的应力 思路： 已知轴力求应力，这是静不定问题， 需要研究变形才能解决。 观察变形（外表） 变形假设（内部） 应变分布 应力分布 应力表达式

一、横截面上的应力 1. 变形特点 F 纵线——仍为直线，平行于轴线 横线——仍为直线，且垂直于轴线

2. 平面假设 plane cross-section assumption 杆件的任意横截面在杆件受力变形后 仍保持为平面，且与轴线垂直。

3. 应变分布 由平面假设，轴向应变分布是均匀的， 切应变等于零。 应力分布 由均匀性假设，横截面上的应力也是 均匀分布的，即各点应力相同。

5. 应力公式 由于切应变等于零，横截面上 τ = 0 因此，拉压杆横截面上只存在正应力。 静力学关系 σdA ∴ dA

F F F ？ F

二、圣维南（Saint-Venant）原理 F F 问题： 两杆横截面的正应力分布是否相同？ 二、圣维南（Saint-Venant）原理 原理：等效力系只影响荷载作用点附近局部 区域的应力和应变分布。 结论：无论杆端如何受力，拉压杆横截面的正应力均可用 下式计算：

变截面杆件的应力 B截面的轴力能否确定？ B截面的应力能否确定？ C截面的应力能否确定？ 最大应力等于多少？ A3 A2 A1 F2 F1 D C B截面的轴力能否确定？ B截面的应力能否确定？ C截面的应力能否确定？ 最大应力等于多少？

例题 y x 已知：A1= 1000 mm2, A2= 20000 mm2, F = 100 kN 求：各杆横截面的应力 B 1 C B 45º 2 1 解：⑴ 轴力计算 取结点A ∑Fy= 0, FN1 sin45°－F = 0 = 141.4 kN ∑Fx= 0, －FN1cos45°－FN2 = 0 A F FN2 FN1 45° x y FN2 =－FN1cos45° =－141.4 cos45° =－100 kN

例题 FN1 = 141.4 kN FN2 =－100 kN F A C B 45º ⑵ 应力计算 A F FN2 FN1 45° x y

三、斜截面的应力 拉压杆横截面上没有切应力， 只有正应力， 斜截面上是否也是这样？

斜截面上的应力 横截面面积 A , 正应力σ =F/A , 斜截面面积 Aα =A/cosα 内力 Pα = F, 全应力为 Pα k F 将斜截面k-k上的全应力分解为正应力σ α 和切应力τα ， 则

ⅰ α = 0 ， σαmax= σ ， τα = 0 ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2 F α k pα 可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。 讨论 ⅰ α = 0 ， σαmax= σ ， τα = 0 ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2 ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0

F 拉压杆的 任意截面上 应力随截面变化 F F σ60 τ60

结论与讨论 拉压杆横截面上的内力只有轴力， 因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的, 即 拉压杆的斜截面上一般既有正应力， 又有切应力。 正应力最大值位于横截面上，数值为 σ ； 切应力最大值在与轴线成45°角的截面上， 数值为 σ/2.

问题 拉压杆内只有正应力，没有切应力，这种说法是否正确？说说理由。

作业 2-1（b） 2-2 2-3 2-5 再 见

4 材力2-2 内容 2.4材料的力学性能 2.5 许用应力， 拉压强度 要求 学会用应力-应变曲线分析材料 的力学性能，掌握拉伸实验方 内容 2.4材料的力学性能 2.5 许用应力， 拉压强度 要求 学会用应力-应变曲线分析材料 的力学性能，掌握拉伸实验方 法，了解电测法原理，掌握各力 学性能指标 掌握拉压杆的强度计算 练习 卸载定律 作业 2-22， 2-29， 2-30

上节回顾 １．拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力， 正应力是均匀分布的，即 注意：这个结论是在分析变形的基础上得到的。 　正应力是均匀分布的，即 注意：这个结论是在分析变形的基础上得到的。 因此，学习材料力学，应注意学习分析变形。

三、斜截面的应力 拉压杆横截面上没有切应力， 只有正应力， 斜截面上是否也是这样？

斜截面上的应力 横截面面积 A , 正应力σ =F/A , 斜截面面积 Aα =A/cosα 内力 Pα = F, 全应力为 Pα k F 将斜截面k-k上的全应力分解为正应力σ α 和切应力τα ， 则

ⅰ α = 0 ， σαmax= σ ， τα = 0 ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2 F α k pα 可见，斜截面上既有正应力，也有切应力。 讨论 ⅰ α = 0 ， σαmax= σ ， τα = 0 ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2 ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0

F 拉压杆的 任意截面上 应力随截面变化 F F σ60 τ60

结论与讨论 拉压杆横截面上的内力只有轴力， 因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的, 即 拉压杆的斜截面上一般既有正应力， 又有切应力。 正应力最大值位于横截面上，数值为 σ ； 切应力最大值在与轴线成45°角的截面上， 数值为 σ/2.

２．拉压杆的斜截面上既有正应力，也有切应力 F α k pα ２．拉压杆的斜截面上既有正应力，也有切应力　　　　 ⅰ α = 0 ， σαmax= σ ， τα = 0 ⅱ α = 45°，σα =σ/2 ，ταmax = σ/2 ⅲ α = 90°, σα = 0 , τα = 0

§2.4 材料在拉压时的力学性能 力学性能mechanical properties—— 又称机械性能，指材料在外力作用下 表现出的破坏和变形等方面的特性。 目的——确定材料破坏和变形方面的 重要性能指标，以作为强度和变形 计算的依据。 方法——试验。

一、拉伸试验和压缩试验 1.目的：测定材料拉压时的力学性能 2.设备：全能试验机 3.试件： 4.加载方式和记录：渐加静载荷——由零开始， 标距 l , l =10d , l = 5d（圆) 标点 d F l 4.加载方式和记录：渐加静载荷——由零开始， 缓慢增加，至终值后数值不再变化或变化很小。 记录载荷F 与伸长⊿l 的关系。

二、低碳钢拉伸时的力学性质 低碳钢：含碳量低于0.3﹪ 拉伸图 l ⊿l F

低碳钢拉伸试验——拉伸图

拉伸图 F Δ

2.应力-应变图（σ-ε图） 克服拉伸图的尺寸效应 σ ε 名义应力 A——初始横截面面积 名义应变 l ——原长

①弹性阶段 elastic stage σ = Eε σ ε 胡克定律 Hookes Law 特点：变形是完全弹性的 特征应力： p 特点：变形是完全弹性的 弹性阶段 特征应力： 弹性极限e elastic limit 比例极限p proportional limit 比例阶段proportional limit： σ ≤ σp 胡克定律 Hookes Law σ = Eε E——弹性模量Young ,modulus of elasticity 单位： Pa, 1 GPa = 109 Pa 物理意义：材料抵抗弹性变形的能力。 几何意义：σ-ε 图比例阶段斜率。

②屈服阶段 yield stage ——屈服(流动） yield 特征应力：屈服极限σs yield limit 特点：材料失去抵抗变形的能力 ——屈服(流动） yield 特征应力：屈服极限σs yield limit Q235钢 σs=235MPa σ ε σs 滑移线 slip liens： 方位—与轴线成45° 屈服阶段 原因—最大切应力 机理—晶格滑移 45°

③强化阶段 strengthing stage 特点： 应变硬化 strain hardening 材料恢复变形抗力， σ-ε 关系非线性， 滑移线消失， 试件明显变细。 σ ε σb 强化阶段 特征应力：强度极限σb ultimate strength

④颈缩阶段（局部变形阶段） stage of local deformation 特征：颈缩现象 necking 断口：杯口状 有磁性 思考原因为何？ σ ε 颈缩阶段

3. 特征应力 σ ε 强度极限σb 屈服极限σs 弹性极限σe 比例极限σp

4.卸载定律 σ ε 拉伸过程中 在某点卸载， σ-ε将按照比例 阶段的规律变化， 直到完全卸载。 卸载

卸载再加载规律： 冷拉时效 σ-ε则按卸载路径 化， 至卸载点附近后则 回到未经卸载的曲线。 重新加载，σ-ε则按 卸载路径变化，高于 卸载后重新加载， σ-ε则按卸载路径 化， 至卸载点附近后则 回到未经卸载的曲线。 冷拉时效 再加载 卸载后过几天再 重新加载，σ-ε则按 卸载路径变化，高于 卸载点的曲线，获得 更高的强度指标。

冷作硬化 cold hardening 在强化阶段卸载，材料的 比例极限提高，塑性降低。 ε σ 原残余应变 现比例极限 现残余应变 原比例极限 现残余应变 原残余应变 在强化阶段卸载，材料的 比例极限提高，塑性降低。

5.塑性指标 ⑴ 断后伸长率（延伸率）δ ⑵ 断面收缩率 ψ percent elongation 塑性材料ductile materials δ ＞ 5﹪ Q235钢δ = 20～30﹪ 脆性材料brittle materials δ ＜ 5﹪ 铸铁 δ ＜0.5﹪ ⑵ 断面收缩率 ψ percentage reduction of area Q235钢 ψ = 60﹪

三、其他塑性材料拉伸 σ ε 16锰钢

σ ε 退火球墨铸铁

σ ε 锰钢

σ ε 玻璃钢

塑性材料的共同 特点只有一个，那 就是断后伸长率大 于5﹪. 问题：对无明显屈 服阶段的塑性材料 如何确定强度指标？ ε σ 锰钢 玻璃钢 16锰钢 退火球墨铸铁 玻璃钢 塑性材料的共同 特点只有一个，那 就是断后伸长率大 于5﹪. 问题：对无明显屈 服阶段的塑性材料 如何确定强度指标？

名义屈服极限σ0.2 ε σ 塑性应变 等于0.2％ 时的应力值 0.2 0. 2％

拉延(drawn)现象 σ ε 聚合物 σb 颈缩 σs

四、铸铁拉伸 不宜受拉！ 1.强度极限低; σb=110～160MPa 2.非线性； 近似用割线代替 3.无屈服，无颈缩； ε（%） 100 50 0.45 σb 　1.强度极限低; 　　σb=110～160MPa 　2.非线性； 　　近似用割线代替 　3.无屈服，无颈缩； 　4.　δ＜０．５﹪； 　５．平断口。 不宜受拉！

五、压缩 低碳钢 σｅ，σｓ， 与拉伸相同； １．Ｅ， σp ， ２．测不出σｂ； ３．试件呈鼓状。 压缩试验无意义 σ(MPa) 压缩 　 σｅ，σｓ， 　与拉伸相同； ２．测不出σｂ； ３．试件呈鼓状。 压缩 σ(MPa) 0.20 0.10 200 400 ε 拉伸 压缩试验无意义

铸铁 可制成受压构件 １．σｂ高于拉伸； （ 接近4倍） ２．δ 大于拉伸； （接近５﹪） ３．Ｅ与拉伸不同； ４．斜断口． σ(MPa) 400 σ(MPa) ε 300 600 0.10 0.05 压缩 １．σｂ高于拉伸； 　　　　（ 接近4倍） ２．δ　大于拉伸； 　　　　（接近５﹪） ３．Ｅ与拉伸不同； ４．斜断口． 可制成受压构件 拉伸

木材的力学性质 木材是 各向异性材料 木材抗拉强度高于 抗压强度。 木材顺纹方向的 强度高于横纹方向的 强度； ε σ 顺纹拉伸 顺纹压缩 横纹压缩 ε 木材是 各向异性材料

结论与讨论 １．强度、变形计算必须了解材料的力学性能； ２．了解材料的力学性能主要是分析σ-ε曲线； 问题1：如何得到σ-ε曲线？ 问题2：如何分析σ-ε曲线？ 3．工程材料按其断后伸长率大小分成两大类： 塑性材料和脆性材料； 　　　 塑性材料　　δ＞５﹪ 　　　 脆性材料　　δ＜５﹪ 4．塑性材料和脆性材料的强度指标不同： 　　塑性材料取σｓ或σ０．２，　脆性材料取σｂ．　　

　5．根据卸载定律，一般地一点线应变ε由两部 分组成：弹性应变εｅ和塑性应变εｐ ；　　　 ε ＝ εｅ＋ εｐ　 ε σ ε εp εe

6．三种拉伸应力－应变曲线 σ ε（%） ε σ（MPa） σb σs σb ε 脆性材料 塑性金属材料 聚合物 σ σs σb 100 50 0.45 σb 脆性材料 σ ε 塑性金属材料 σs σb σ ε 聚合物 σs σb

§2.5 拉压杆的强度条件 1.失效 失效—由于材料的力学行为而使 构件丧失正常功能的现象.

强度失效 (Failure by Lost Strength) 2. 材料的失效形式 强度失效 (Failure by Lost Strength) 刚度失效 失稳失效 疲劳失效 蠕变失效 松弛失效

3.两种强度失效形式 (1) 屈 服 无裂纹体 (2) 断 裂 含裂纹体

由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效 强度失效 由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效

4. 强度指标 极限应力 s 或 0.2 塑性材料  = b 脆性材料 工作应力是否允许达到极限应力？

安全因数 ⑴ 计算误差 ⑵ 荷载估计误差 ⑶ 材料缺陷 ⑷ 制造工艺误差 ⑸ 耐久性要求 上述因素要求选择安全因数 n

6. 许用应力 7. 强度条件 σmax —最大工作应力 等截面杆强度条件

强度计算的三类问题 1. 强度校核 2. 截面选择 3. 确定许用载荷

例2-2 已知： AB杆： 横截面积 A1=600mm² ， ［］1=160 MPa; BC杆：横截面积A2=10000mm², ［］2=7 MPa , F=40kN. 例2-2 B 1 求：校核强度 30° A 解:（1）计算内力 C 2 取结点A 30° FN1 FN2 A F F ∑Fy= 0, FN1 sin30°－F = 0 ∑Fx= 0, －FN1cos30°－FN2 = 0

例2-2 30° A B C 1 2 F FN1 FN2 （2）校核强度 AB杆 BC杆 满足强度条件

例题 已知：空心柱的外直径D=25cm， F=500kN, ［］=30 MPa 求：筒壁厚度δ 解: FN=F=500kN  250 

例题 F=500kN 250 

例题 已知： A1 = 706.9 mm2, A2= 314 mm2, 〔σ〕=160 MPa 求：许可载荷〔F〕 解：1. 内力计算 B C 45° 30° ① ② FN2 FN1 x y 30° 45° A F 已知： A1 = 706.9 mm2, A2= 314 mm2, 〔σ〕=160 MPa 求：许可载荷〔F〕 解：1. 内力计算 取结点 A ∑Fx = 0, FN2sin45°－FN1sin30° = 0 ∑Fy = 0, FN1cos30°＋FN2cos45°－F = 0 解出 FN1 = 0.732 F FN2 = 0.518 F

FN1 = 0.732 F FN2 = 0.518 F （2）计算［F］ AB杆 F A B C 45° 30° ① ② AC杆

作业 1. 2-22， 2-29， 2-30 2. 某低碳钢弹性模量为Ｅ＝２００ＧＰａ，比例 1. 2-22， 2-29， 2-30 　 2. 某低碳钢弹性模量为Ｅ＝２００ＧＰａ，比例 极限　σｐ＝２４０ＭＰａ，拉伸试验横截面正应力达　σ＝３００ＭＰａ时， 测得轴向线应变为　ε ＝０．００３５，此时立即卸载至σ ＝０，求试件轴向残余应变　εｐ为多少？

再见

拉伸图 F Δ

5 材力2-3 内容： 2.5 拉压强度 2.6 变形，胡克定律 2.8 应力集中 要求：掌握拉压杆的强度和变形计算， 内容： 2.5 拉压强度 2.6 变形，胡克定律 2.8 应力集中 要求：掌握拉压杆的强度和变形计算， 掌握胡克定律，会作简单杆系变形分析 了解应力集中概念 练习：强度1，变形3 作业：2 -12， 17，19，23，24

上节回顾 两类工程材料 塑性材料 脆性材料 强度指标 s 或 0.2 塑性材料 b 脆性材料

§2.5 拉压杆的强度条件 1.失效 失效—由于材料的力学行为而使 构件丧失正常功能的现象.

强度失效 (Failure by Lost Strength) 2. 材料的失效形式 强度失效 (Failure by Lost Strength) 刚度失效 失稳失效 疲劳失效 蠕变失效 松弛失效

3.两种强度失效形式 (1) 屈 服 无裂纹体 (2) 断 裂 含裂纹体

由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效 强度失效 由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效

4. 强度指标 极限应力 s 或 0.2 塑性材料  = b 脆性材料 工作应力是否允许达到极限应力？

安全因数 ⑴ 计算误差 ⑵ 荷载估计误差 ⑶ 材料缺陷 ⑷ 制造工艺误差 ⑸ 耐久性要求 上述因素要求选择安全因数 n

6. 许用应力 7. 强度条件 σmax —最大工作应力

§2. 8 应力集中 stess concentration 1. 应力集中现象 几何形状不连续处应力数值较高现象。

对工程的影响 ⑴ 塑性材料——有屈服阶段可不考虑。 ⑵ 脆性材料—— 组织不均匀，外形不敏感，可不考虑； 组织均匀，对外形敏感，应考虑。

变截面杆件的应力 A3 A2 A1 F2 F1 F3 A B D C B截面的应力能否确定？ C截面的应力能否确定？ 最大应力等于多少？

§2.6 拉压杆的变形 胡克定律 F 拉为正,压为负 伸长为正,缩短为负 b b1 l l1 1.轴向变形和线应变 轴向变形和线应变 §2.6 拉压杆的变形 胡克定律 b l b1 l1 F 1.轴向变形和线应变 轴向变形(绝对变形 ) ⊿l = l1－l 轴向变形和线应变 正负号规定: 拉为正,压为负 线应变(相对变形 ) 伸长为正,缩短为负

3. 拉压杆的轴向变形 胡克定律 b l b1 l1 F EA—拉压刚度

4.横向变形 当 σ ≤ σp ν——泊松比 Poisson ratio ν= 0 ～0.5 ε′——横向线应变 ε ——轴向线应变

例题 已知：1，2 两杆相同， E=10GPa, l =4m , 求：立柱的上段及下段的 内力, 应力,应变及变形, 以及柱的总变形. 解： 已知：1，2 两杆相同， E=10GPa, l =4m , 求：立柱的上段及下段的 内力, 应力,应变及变形, 以及柱的总变形. 解： 200kN 2000 2 1 100kN 200 1.上段 FN1 = -100kN,

例题 2.下段 3.总变形 FN2 = -100-100=-200kN, 100kN 200kN 200kN 100kN 2000 1

例题 已知：E , l , A , 重度γ 求：柱的变形。 解： x FN dx l q=γA FN 1.内力 FN 2.变形

总结与讨论 4. 小变形情况下，计算节点位移可以 用切线代替圆弧线，这样可使计算简化， 又能满足精度要求。

等直杆受力如图,其中m-m截面上的—— 比n-n截面大。 2F F ︳n ︳m 选项 A B C D 轴力 轴向应力 轴向线应变 轴向线位移 正确答案： D

对于图示简单桁架来说,求结构的许用载荷[F]时可利用的条件是 。 选项 A B C D 静力平衡条件 两杆应力都达到许用应力[  ] 受力最大的杆件达到许用应力[  ] 截面最小的杆件达到许用应力[  ] 正确答案： A

作业 2 -12，17, 2-19, 23, 24 再 见

材力2-4 6 内容：2.8 拉压静不定 要求：掌握拉压静不定问题的一般解法， 会解装配应力、温度应力问题 练习：4题 内容：2.8 拉压静不定 要求：掌握拉压静不定问题的一般解法， 会解装配应力、温度应力问题 练习：4题 作业： 2 – 34，38，39，40

上节回顾 1. 拉压强度条件 2. 拉压变形 当 σ ≤ σp

上节回顾 小变形：切线代替圆弧 3. 如何利用杆件的变形计算节点位移 α α F 1 2 1 2 F B C B C A A l1 l2 fA A´ F 小变形：切线代替圆弧

§2.8 拉压静不定问题 一. 静定静不定概念 1. 静定问题——仅用静力平衡方程就能求出 全部未知力，这类问题称为静定问题. §2.8 拉压静不定问题 一. 静定静不定概念 1. 静定问题——仅用静力平衡方程就能求出 全部未知力，这类问题称为静定问题. statically determinate problem 特点：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2. 静不定问题——仅用静力平衡方程不能求 出全部未知力。又称超静定问题。 statically indeterminate problem 特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。

未知力数目： 2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目：2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) α 静定结构， A F B C 1 2 未知力数目： 2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目：2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) 静定结构， --------静定问题 仅用静立平衡方程便能求解全 部未知量。 y F FN1 FN2 x α A

F F FN1 FN2 FN3 FN4 未知力：4个 平衡方程：2个 静不定结构，静不定问题。 需要补充 2 个方程。

3. 静不定次数 degree of statical indeterminancy 未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。 F FN1 FN2 FN3 FN4 未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 此结构可称为2次静不定结构

4. 多余约束 redundant restraint ------结构保持静定所需约束之外的约束。 即没有这部分约束结构也能保持一定的几 何形状（静定）。 D B C A F D B A F B C A F

D B C A F 判断：静不定次数 A F FN1 FN2 FN3 3个未知力 2个平衡方程 1次静不定

5. 多余未知力 redundant unknown force 多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余未知力数目

二. 静不定问题的解法： 1. 判断静不定次数： 方法1: 未知力数目－平衡方程数目 方法2：多余未知力数目 2. 列平衡方程 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的关系， 需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程：变形与力的关系。 5. 列补充方程：物理方程代入几何方程即得

例题1 解：1.判断：一次静不定。 已知： 求：各杆轴力 y 2 3 x F F B C D FN1 1 FN2 E3A3 =E2A2 l2 l1 l3= l2 1 3 2 y x F FN1 FN3 FN2 A

y x F FN1 FN3 FN2 A 2.列平衡方程 ⑴ ⑵

3.列几何方程： 2 3 F D B C 1 E3A3 =E2A2 l1 l2 l3= l2 A l2 l3 l1 A´ E1A1

4.列物理方程 5. 列补充方程 将物理方程代入几何方程得： ⑶

⑴ ⑵ ⑶

联解⑴，⑵，⑶式，得 讨论 E1A1→∞, FN1→F, F N2=FN3 →0 E1A1→0, FN1→0, F C D B 1 2 3

静不定结构特点（1） 内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？

静不定结构的特点 (1) F A B C D 1 3 2 F A B D 静不定： 内力按刚度比分配 “能者多劳” 静定： 内力与刚度比无关

内力假设与变形假设一致 ! 注意事项 内力假设受拉 变形假设伸长 2 3 y x F B C D 1 E3A3 =E2A2 l1 l2 FN1 FN3 FN2 A E3A3 =E2A2 E2A2 E1A1 B C D l2 l1 l3= l2 1 3 2 A´ l2 l3 l1 研究平衡 研究变形 内力假设受拉 变形假设伸长 内力假设与变形假设一致 !

思考：几何方程的求法 新结点向原杆作垂线 原结点向新位置作垂线 1 1 2 2 3 3 方法1 F 方法2 F A B C D A B C l2 l3 F A´ l1 F A´ l3 l2 l1 方法1 方法2 新结点向原杆作垂线 原结点向新位置作垂线

静不定结构的特点(2) ———装配应力 A B D A B C D 1 3 2 静定结构 ——无装配应力 静不定结构 ——？ ！

已知：三杆EA相同，1杆 制造误差δ，求装配内力 解题思路：因制造误差， 装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。 一次静不定问题。 l α 1 2 3 B C D A' 一次静不定问题。 几何方程： ⊿l1＋ ⊿l2 / cosα = δ ⊿l1 ⊿l2 物理方程 ？ 胡克定律！ 平衡方程： 内力不可任意假设。

正确 不正确 1杆伸长，应为拉力，2，3杆缩短 , 应为压力。 装配应力是不容忽视的， A δ l α 1 2 3 B C D ⊿l1 ⊿l2 A' A FN1 FN2 FN3 正确 A FN1 FN2 FN3 不正确 1杆伸长，应为拉力，2，3杆缩短 , 应为压力。 装配应力是不容忽视的， 如： δ/l=0.001, E=200GPa, α=30° —— σ1 = 113 MPa ， σ2 = σ3 = －65.2 MPa

静不定结构的特点(3) ———温度应力 A B D A B C D 静定结构： 无温度内力 静不定结构： 有温度内力

思路：温度变化引起杆的长度变化， ⊿lt =αl ⊿t 多余约束限制了这个变化， 引起温度内力。 几何方程： ⊿l = ⊿lt＋ ⊿lF = 0 物理方程： ⊿lt =αl ⊿t ⊿lF =FNl / EA l A B

例题： OAB杆视为刚性，1，2两杆相同， 已知: EA , l , a , t ,α 求：温度变化引起1，2杆的内力。 FN1 FN2 A’ ⊿l1 B’ ⊿l2 例题： OAB杆视为刚性，1，2两杆相同， 已知: EA , l , a , t ,α 求：温度变化引起1，2杆的内力。 解： 1.判断：一次静不定。 2.几何方程： ⊿l2 = 2 ⊿l1 3.平衡方程： ∑MO=0 , FN1 a + FN2 2a = 0 FN1 = - 2 FN2

⊿l2 = 2 ⊿l1 4.物理方程： l a A B O 1 2 B’ A’ ⊿l1 ⊿l2 5.以上方程联解，得： （压） （拉）

总结与思考 1. 静不定问题： 2. 解法： 仅用静力平衡方程不能全部求解 原因：未知量数目多于有效平衡方程数目 关键：建立几何方程 D B C A F 仅用静力平衡方程不能全部求解 原因：未知量数目多于有效平衡方程数目 2. 解法： 关键：建立几何方程 建立物理方程 从而可得补充 方程

3. 特点 （1）内力按刚度比分配 “能者多劳” （2）装配应力 （3）温度应力 4. 注意事项: 正确判断静不定次数

练习：判断静不定次数，写几何方程 （ AB杆视为刚性） F a A B C D H G

F a A B C D H G 2 1 45° ⊿l2 D ' C ' ⊿l1

作业讲解 题2-12 内力计算 截面法： 取上半部分 ∑Fx = 0, 由对称性，满足 ∑Fy = 0, qd - 2FN = 0 p d p 内力计算 FN FN 截面法： 取上半部分 ∑Fx = 0, 由对称性，满足 ∑Fy = 0, qd - 2FN = 0 2.应力计算

题2-12 d1 d p 3.变形计算

作业 2 – 34 36 38 40 再 见